2 Một số dạng ma trận đặc biệt:
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (548.39 KB, 86 trang )
Khóa luận tốt nghiệp
1
0
Ví dụ: A
0
0
2
4
0
0
3
3
1
0
GVHD: Đinh Thị Kim Thúy
4
2
là ma trận tam giác trên
2
5
Ma trận tam giác dưới có dạng:
a11
a
A 21
an1
0
a22
an 2
...
0
... 0
( a 0 khi i j )
ij
... ann
3 0 0
Ví dụ: B 1 2 0 là ma trận tam giác dưới.
0 1 1
Nhận xét: Ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới được gọi
chung là ma trận tam giác.
1.2.4 Ma trận chuyển vị
a) Định nghĩa:
Cho ma trận A Mat m n, K . Ma trận chuyển vị của ma trận A,
( ký hiệu AT ) là ma trận mà trong đó vai trò của dòng và cột hoán
chuyển cho nhau nhưng vẫn giữ nguyên chỉ số của chúng.
Bùi Thị Hoa
5
K35A – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
a11
a
Giả sử ta có ma trận A 21
am1
GVHD: Đinh Thị Kim Thúy
a12 ... a1n
a22 ... a2 n
thì khi đó ma trận
am 2 ... amn
a11
a
T
chuyển vị của ma trận A là A 12
a1n
a21
a22
a2 n
am1
... am 2
... amn
...
Nếu ma trận A có cấp là m n thì ma trận AT có cấp là n m.
Trường hợp đặc biệt chuyển vị của ma trận cột là ma trận dòng và
ngược lại chuyển vị của ma trận dòng là ma trận cột.
Ví dụ:
1 2 3 4
Ma trận A 5 6 7 8 thì ma trận chuyển vị của A là
9 1 2 3
1
2
AT
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
b) Định lý: Cho các ma trận A, B Mat (m n, K) . Khi đó ta có các
khẳng định sau:
T T
A
A.
AT B T A B
Bùi Thị Hoa
6
K35A – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Đinh Thị Kim Thúy
1.2.5 Ma trận nghịch đảo.
Ma trận vuông A Mat (n n, K) là một ma trận khả nghịch nếu có
một ma trận vuông B Mat (n n, K) thỏa mãn : AB BA I n . Khi đó,
B được gọi là ma trận nghịch đảo của A , kí hiệu là : B A1
1.2.6 Ma trận đối xứng – Ma trận phản đối xứng:
Nếu ma trận vuông A thỏa mãn: AT A thì ta nói A là ma trận đối
xứng.
1 2 3
Ví dụ: Ma trận A 2 1 0 là một ma trận đối xứng cấp 3.
3 0 1
Nếu ma trận vuông A thỏa mãn: AT A thì A là ma trận phản đối
xứng.
Ví dụ:
0
2
Ma trận B
3
4
2 3 4
0 5 1
là ma trận phản đối xứng.
5 0 3
1 3 0
Định lý: Nếu A là ma trận đối xứng thì aij a ji , i, j 1, n
Nếu A là ma trận phản xứng thì aij a ji , i, j 1, n , từ đây suy ra
aii 0 (các phần tử trên đường chéo chính bằng 0).
1.3 Phép nhân hai ma trận:
Cho hai ma trận A ( aij ) m r và B ( bij ) r n , khi đó tích của hai ma trận
A và B, ký hiệu là AB là một ma trận C ( cij ) m n với các phần tử cij
Bùi Thị Hoa
7
K35A – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Đinh Thị Kim Thúy
( là tổng của các tích các phần tử tương ứng dòng i của ma trận A với
cột j của ma trận B ) cho bởi:
r
cij ai1b1 j ai 2b2 j ... air brj aik bkj
k 1
Chú ý:
Tích của ma trận A và ma trận B chỉ được xác định khi số dòng của
ma trận B bằng đúng số cột của ma trận A. Tức là nếu A là ma trận cấp
m r và B là ma trận cấp r n thì AB là ma trận cấp m n . Do đó, với
A và B là hai ma trận bất kỳ thì nếu có tích của AB, ta cũng không hẳn
suy ra được tích của hai ma trận BA, nói cách khác, tích của hai ma trận
không giao hoán.
Ngoài ra, có những ma trận khác 0 nhưng tích của chúng lại là ma
trận 0.
1.4 Hạng của ma trận
Hạng của một hệ vec tơ:
Cho một hệ gồm một số hữu hạn vectơ của không gian vectơ V . Ta
gọi số vectơ của hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ là hạng của hệ
vectơ đã cho.
Kí hiệu hạng của hệ vec tơ 1 , 2 , , n là rank 1 , 2 , , n
Hạng của ma trận
Cho A M at m n , K . Coi mỗi cột ( hay dòng) của A là một vectơ
ta được hệ n vectơ (tương ứng m vectơ) của không gian vectơ
Kn (tương ứng K m ). Ta gọi hạng của hệ n (tương ứng m ) vectơ này là
hạng của ma trận A và kí hiệu là rank A.
Bùi Thị Hoa
8
K35A – SP Toán
