4 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



Ta gọi ma trận:



A  (aij ) mn



 a11

a

  21

 ...



 am1



a12 ... a1n 

a22 ... a2 n 

... ... ... 



am 2 ... amn 



là ma trận các hệ số của hệ (*), còn:



 a11

a

bs

A   21

 ...



 am1



a12

a22

...

am 2



... a1n

... a2 n

... ...

... amn



b1 

b2 

... 



bm 



là ma trận bổ sung của hệ (*)

 Nghiệm của hệ phương trình (*) là một phần tử

c   c1 , c2 ,..., cn   K n . Sao cho khi thay x1  c1 , x2  c2 ,..., xn  cn vào hệ



thì ta được một đẳng thức đúng.

 Nếu m=n và detA  0 thì hệ phương trình (*) được gọi là một hệ

Cramer. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất và được tính bằng công thức:



xj 



det A j

det A



( j  1, n)



trong đó Aj là ma trận có được bằng cách thay cột thứ j của ma trận A

bằng cột hệ số tự do (b1,b2,...,bn).



Bùi Thị Hoa



59



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



 Ta xét tập nghiệm của hệ (*):

+ Nếu rank A  rank Abs thì hệ (*) vô nghiệm.

+ Nếu rank A = rank Abs = r thì hệ (*) có nghiệm.

Gọi D là định thức con cấp r khác 0. Giả sử định thức nằm ở góc bên

trái, tức là:

a11

a

D  21

...

ar1



a12 ... a1r

a22 ... a2 r

... ... ...

ar 2 ... arr



Khi đó, hệ (*) tương đương với hệ phương trình:

a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1

a x  a x  ...  a x  b

 21 1

22 2

2n n

2

(**)



...



ar1 x1  ar 2 x2  ...  arn xn  br



+ Nếu r=n thì hệ (**) là hệ Cramer.

+ Nếu r
 a11 x1  a12 x2  ...  a1r xr  b1  a1r 1 xr 1  ...  a1n xn

 a x  a x  ...  a x  b  a x  ...  a x

 21 1

22 2

2r r

2

2 r 1 r 1

2n n



...

 ar1 x1  ar 2 x2  ...  arr xr  br  arr 1 xr 1  ...  arn xn



Gán cho xr+1, xr+2, ...,xn những giá trị tùy ý ta lại được hệ Cramer. Với

mỗi giá trị (dr+1, dr+2,...,dn) của các ẩn xr+1, xr+2, ...,xn ta được một nghiệm



Bùi Thị Hoa



60



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



duy nhất (dr+1, dr+2,...,dn) của hệ (**). Do đó (dr+1, dr+2,...,dn) là một

nghiệm của hệ (*)

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:

3 x  y  z  t  0

2 x  3 y  t  0





 x  5 y  3z  7

 3 y  2 z  t  2



Lời giải

Ta có:

3

2

det A 

1

0



1 4



 ( 1)



1 1 1

3

3 0 1 5



5 3 0

1

3 2 1

3



1 1

4 1

5 3

2 3



1

0

0

0



5 4 1

5

4 1

14 7

1 5 3  14 7 0  (1)13 (1)

 112  0

12 14

3 2 3

12 14 0



Vậy hệ phương trình đã cho là hệ Cramer nên hệ có nghiệm duy nhất. Ta

có:

0

0

det A1 

7

2



1 1 1

3 0 1 1

3 0 1

2 0 0 1

 112 ; det A2 

 112

5 3 0

1 7 3 0

3 2 1

0 2 2 0



Bùi Thị Hoa



61



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



3

2

det A3 

1

0



x



1

3

5

3



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



0 1

3 1 1

0 1

2 3 0

 112 ; det A4 

7 0

1 5 3

2 1

0 3 2



0

0

 112

7

2



det A3

det A1

det A2

det A4

 1 ; y 

1 ; z 

 1 ; t 

1

det A

det A

det A

det A



Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (-1,1,-1,1)

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số a,b,c:

 x  ay  a 2 z  a 3



2

3

 x  by  b z  b

 x  cy  c 2 z  c3





Lời giải

Ta có:

1 a a2



1



a



a2



1 a



a2



det A  1 b b 2  0 a  b a 2  b 2  (a  b)( a  c ) 0 1 a  b

1 c



c2



 (a  b)(a  c)



0 ac



1 ab

1 ac



a2  c2



0 1



ac



 (a  b)(a  c)(c  b)



 Nếu detA  0  a  b  c thì hê đã cho là hệ Cramer.

Ta có:



Bùi Thị Hoa



62



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



a3

det A1  b3

c3



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



a a2



a2 1 a



b b 2  a.b.c b 2 1 b  abc.det A

c



c2



c2 1 c



 abc  a  c  a  b  c  b 



1 a3

det A2  1 b3

1 c3



a2



a3



1



a2



b 2  0 a 3  b3

c 2 0 a3  c3



a 2  b2

a2  c 2



1

a3

 ( a  b)( a  c) 0 a 2  ab  b 2



a2

ab



0 a 2  ac  c 2



ac



a 2  ab  b2

 (a  b)(a  c) 2

a  ac  c 2



ab

ac



 (a  b)(a  c)(c  b)(ab  ac  bc)

1 a a3



1



a



a3



det A3  1 b b3  0 a  b a3  b3

1 c c3 0 a  c a 3  c3

1 a

a3

 (a  b)(a  c) 0 1 a 2  ab  b2

0 1 a 2  ac  c 2

  a  b  a  c  c  b  a  b  c  .



Vậy ta có:



Bùi Thị Hoa



63



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



x



det A1

 abc

det A



t



det A3

abc

det A



; y



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



det A2

 (ab  ac  bc) ;

det A



a  b  c

Nếu detA=0 ta có: (a  b)(a  c)(c  b)  0  

a  b  c







+ Xét trường hợp: a  b  c khi đó hệ phương trình tương đương

với hệ gồm 2 phương trình :

2

3

3

2

 x  ay  a z  a

 x  ay  a  a z





2

3

3

2

 x  cy  c z  c

 x  cy  c  c z



xét det B 



1 a

1 c



 c  a  0 . Hệ phương trình là hệ Cramer. Ta có:



det B1 



a3  a 2 z a

a 2  az 1



a

.

c

 a.c. c  a  z  a  c  .

c3  c 2 z c

c 2  cz 1



det B2 



1 a3  a 2 z

  c  a   a 2  ac  c 2  z  a  c  

3

2

1 c c z



det B1

 a.c. z  a  c 

det B

det B2

y

 a 2  ac  c 2  z  a  c 

det B



 x



 Hệ phương trình ban đầu có nghiệm phụ thuộc một tham số



 a.c  u  a  c  , a



2



 ac  c2  u  a  c  , u  với u tùy ý.



+ Trường hợp a  b  c hệ phương trình đã cho tương đương với hệ

một phương trình:



Bùi Thị Hoa



64



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



x  ay  a 2 z  a 3











Nghiệm của hệ này là a3  au  a 2 v , u , v với u , v tùy ý.

Kết luận:

 Nếu a  b  c hệ có nghiệm duy nhất :



 abc ,   ab  bc  ac  , a  b  c 

 Nếu a  b  c hệ có nghiệm phụ thuộc một than số:



 a.c  u  a  c  , a



2



 ac  c2  u  a  c  , u  với u tùy ý.



 Nếu a  b  c hệ có nghiệm phụ thuộc hai tham số:



a



3



 au  a 2 v , u , v  với u , v tùy ý.



3.5 TÌM GIÁ TRỊ RIÊNG, VECTƠ RIÊNG.

Giả sử f :V  V là tự đồng cấu của K - không gian vectơ V . Nếu có

 





vectơ   0 của V và vô hướng   K sao cho f     thì  được





gọi là một giá trị riêng còn  được gọi là một vectơ riêng của f ứng với

giá trị riêng  .





Nếu A là ma trận của tự đồng cấu f thì  ,  cũng được gọi là các

giá trị riêng, vectơ riêng của ma trận A .

● Thuật toán tìm giá trị riêng, vectơ riêng của tự đồng cấu f :

 







Bước 1: Lấy một cơ sở  e   e1 , e2 , , en  của V và tìm ma

trận A của f trong cơ sở đó.



Bùi Thị Hoa



65



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



Bước 2: Lập đa thức đặc trưng det  A   I  của ma trân A .

Bước 3: Giải phương trình đa thức bậc n đối với ẩn 

det  A   I   0 . Nghiệm của phương trình này là



tập các giá trị riêng của f .

Bước 4: Với mỗi giá trị  của phương trình trên giải hệ

phương trình tuyến tính thuần nhất suy biến:

  a11    x1  a12 x2    a1n xn  0



 a21 x1   a22    x2    a2 n xn  0



 

 an1 x1  an 2 x2     ann    xn  0











với mỗi nghiệm không tầm thường c1 , c2 ,, cn của hệ này ta có :

















  c1e1  c2 e2    cn en là vectơ riêng ứng với giá trị riêng  .

Ví dụ 1. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của tự đồng cấu f có ma trận

 







như sau trong cơ sở e1 , e2 , e3  của V .

 2 1 2 

B   5 3 3 

 1 0 2 







Lời giải

 







Đa thức đặc trưng của ma trận B trong cơ sở e1 , e2 , e3  là:



Bùi Thị Hoa



66



K35A – SP Toán