5 TÌM GIÁ TRỊ RIÊNG, VECTƠ RIÊNG.

Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



Bước 2: Lập đa thức đặc trưng det  A   I  của ma trân A .

Bước 3: Giải phương trình đa thức bậc n đối với ẩn 

det  A   I   0 . Nghiệm của phương trình này là



tập các giá trị riêng của f .

Bước 4: Với mỗi giá trị  của phương trình trên giải hệ

phương trình tuyến tính thuần nhất suy biến:

  a11    x1  a12 x2    a1n xn  0



 a21 x1   a22    x2    a2 n xn  0



 

 an1 x1  an 2 x2     ann    xn  0











với mỗi nghiệm không tầm thường c1 , c2 ,, cn của hệ này ta có :

















  c1e1  c2 e2    cn en là vectơ riêng ứng với giá trị riêng  .

Ví dụ 1. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của tự đồng cấu f có ma trận

 







như sau trong cơ sở e1 , e2 , e3  của V .

 2 1 2 

B   5 3 3 

 1 0 2 







Lời giải

 







Đa thức đặc trưng của ma trận B trong cơ sở e1 , e2 , e3  là:



Bùi Thị Hoa



66



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



2



1



5

1



3  

0



det  B   I  



2

3      1

2  



3



3



det  B   I   0      1  0    1



Vậy f có một giá trị riêng:    1 .

 3 x1  x2  2 x3  0



● Với    1 hệ phương trình 5 x1  2 x2  3 x3  0

 x

 x3  0

1





có nghiệm không tầm thường  x1  a, x2  a , x3   a  với a  0 .

















Vậy vectơ   a  e1  e2  e3  với a  0 là vectơ riêng của f ứng với

giá trị riêng    1 .

Ví dụ 2. Cho tự đồng cấu f :V  V có ma trận trong cơ sở

  

e1 , e2 , e3  của V là:

 4 5 2 

A   5 7 3 

 6 9 4 







Hãy tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của f .

Lời giải

4

5

Ta có: det A  5

7  

6



Bùi Thị Hoa



9



2

3



  2    1



4



67



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



Vậy f có các giá trị riêng 1  2  0 ; 3  1 .

4 x1  5x2  2 x3  0



● Với 1  2  0 hệ phương trình : 5x1  7 x2  3x3  0 có nghiệm

6 x  9 x  4 x  0

2

3

 1



không tầm thường  x1  a , x2  2 a , x3  3a  với a  0 .

















Vậy vectơ   a  e1  2e2  3e3  với a  0 là vectơ riêng của f ứng

với giá trị riêng   0 .

3 x1  5 x2  2 x3  0



● Với 3  1 hệ phương trình : 5 x1  8 x2  3x3  0

6 x  9 x  3 x  0

2

3

 1



có nghiệm không tầm thường  x1  a , x2  a , x3  a  với a  0 .





  

Vậy vectơ   a  e1  e2  e3  với a  0 là vectơ riêng của f ứng với

giá trị riêng   1 .



Bùi Thị Hoa



68



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài tập 1. Cho các hệ vectơ sau:













a,    1   0,1,1 ,  2   2,3, 0  ,  3  1, 0,1

























b,



    1  1,1, 2  ,  2  1, 2,5  ,  3   5,3, 4 



c,



     1   2,1,1 ,  2   6, 2, 0  ,  3   7, 0, 7 



Xét xem hệ nào trong các hệ vectơ trên lập thành cơ sở của R3 .

Lời giải

a, Xét định thức:

0 2 1

D 1 3 0 50

1 0 1

  

     1 , 2 , 3  độc lập tuyến tính.



Vì dim R 3  3 mà hệ vectơ   có đúng 3 vectơ và độc lập tuyến tính

nên   là cơ sở của R3 .

b, Xét định thức:



1 1 5

D 1 2 3 0

2 5 4

  

     1 ,  2 ,  3 phụ thuộc tuyến tính.







Bùi Thị Hoa







69



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



Vậy    không là cơ sở của R3 .

c, Xét định thức:

1 1



3



D  1 2 2  8  0

2 3 1

  

      1 ,  2 ,  3  độc lập tuyến tính.



Vì dim R 3  3 mà hệ vectơ    có đúng 3 vectơ và độc lập tuyến tính

nên    là cơ sở của R3 .

Bài tập 2. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của các ma trận sau:

1 1 1 1 

1 1 1 1



a, A  

 1 1 1 1 





1 1 1 1 



 a11

 0



B 0



 

 0





b,



0

a 22



0

0



0



a33





0





0









0 

0 

 0 



  

 ann 



Lời giải

a,

1



1



1



1



1



1



1



1



0 2 2

1 1 1 1 0 0 2 2

det A 



 2 0 2

1 1 1 1 0 2 0 2

2 2 0

1 1 1 1

0 2 2 0

   2 



Bùi Thị Hoa



2 2

2



0



  2 



2 2

0



2



70



 16  0



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



Nên ma trận A khả nghịch. Ta có:



A11  4 ; A21  4 ; A31  4 ; A41  4 ;

A12  4 ; A22  4 ; A32  4 ; A42  4 ;

A13  4 ; A23  4 ; A33  4 ; A43  4 ;

A14  4 ; A24  4 ; A34  4 ; A44  4 ;

 4 4 4 4 

1 1 1 1 

 4 4 4 4 





1 

1 1 1 1 1

1



A 



16  4 4 4 4  4 1 1 1 1









 4 4 4 4 

1 1 1 1 

1

 A1  A

4



b,

a11

0

det B  0



0



0

a 22

0



0



0 

0 

a33 



0



0

0

0  a11a22 a33  ann  0



 

 ann



Nên ma trận B khả nghịch. Ta có:







 0  j  2, j  1, n 



B11  a22 a33  ann ; B1 j  0 j  2, n

B22  a11a33  ann ; B2 j













Bnn  a11a22  an1n1 ; Bnj  0 j  1, n  1



Bùi Thị Hoa



71



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



1

 B 1 

a11  ann



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



 a22  ann



0





0









0





0



0







a11a33  ann



0







0



0



a11  ann 









0



0







0





0







a11  an1n1 



 1



0

0  0 

a

 11



1





0  0 

 0 a

22









1

0

 0 

 0

a33





 



   





1

 0



0

0 





a

nn 



Bài tập 3. Tìm hạng của hệ vectơ sau.

























a,  1  1, 2, 1,3  ,  2   0,3, 3,7  , 3   7,5, 2,0  ,  4   2,1,1, 1

b,





1   4, 1,3,  2  ,  2   8, 2, 6, 4  ,  3   3, 1, 4,  2  ,





 4   6,  2,8,  4 



Lời giải

 



 



a, Hạng của hệ vectơ  1 ,  2 ,  3 , 4  là hạng của ma trận sau:

1 0

2 3

A

 1 3



3 7



Bùi Thị Hoa



7 2

5 1 

2 1



0 1 



72



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



Ta có định thức D 



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



1 0

3 0.

2 3



Xét các định thức con cấp 3 bao quanh D :

1

2



0

3



7 1

52



7

1 7

1 7

5 3

3

0

0 9

2 5

0 3 9



1 3 2

1

2



0

3



0

3



2 1

12



1 3 1



0

3



2

1



0 3 3



3 1

2 3

2

0

3 3

0 3



 rank A  2

   



Vậy rank 1 , 2 , 3 , 4   2

 











b, Hạng của hệ vectơ 1 ,  2 ,  3 ,  4  là hạng của ma trận:

3 6

4 8

  1 2 1 2 



B

3 6

4 8 





 2 4 2 4 



Ta có định thức D2 



4 3

 1  0

1 1



Xét các định thức con cấp 3 bao quanh D2



4 8 3

4 4 3

D3  1 2 1  2 1 1 1  0

3



Bùi Thị Hoa



6



4



3



3



4



73



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



4 3 6

4 3 3

D '3  1 1 2  2 1 1 1  0

3 4 8

3 4 4

 rank B  2

 



 



Vậy rank 1 ,  2 ,  3 ,  4   2.

Bài tập 4. Giải hệ phương trình tuyến tính sau:

 1 2 0  x   0 

 1 1 1  y    1 



   

 1 2 3  z   0 



   



Lời giải

Ta có:

1 2 0

1 1

1 1

det A  1 1 1 

2

90

2 3

1 3

1 2 3



Suy ra, hệ phương trình là hệ Cramer.

0 2 0



1



0 0



1



2 0



det A1  1 1 1  6 ; det A2  1 1 1  3; det A  1 1 1  0

0 2 3

1 0 3

1 2 0



Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất :

x



det A3

det A1 2

det A2 1



; y

 ; z

0

det A

3

det A 3

det A



Bùi Thị Hoa



74



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



Bài tập 5. Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của các tự đồng cấu

  



f có ma trận sau trong cơ sở e1 , e2 , e3  của R 3 .

1 2 2 

a, A  1 0 3 

1 3 0 







 1 1 0

b, B   1 2 1 

 1 0 1







Lời giải

  



a, Đa thức đặc trưng của ma trận A trong cơ sở e1 , e2 , e3  là:

1 

det  A   I   1

1



2



3



2

3    2  9  1   





Vậy f có các giá trị riêng 1  3 , 2  3 , 3  1

2 x1  2 x2  2 x3  0



● Với 1  3 hệ phương trình  x1  3x2  3x3  0

 x  3 x  3x  0

2

3

 1



có nghiệm không tầm thường









 x1  0, x2  a , x3  a  với



a  0.







Vậy vectơ   a  e2  e3  với a  0 là vectơ riêng của f ứng với giá trị

riêng 1  3 .

4 x  2 x2  2 x3  0

● Với 2  3 hệ phương trình :  1

 x1  3 x2  3 x3  0



có nghiệm không tầm thường



Bùi Thị Hoa



 x1  6b , x2  7b , x3  5b  với b  0 .



75



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp







GVHD: Đinh Thị Kim Thúy















Vậy vectơ   b  6 e1  7 e2  5e3  với b  0 là vectơ riêng của f ứng

với giá trị riêng 2  3 .

2 x2  2 x3  0





● Với 3  1 hệ phương trình :  x1  x2  3x3  0

 x  3x  x  0

2

3

 1



có nghiệm không



 x1  2c , x2  c , x3  c  với c  0 .



tầm thường

















Vậy vectơ   c  2e1  e2  e3  với c  0 là vectơ riêng của f ứng với

giá trị riêng 3  1 .

  



b, Đa thức đặc trưng của ma trận B trong cơ sở e1 , e2 , e3  của R 3 là:

1 

det  B   I   1

1



1

0

2

1    2  2  2   2   

0

1 



Vậy f có một giá trị riêng   2 .

  x1  x2  0



Với   2 hệ phương trình   x1  x3  0

 x  x 0

3

 1



có nghiêm không tầm thường













 x1  a , x2  a, x3  a  với



a 0.







Vậy vectơ   a  e1  e2  e3  với a  0 là vectơ riêng của f ứng với giá

trị riêng   2 .

Bài tập 6. Xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của các hệ

vectơ sau:



Bùi Thị Hoa



76



K35A – SP Toán