5 Phép thế và dấu của phép thế

Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



 Phép thế   S n mà   i   j ,  j   i ;   k   k , k  i, j được



gọi là một phép chuyển trí, được kí hiệu là  i , j  .

Nghĩa là phép thế  đổi chỗ hai phần tử i, j  1, 2, n cho nhau và

giữ nguyên các phần tử còn lại.

1.5.2 Nghịch thế, dấu của phép thế.

 Với n  1 ta gọi cặp số {i,j}  {1,2,…,n} là một nghịch thế của



phép thế  nếu   i     j  trái dấu với i-j nghĩa là:



 i     j 

i j



0 .



 Phép thế với số nghịch thế chẵn (tương ứng lẻ) được gọi là phép thế



chẵn ( tương ứng lẻ).

 Dấu của phép thế là một số được kí hiệu là sgn   cho bởi:



1

sgn    

1



Bùi Thị Hoa



nếu  là phép thế chẵn

nếu  là phép thế lẻ



10



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



Chương 2: ĐỊNH THỨC



2.1 Định nghĩa

2.1.1 Định nghĩa: Định thức của ma trận A, ký hiệu là detA hay |A|

được tính bằng:

det A 



 sgn   a 



a



1 (1) 2 (2)



...an ( n ) , trong đó Sn là tập tất cả các phép



 S n



thế của tập hợp gồm n số tự nhiên đầu tiên {1, 2,…, n}.

Nhận xét: Định thức của một ma trận vuông cấp n trên trường K thường

được gọi là một định thức cấp n.

Ví dụ:

Khi n = 2 ta có định thức cấp hai:

a

det  11

 a21



a12  a11



a22  a21



a12

a22







 sgn  a    a   

1 1



2



2



 S2



1 2   1 2  

Ta có số các phép thế bậc hai: S2  

;



1 2   2 1  

1 2 

1 2

trong đó: 1  

là phép thế chẵn,  2  



 là phép thế lẻ.

1 2 

2 1



Suy ra biểu thức tính định thức cấp hai là:



a11

a21



a12

 a11a22  a12 a21 .

a22



2.1.2 Các tính chất

2.1.2.1 Tính chất 1: Cho A là ma trận vuông cấp n. Giả sử dòng thứ i

'

''

của ma trận A có thể biểu diễn dưới dạng aij  aij  aij với j = 1, 2, …,n.



Khi đó ta có:



Bùi Thị Hoa



11



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



...

det A  ai1'  ai1''

...

...

 ai1'

...



...

ai2'

...



...

ai2'  ai2''

...



...

...

... ain'  ain''

...

...



... ...

...

'

... ain  ai1''

... ...

...



...

ai2''

...



... ...

... ain''

... ...



Trong đó các dòng còn lại của 2 định thức ở hai vế là hoàn toàn như

nhau và chính là các dòng còn lại của ma trận A.

1 2 3 1 2 3 1 2 3

Ví dụ: 4 5 6  6 5 4  2 0 2

7 8 9 7 8 9

7 8 9



2.1.2.2 Tính chất 2: Nếu tất cả các phần tử của một dòng (hoặc một

cột) của định thức được nhân với  thì định thức mới bằng định thức ban

đầu nhân với  .

1 2 3

1 2 3

Ví dụ: 4 2 6  2. 2 1 3

9 8 6

9 8 6



Nhận xét: Từ tính chất này suy ra nếu A là ma trận vuông cấp n thì

det(  A )   n det( A ).



2.1.2.3 Tính chất 3: Định thức không đổi qua phép chuyển vị, tức là



det A  det AT .

Ví dụ:



2 0

1 3







2 1

0 3



6



2.1.2.4 Tính chất 4: Nếu ta đổi chỗ hai dòng ( i  j ) (hoặc hai cột khác

nhau) bất kỳ của định thức thì định thức đổi dấu.



Bùi Thị Hoa



12



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



1 3 5



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



3 1 7



Ví dụ: 2 7 9   2 7 9

3 1 7

1 3 5

Chú ý: Các tính chất 1, 2, 4 trên chính là tính đa tuyến tính thay phiên

của định thức. Từ các tính chất trên ta có các kết quả sau:

2.1.2.5 Tính chất 5: Định thức của ma trận A sẽ bằng 0 nếu thỏa một

trong các điều kiện sau:





Có một dòng mà tất cả các phần tử của dòng đó đều bằng 0.







Có hai dòng bằng nhau hoặc tỉ lệ với nhau.







Có một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác. Tức là tồn tại



dòng d i mà d i  a1 d1  a2 d 2  ...  ai 1d i 1  ai 1 d i 1  ...  ak d k  ... với

ai  K .



2.1.2.6 Tính chất 6: Định thức sẽ không thay đổi nếu ta cộng vào một

dòng một tổ hợp tuyến tính của các dòng khác.

2.1.2.7 Tính chất 7: Nếu A là ma trận tam giác trên (ma trận tam giác

dưới) thì định thức của ma trận A bằng tích của tất cả các phần tử trên

đường chéo chính. Tức là nếu:

 a11

 0

A

 



 0



a12

a22



0



a1n 

 a11



a

... a2 n 

21

hoặc A  

 

  





... ann 

 an1

...



0

a22



an 2



...



0 

... 0 

  



... ann 



Khi đó ta có: det A  a11 .a22 ...ann . Đặc biệt định thức của ma trận đơn vị

bằng 1.

2.1.2.8 Tính chất 8: Nếu A và B là các ma trận vuông cấp n thì:

det  A. B   detA . det B .



Bùi Thị Hoa



13



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



Nhận xét:

Nếu thay từ dòng bằng từ cột thì các tính chất trên vẫn đúng.

Đối với các ma trận A có cấp n (với n là một số rất lớn), khi đó việc

tính detA bằng định nghĩa ta sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Do đó, ngoài

cách vận dụng các tính chất trên của định thức, ta còn rất hay sử dụng

định lý Laplace sau đây.

2.2 Định lý Laplace:

2.2.1 Định thức con và phần bù đại số:

Cho A là ma trận vuông cấp n và k là một số tự nhiên thỏa

mãn 1  k  n . Nếu chọn k dòng và k cột của A thì định thức M của ma

trận vuông cấp k gồm các thành phần nằm ở giao của k dòng và k cột này

được gọi là một định thức con cấp k của ma trận A.

Định thức M' của ma trận vuông cấp n-k nhận được sau khi xóa đi k

dòng và k cột đó được gọi là một định thức con bù của định thức con M

Nếu k dòng đã chọn là i1 , , ik và k cột đã chọn là j1 , , jk thì ta gọi

k



 iq  jq 

.M '

 1

q 1



là phần bù đại số của định thức con M.

Khi k =1 thì phần bù đại số của định thức con cấp một

M  det  aij   aij cũng được gọi là phần bù đại số của phần tử aij . Nó



bằng  1



i j



M ij với M ij là định thức của ma trận vuông cấp  n  1 có



được bằng cách xóa đi dòng i, cột j của ma trận A. Ta kí hiệu phần bù đại

số của phần tử a ij là Aij . Khi đó ta có: Aij =  1



Bùi Thị Hoa



14



i j



M ij



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



Ví dụ: Xét ma trận



D2 



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



1

0

A

1



0



2

2

5

5



3

4

1

2



2

1 

khi đó. Định thức

4



1



1 2

 2 được gọi là định thức con cấp 2 của A. Định thức con bù

0 2



2 4 1

 7 . Ta có M11  5 1 4 khi đó phần bù đại số

của D2 là D 

2 1

5 2 1



1 4



'

2



của phần tử a11  1 của ma trận A là:

2 4 1

A11  (  1) M 11 = 5 1 4  51

5 2 1

1 1



Nhận xét:

Nếu M là định thức con của A tạo bởi các dòng i1 , i2 ,..., ik và các cột

j1 , j2 ,..., jk thì phần bù đại số của M. Ký hiệu là M ' được xác định như



sau:

M '  (  1) i1  i2  ... ik  j1  .... jk det( K ) với K là ma trận có được từ ma trận A



khi bỏ đi các dòng i1 , i2 ,..., ik và các cột j1 , j2 ,..., jk .

Ví dụ: Đối với ma trận A cho trên, xét M 



1 2

là định thức con của A

1 5



 4 1

tạo bởi dòng 1 và dòng 3; cột 1 và cột 2. Khi đó, K  

 là ma trận

 2 1

có được từ ma trận A sau khi bỏ đi dòng 1, dòng 3 cột 1 và cột 2. Vậy



M '  (1)1312



Bùi Thị Hoa



4 1

 2 .

2 1



15



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



2.2.2 Định lý Laplace: Cho A là ma trận vuông cấp n

 a11

a

 21

 

A

 ai1

 



 an1



a12

a22





... a1 j

... a2 j







ai2 ... aij







an 2 ... anj



... a1n 

... a2 n 



 

.

... ain 



 



... ann 



Khi đó:

 Nếu khai triển định thức A theo dòng thứ i thì detA được biểu diễn

dưới dạng:

n



det A  ai1 Ai1  ai2 Ai2  ...  ain Ain   aik Aik

k 1



 Nếu khai triển định thức A theo cột thứ j thì detA được biểu diễn

dưới dạng:

n



det A  a1 j A1 j  a2 j A2 j  ...  anj Anj   akj Akj

k 1



Ví dụ: Tính định thức:

0

2

D

1

0



3

3

1

4



0

1

3

0



5

1

0

5



Lời giải

Khai triển định thức theo dòng 1, ta có:

2 1 1

1 2



2 3 1

1 4



D  (1) 3 1 3 0  (1) 5 1 1 3

0 0 5

0 4 0



Bùi Thị Hoa



16



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



Khai triển theo dòng cuối của 2 định thức trên có:



D  (1)12 .3.5.(1)33



2 1

1 3



 (1)14 4.(1)23 .5



2 1



 25



1 3



2.2.3 Định lý Laplace (tổng quát):

Cho A  Mat (n  n, K) , chọn trong A các dòng i1  i2  ...  ik . Khi đó,







det( A) 



MM ' , với M là các định thức con cấp k của A sinh bởi



j1  j2 ... jk



các dòng i1 , i2 ,..., ik và các cột j1 , j2 ,..., jk và M’ là phần bù đại số của M.

Ví dụ: Tính định thức sau:

0 3 0 5

D' 



2 3 1 1

1 1 3 0

0 4 0 5



Chọn M là ma trận vuông cấp 2 tạo bởi các phần tử trên dòng 1và dòng4.

Khi đó ta có:

D '  (1)1424



3 5 2 1

0 3 1 1

.

 (1)1412

.

4 5 1 3

0 4 3 0



 (1)1 4 2 4



3 0 2 1

0 0 3 1

.

 (1)1 413

.

4 0 1 0

0 0 1 3



 (1)1 41 4



0 5 2 1

0 5 2 3

.

 (1)1 4 41

.

0 5 1 3

0 5 1 1



 (1)(5)5  25



Nhận xét:

Nhờ có định lý Laplace, để tính một định thức cấp cao (n > 3) ta có

thể khai triển định thức theo một dòng và một cột bất kỳ để đưa về tính

các định thức cấp bé hơn. Cứ như vậy, sau một số lần ta sẽ đưa việc tính

định thức cấp cao về dạng tính định thức cấp 2, 3. Tuy nhiên, trên thực tế



Bùi Thị Hoa



17



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



thì nếu làm như vậy thì số lượng phép tính sẽ khá lớn. Bởi vậy, ta thực

hiện theo các bước sau sẽ làm giảm đi số phép tính cần thực hiện:

 Bước 1: Chọn dòng hoặc cột có nhiều số 0 nhất để khai triển định

thức theo dòng (cột) đó.

 Bước 2: Sử dụng tính chất 6 để đưa định thức về dạng có dòng

(cột) đã chọn thành dòng (cột) chỉ có một số khác 0.

 Bước 3: Khai triển định thức theo dòng (cột) đó. Khi đó, việc tính

một định thức cấp n quy về việc tính định thức cấp n-1. Tiếp tục lặp lại

các bước 1, 2 cho định thức cấp n-1, cuối cùng ta sẽ dẫn về việc tính

định thức cấp 2, 3.

 Ví dụ 1: Chứng minh rằng các định thức sau bằng 0:



ab a 2  b 2



a) bc



b2  c2



ac



c2  a2



2



a  b

2

b  c 

2

c  a

2



  1

2

   1

2

  1

2

  1

2

  1



1 

1 



b) 1 

1 

1 



2



2



  2 

2

   2

2

  2 

2

  2

2

  2 



  3 

2

   3

2

  3

2

   3

2

  3



Lời giải

ab a 2  b 2



a) D  bc b2  c 2

ac



c2  b2



2



a  b

2

b  c 

2

c  a



ab a 2  b 2



= bc b 2  c 2

ac c 2  a 2



a 2  b 2  2ab

b 2  c 2  2bc  D1  D2

c 2  a 2  2ac



trong đó:



Bùi Thị Hoa



18



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



ab a 2  b 2

D1  bc



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



a 2  b2



b2  c2



b 2  c 2 =0 vì định thức D1 có cột 2 bằng cột 3



ac c 2  a 2



c2  a2



ab a 2  b 2



2ab



D2  bc

ac



b2  c2

2



c a



2bc =0 vì định thức D2 có cột 1 và cột 3 tỉ lệ với



2



2ca



nhau

Vậy D  D1  D2  0 .

b)

2



1 



  1

2

   1

2

  1

2

  1

2

  1



1 



 2  2  1



1 



 2  2  1



= 1 



 2  2  1



1 



 2  2  1



1 



 2  2  1



1 

1 



D= 1 

1 



Bùi Thị Hoa



2



  2 

2

   2

2

  2 

2

  2

2

  2 



2



  3 

2

   3

2

  3

2

   3

2

  3

2



  2 

2

   2

2

  2 

2

  2 

2

  2 



2



  3 

2

   3

2

  3

2

   3

2

  3



19



(2)



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



1 



2



1 



2



= 1 



2



1 



2



1 



2



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



2



  2 

2

   2

2

  2 

2

  2 

2

  2 



2



  3 

2

   3

2

  3 

2

   3

2

  3



(3)



( vì định thức (2) có được từ định thức (3) cộng vào cột 3 một tổ hợp

tuyến tính của 2 cột đầu)

1 



 2  2  4  4



1 



2



 2  4  4



1 



2



 2  4  4



1 



2



 2  4  4



1 



2



 2  4  4



1 



2 2



1 



2



2



D1  1 



2



2



1 



2



2



1 



2



2



2



  3 

2

   3

2

  3 

2

   3

2

  3



= D1  D2  D3 trong đó:



2



  3 

2

   3

2

  3

2

   3

2

  3



=0 vì định thức D1 có cột 3 và cột 4 bằng



nhau. Tương tự ta cũng có:

1 



2



4



1 



2



4



D2  1 



2



4



1 



2



4



1 



2



4



Bùi Thị Hoa



2



  3

2

   3

2

  3

2

   3

2

  3



1 



2



4



1 



2



4



=0 , D3  1 



2



4



1 



2



4



1 



2



4



20



2



  3 

2

   3

2

   3

2

   3

2

  3



0



K35A – SP Toán