2 TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO.
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (548.39 KB, 86 trang )
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Đinh Thị Kim Thúy
● Nếu detA 0 thì mà trận A khả nghịch và
A11
1 A12
1
A
det A
A1n
A21
A22
A2 n
An1
An 2
.
Ann
Ví dụ 1. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có):
1 3 2
a) A 2 3 2
0 1 2
1 1 2
b) B 0 1 0
2 1 1
Lời giải
a) Ta tính định thức của ma trận A
1 3
2
3 2
3 2
det A 2 3 2
2
0
1 2
1 2
0 1 2
detA=0 nên ma trận A không khả nghịch
b)
1 1
det B 0 1
2
0
2 1 1
1 2
5 0 nên ma trận B khả nghịch.
2 1
ta có:
Bùi Thị Hoa
53
K35A – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Đinh Thị Kim Thúy
B11 1 ; B12 0 ; B13 2
B21 3 ; B22 5 ; B23 1
B31 2 ; B32 0 ; B33 1
1
1 3 2 5
1
B 1 0 5 0 0
5
2 1 1 2
5
3
5
1
1
5
2
5
0
1
5
Ví dụ 2. Tìm ma trận vuông cấp 2,3 X trong mỗi thường hợp sau:
cos
a) A.X=B với A
sin
sin
1 1
; B
cos
0 1
1 2 3
1 3 0
b) A.X=B với A 3 2 4 ; B 10 2 7
2 1 0
10 7 8
Lời giải.
a) Ta có: X=A-1.B
det A
cos
sin
sin
cos2 sin 2 1 0 nên ma trận A khả
cos
nghịch. Ta có:
A11 cos , A12 sin , A21 sin , A22 cos
cos
A1
sin
Bùi Thị Hoa
sin
cos
54
K35A – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Đinh Thị Kim Thúy
cos sin 1 1 cos cos sin
X
.
sin cos 0 1 sin cos sin
b) Ta có: X=A-1.B
1
2
3
3 2
1 2
det A 3 2 4 3
4
50
2 1
3 2
2 1 0
nên ma trận A khả nghịch. Ta có:
A11=-4 ; A12=-8 ; A13=-7
A21=3 ; A22=6 ; A23=4
A31=-2 ; A32=-5 ; A33=-4
4
4 3 2 5
1
8
A1 8 6 5
5
5
7
4
4
7
5
4
5
8
X
5
7
5
Bùi Thị Hoa
3
5
6
5
4
5
3
5
6
5
4
5
2
5
1
4
5
2
8
5 1 1 2 5
18
1 . 0 1 0
2 1 1 5
4
3
5
55
3
5
7
5
7
5
6
5
11
5
2
K35A – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Đinh Thị Kim Thúy
3.3 TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN
Cho A Mat m n, K 0. Hạng của ma trận A là số tự nhiên
r ,1 r min m , n thỏa mãn các điều kiện sau:
+ Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r của ma trận A khác 0.
+ Mọi định thức con cấp lớn hơn r (nếu có) của ma trận A đều
bằng 0.
Từ định nghĩa hạng của ma trận ta có thể suy ra thuật toán sau để tính
hạng của ma trận A cấp m n (A 0).
Bước 1:
Tìm một định thức con cấp k khác 0 ( số k càng lớn càng tốt )
Giả sử định thức con cấp k khác 0 là Dk.
Bước 2:
Xét tất cả các định thức con cấp k+1 của A chứa định thức Dk. Xảy ra 3
trường hợp sau:
1. Không có một định thức con cấp k+1 nào của A. Trường hợp này
xảy ra khi k min m, n . Khi đó, rankA k . Thuật toán kết thúc.
2. Tất cả các định thức con cấp k+1 chứa định thức Dk đều bằng 0.
Khi đó rankA k và thuật toán kết thúc.
3. Nếu tồn tại một định thức con cấp k+1 của A là Dk+1 chứa định
thức con Dk khác 0. Khi đó ta lặp lại bước 2 với Dk+1 thay cho vị
Bùi Thị Hoa
56
K35A – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Đinh Thị Kim Thúy
trí của Dk. Tiếp tục như vậy đến khi xảy ra trường hợp 1 hoặc 2 thì
thuật toán kết thúc.
Ví dụ: Tính hạng của các ma trận sau.
1
1
b) B
1
2
1 0 1
a) A 0 1 1
1 1 0
2 2 1 4
1 1 1 3
3 3 2 2
1 1 0 1
Lời giải.
a) Ta có định thức con cấp 2:
D
1 0
0 1
1 0
Trong khi đó A là ma trận cấp 3
1
0
1
1 1 0 1
và det A 0 1 1
0
1 0 1 1
1 1 0
rank A=2
b) Ta có định thức con cấp 2:
D2
1 2
1 1
30
Xét tiếp định thức con cấp 3 bao quanh D2
Bùi Thị Hoa
57
K35A – SP Toán
