BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (548.39 KB, 86 trang )
Khóa luận tốt nghiệp
Đại học Sư Phạm Hà Nội 2
Áp dụng phương pháp lặp đơn có công thức tổng quát:
k 2
k 2 [y ]
k 1
[
x
]
[
y
]
2
4
x k 1
2
k
k
5
x y
k 1
2
y
3
Với xấp xỉ ban đầu ( x(0) , y(0) ) = (0,5 ; 0,9) ta có kết quả sau đây:
k
x(k)
y(k)
1
0,4975
0,983333333
2
0,497443055
0,99640277
3
0,498721561
0,998551213
…
…
…
22
0,499999997
0,999999997
23
0,499999998
0,999999998
24
0,499999999
0,999999999
25
0,499999999
0,999999999
5
2
2 x xy 3x 4 0
b)
3x 2 xy 2 x 7 0
8
Hướng dẫn:
Ta đưa hệ trên về dạng:
5
2 x 2 xy
4
x g1 x, y
3
7
3x 2 x xy 2 4 y
y g x, y
8
2
4
GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng
40
SV: Nguyễn Thị Kim Dung
Khóa luận tốt nghiệp
Đại học Sư Phạm Hà Nội 2
Ta có:
g1 4 x y
x
3
;
g1 x
y 3
g2 6 x y 2 1
x
4
;
g2 xy 2
y
2
Có thể lấy lân cận Q = { (x, y) : 0,1 < x < 0,6 ; 1,0 < y < 1,6}
Trong lân cận Q ta có:
g1 g1
1
x
y
g 2 g2
1
x
y
Áp dụng phương pháp lặp đơn ta có công thức tổng quát:
k 1
x
k 1
y
2[x k ]2 x k y k 5
4
3
3[x k ]2 x k x k [y k ]2 4 y k 7
8
4
Với xấp xỉ ban đầu ( x(0) , y(0) ) = ( 0,5 ; 1,6) ta có kết quả sau đây:
k
x(k)
y(k)
1
0,516666666
1,56125
2
0,507585648
1,536197715
3
0,504821844
1,521820419
…
…
…
10
0,500146184
1,500682248
11
0,500089363
1,500419152
12
0,500054638
1,500255091
GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng
41
SV: Nguyễn Thị Kim Dung
Khóa luận tốt nghiệp
c)
Đại học Sư Phạm Hà Nội 2
2sin x 2 y y 2 3 0
e x 4 x y 2 2 y 2 0
Hướng dẫn:
Đưa hệ trên về dạng (2.1.2) ta được:
x
y
x
2
g1 x, y e y 2 y 2
4
2
g2 x, y y 2sin x 2 y 3
4
Ta có:
g1 e x
x
4
;
g1 y 1
y
2
g2 cos x
x
2
;
g2 y 1
y
2
Có thể lấy lân cận Q = { (x, y) : 0,1 < x < 0,3 ; 0,9 < y < 1,1}
Trong lân cận Q ta có:
g1 g1
1
x
y
g 2 g2
1
x
y
Áp dụng phương pháp lặp đơn có công thức tổng quát:
k
k
k
x
e
[y ]2 2 y 2
k
1
x
4
k
k 1 [y ]2 2sin[x k ] 2 y k 3
y
4
Với xấp xỉ ban đầu ( x(0) , y(0) ) 0,2; 0,9 ta có kết quả sau đây:
GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng
42
SV: Nguyễn Thị Kim Dung
Khóa luận tốt nghiệp
k
1
2
3
…
7
8
9
10
Đại học Sư Phạm Hà Nội 2
k
y
x
0,052850689
0,013563549
0,003413933
…
0,000012526
0,000003132
0,000000783
0,000000196
k
0,995754674
0,999534285
0,999881581
…
0,999999989
0,999999989
0,999999993
0,999999993
x 2 y 2 4 z 2 2 xy 2 xz 8 x 14 0
17
d) y 2 z 2 xyz 4 y yx 0
4
1
xy yz zx 2 0
Hướng dẫn:
Đưa hệ trên về dạng:
x 2 y 2 4 z 2 2 xy 2 xz 14
x g1 x, y, z
8
17
y 2 z 2 xyz xy
4
y g 2 x, y, z
4
1
xy zy xz 4 z
2
z g3 x, y, z
4
Ta có:
g1 x y z
x
4
;
g1 x y
y
4
;
g1 4 z x
z
4
g2 y yz
x
4
;
g2 2 y xz x
y
4
;
g2 2 z xy
z
4
g3 y z
x
4
;
g3 x z
y
4
;
g3 x y 4
z
4
GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng
43
SV: Nguyễn Thị Kim Dung
Khóa luận tốt nghiệp
Đại học Sư Phạm Hà Nội 2
Có thể lấy lân cận
Q = { (x, y, z) : 2,1 < x < 1,9 ; 1,1 < y < 0,9 ; 0,6 < z < 0,4}
Trong lân cận Q ta có:
g1 g1 g1
1
x
y
z
g 2 g 2 g 2
1
x
y
z
g3 g3 g3
1
x
y
z
Áp dụng phương pháp lặp đơn ta có công thức tổng quát:
k
k
k
k
k
k k
k 1
[x ]2 [y ]2 4[z ]2 2 x y 2 x z 14
x
8
k
k
k
k
k
k
k
17
[y ]2 [z ]2 x y z x y
k 1
4
y
4
k
k
k
k
k k
k 1
k 1 x y z y x z 4 z 2
z
4
Với xấp xỉ ban đầu (x(0) , y(0) , z(0)) = ( 1,8 ; 0,8 ; 0,4) ta có kết
quả sau đây:
K
x(k)
y(k)
z(k)
1
1,8850000000
1,0785000000
0,3750000000
2
2,0658915312
1,0542051406
0,4804150000
3
2,0326204844
1,0098608343
0,5251480574
…
…
…
…
11
1,9998508224
1,0000862333
0,498269156
12
2,0000833086
1,0000895979
0,4999704132
13
2,0000567858
1,0000102248
0,5000366192
GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng
44
SV: Nguyễn Thị Kim Dung
Khóa luận tốt nghiệp
Đại học Sư Phạm Hà Nội 2
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Seidel
4 x 2 y 2 0
a) 2
4 x 10 xy 1 0
Hướng dẫn:
Ta đưa hệ trên về dạng:
4 x 2 y 2 3x
x
g
x
,
y
1
3
2
4 x 10 xy 9 y 1
y g 2 x , y
9
Ta có:
g1 8 x 3
x
3
;
g1 2 y
y
3
g2 8 x 10 y
x
9
;
g2 10 x 9
y
9
Trong lân cận Q = { ( x, y ) : 0,1 < x < 0,6 ; 0,2 < y < 1,0 } ta có:
g1 g1
1
x
y
g 2 g2
1
x
y
Áp dụng phương pháp lặp Seidel ta có công thức tổng quát:
k 2
k 2
k
k 1
4[
x
]
[
y
]
3
x
x
3
k
1
k 1 k
k
k 1 4[ x ]2 10 x y 9 y 1
y
9
Chọn xấp xỉ ban đầu : ( x(0) , y(0) ) = ( 0,0 ; 0,8 ) ta có các kết quả
sau đây:
GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng
45
SV: Nguyễn Thị Kim Dung
Khóa luận tốt nghiệp
Đại học Sư Phạm Hà Nội 2
k
x(k)
y(k)
1
0,213333333
0,911111111
2
0,42935967
0,669495027
3
0,332967898
0,582191356
…
…
…
21
0,25000038
0,500000166
22
0,250000182
0,500000059
23
0,25000008
0,500000016
11
2
x 2 x y 6 0
b)
x2 5 y 2 3 0
8
Hướng dẫn:
Ta đưa hệ trên về dạng:
11
x2 y
6
x g1 x, y
2
3
x 2 5 y 2 12 y
y g x, y
8
2
12
Ta có:
g1
x
x
g2 x
x
6
g1
1
y
2
g 2 5 y 6
y
6
;
;
Trong lân cận Q = {(x , y) : 0,0 < x < 0,4 ; 0,1 < y < 0,5 } ta có:
g1 g1
1
x
y
g 2 g2
1
x
y
GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng
46
SV: Nguyễn Thị Kim Dung
Khóa luận tốt nghiệp
Đại học Sư Phạm Hà Nội 2
Áp dụng phương pháp lặp Seidel ta có công thức tổng quát:
k 2
k 2 11
k 1 [x ] [y ] 6
x
2
k
1
k
k
3
[ x
]2 5[ y ]2 12 y
k
1
y
8
12
Chọn xấp xỉ ban đầu ( x(0) , y(0) ) = ( 0,4 ; 0,4) ta có các kết quả sau
đây:
k
1
2
3
…
17
18
19
c)
x(k)
0,2237500000
0,1885763672
0,1942433038
…
0,2469354951
0,2474874002
0,2479391370
y(k)
0,3604113281
0,3345744387
0,3160385440
…
0,2535023384
0,2528717391
0,2523555393
3
2
2
2
x y 2 z 3xyz z 4 0
2
x y xyz 3x 0
3
y 2 2 y xz xy 0
4
Hướng dẫn:
Ta đưa hệ trên về dạng:
x 2 y xyz
x
g
x
,
y
,
z
1
3
3
y 2 xz xy
4
y g 2 x, y , z
2
3
x2 y 2 3xyz 7 z 2 z 2
4
z g 3 x, y , z
6
GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng
47
SV: Nguyễn Thị Kim Dung
Khóa luận tốt nghiệp
Đại học Sư Phạm Hà Nội 2
Ta có:
g1 2 xy yz
x
3
g2 z y
2
x
g3 2 x 3 yz
6
x
;
;
;
g1 x 2 xz
y
3
g2 2 y x
2
y
g3 2 y 3xz
6
y
g1 xy
z
3
g 2 x
z 2
g3 3xy 7 4 z
6
z
;
;
;
Có thể lấy lân cận
Q = { (x, y, z) : 0,4 < x < 0,4 ; 0,2 < y < 0,7 ; 0,7 < z < 1,3}
Trong lân cận Q ta có:
g1 g1 g1
1
x
y
z
g 2 g 2 g 2
1
x
y
z
g3 g3 g3
1
x
y
z
Áp dụng phương pháp lặp Seidel có công thức tổng quát:
k k
k k k
k 1
[x ]2 y x y z
x g1 x, y, z
3
k 1 k
3
k
k 1 k
[y ]2 x
z x y
k 1
4
g2 x, y, z
y
2
k
1
k
1
k
k
3
2
2
k 1 k 1 k
y z 7 z 2[z ]2
[x
] [y
] 3x
k 1
4
g3 x, y, z
z
6
Với xấp xỉ ban đầu (x(0) , y(0) , z(0)) = (0,4 ; 0,4 ; 1,3), ta có kết quả
sau đây:
GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng
48
SV: Nguyễn Thị Kim Dung
Khóa luận tốt nghiệp
Đại học Sư Phạm Hà Nội 2
k
x(k)
y(k)
z(k)
1
0,0480000000
0,4334000000
1,1235453400
2
0,0081239640
0,4717211380
1,0499631406
3
0,0013308612
0,4858756361
1,0221684198
...
...
...
...
8
0,0000001686
0,4995732165
1,0003174870
9
0,0000000281
0,4997866923
1,0001231732
10
0,0000000047
0,4998933701
1,0000438106
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp
Newton -Raphson
2 xy 3 0
a) 2
x y 2 0
Hướng dẫn:
Ta có:
2 y
2x
2 x 1
J x
Theo (2.3.5) với xấp xỉ ban đầu (x(0), y(0)) = (2 , 1) ta có kết quả
sau đây:
k
x(k)
y(k)
1
1,5000000000
2,0000000000
2
1,9500000000
1,6000000000
3
1,1711108093
0,9488321564
4
1,6986324211
0,8842972564
5
1,6980482312
0,8833674542
GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng
49
SV: Nguyễn Thị Kim Dung
Khóa luận tốt nghiệp
Đại học Sư Phạm Hà Nội 2
x2 4 y2 4 0
b) 2
x 2 x y 1 0
Hướng dẫn:
Ta có:
2x
8 y
2 x 2 1
J x
Theo (2.3.5) với xấp xỉ ban đầu (x(0), y(0)) = ( 1 , 1) ta có kết quả
sau đây:
k
x(k)
y(k)
1
0,2647058824
1,0588235294
2
0,0308556993
1,0079775645
3
0,0005323908
1,0001455620
4
0,0000001646
1,0000000460
5
0,0000000000
1,0000000000
6
0,0000000000
1,0000000000
2
2cos x sin y y 3x 2 0
c)
2
2
sin x cos y 5 y x 1 0
Hướng dẫn:
Ta có:
2sin x 3
J x
cos x 2 x
cos y 2 y
10 y sin y
Theo (2.3.5) với xấp xỉ ban đầu (x(0), y(0)) = (0,025 ; 0,025) ta có
kết quả sau đây:
GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng
50
SV: Nguyễn Thị Kim Dung
