3 Mối liên hệ liên tục - khả vi

“Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm xo thì nó liên tục tại điểm đó.

y

 f '( xo ) .

x  0 x



Thật vậy, giả sử hàm số f có đạo hàm tại f’(xo), tức là lim

Ta có

y

y

.x  lim

. lim y  f '( xo ).0  0 .

x 0 x

x  0 x x  0



lim y  lim



x  0



Do đó lim ( f ( x)  f ( xo ))  lim y  0 . Điều này chứng tỏ

x  xo



x 0



lim f ( x )  f ( xo ) .



x  xo



Từ đó suy ra rằng hàm số f liên tục tại điểm xo.”[GKNC11, tr.186]

Như vậy, mối liên hệ “hàm số khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó” được thể chế nêu

rõ trong SGK và giải thích rõ ràng. Tuy nhiên, mối liên hệ theo chiều ngược lại “Hàm liên

tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó” không được đề cập trong phần bài học.

Về vấn đề này, để rõ hơn, chúng tôi tham khảo thêm GVNC11:

Để giảm nhẹ kiến thức, chương trình không yêu cầu xây dựng các khái niệm đạo hàm

một bên và đạo hàm trên một đoạn. Mặt khác, SGK không nhấn mạnh “Quan hệ

giữa sự tồn tại đạo hàm và tính liên tục của hàm số tại một điểm” mà chỉ nêu tính

chất “Hàm số có đạo hàm tại xo thì liên tục tại điểm đó” như là một nhận xét mà

thôi; điều đó không ảnh hưởng gì lớn đến các nội dung khác của Giải tích trong

chương trình THPT.[GVNC11, tr.226]

Trích dẫn cho thấy, lí do của việc không đề cập là để giảm nhẹ chương trình và noosphere

không nhấn mạnh “quan hệ giữa sự tồn tại đạo hàm và tính liên tục của hàm số tại một

điểm”.

*Phần bài tập (vi trí HS)



Trong phần này chúng tôi không phân tích hết các tổ chức toán học liên quan mà chỉ

phân tích 2 bài tập liên quan mối liên hệ liên tục-khả vi:

“14.Cho hàm số y  x .

a)Chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục tại điểm x=0.

b)Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x=0, nếu có.

c)Mệnh đề “Hàm số liên tục tại điểm xo thì có đạo hàm tại xo” đúng hay sai?



15.Hình 5.5 là đồ thị của hàm số

y=f(x) xác định trên khoảng (a;b).



y



Dựa



vào hình vẽ hãy cho biết tại mỗi



điểm



x1, x2, x3 và x4:

a)Hàm số có liên tục hay không?

b)Hàm số có đạo hàm hay không?



Hãy



tính đạo hàm nếu có.”

[GKNC11, tr.195]



O



a



x1



x2 x3



x4



b



x



Với bài tập 14, SGV gợi ý như sau:

a) Hàm đã cho liên tục tại xo=0 vì

lim f ( x)  lim x  0  f (0) .

x 0



x 0



Đồ thị là một đường “liền nét” khi đi qua điểm O(0;0).(h.5.7)

b)Đạo hàm của hàm số f ( x)  x tại điểm xo=0 có hay không, phụ thuộc vào

sự tồn tại của giới hạn

lim

x 0



f ( x ) f (0)

.

x0



Ta nhận thấy

lim



x

f ( x ) f (0)

x

 lim  lim  1 .

x 0 x

x 0 x

x0



lim



x

f ( x ) f (0)

x

 lim  lim

 1 .

x 0 x

x 0 x

x0



lim



f ( x ) f (0)

f ( x ) f (0 )

 lim

.

x 0

x0

x0



x 0



x 0



x 0



Suy ra giới hạn đang xét là không tồn tại, nghĩa là hàm số đã cho không có

giới hạn tại điểm xo=0 ( vậy không có tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại

điểm O(0;0)). [GVNC11, tr.231]

Trích dẫn cho thấy, noosphere muốn HS biết rõ hàm đã cho liên tục tại x=0 nhưng không có

đạo hàm tại x=0. Từ đó, HS nhận ra mệnh đề “Hàm số liên tục tại điểm xo thì có đạo hàm tại

xo” là không đúng. Trong gợi ý trên, ngoài việc xem xét sự liên tục và sự khả vi của hàm số

tại x=0 bằng định nghĩa, GVNC11 còn minh hoạ bằng đồ thị mặc dù đề bài không yêu cầu. Có

thể giải thích rằng, noosphere gợi ý GV nên sử dụng đồ thị để minh họa trong trường hợp

này. Đồ thị được đưa vào một mặt minh họa cho sự liên tục của hàm số (thông qua đặc



trưng liền nét) mặt khác minh họa cho việc hàm số không có đạo hàm tại x=0 (đồ thị không

có tiếp tuyến tại O(0,0)), qua đó HS có thể hình dung một cách trực quan về hàm số liên tục

tại một điểm nhưng không khả vi tại điểm đó.

Với bài 15, GVNC12 gợi ý như sau:

Căn cứ vào hình 5.8 ta nhận thấy :

+ hàm đã cho gián đoạn tại các điểm x1 và x3 vì đồ thị hàm số bị đứt tại các điểm M1,

M3. Do đó tại các điểm x1, x3 hàm số không có đạo hàm.

+ Hàm số đã cho liên tục tại các điểm x2, x4 vì đồ thị hàm số là đường “liền nét” khi

đi qua các điểm M2, M4.

+ Hàm số không có đạo hàm tại điểm x2 vì tại điểm M2 đồ thị hàm số bị gãy ( và hiển

nhiên tại đó không có tiếp tuyến), giống như tại điểm (0;0) đối với đồ thị hàm số

y x .



+ Hàm số có đạo hàm tại điểm x4 và f’(x4)=0; vì tại điểm M4 đồ thị của hàm số có

tiếp tuyến và tiếp tuyến này song song với trục hoành.[GVNC11, tr.232]

Trích dẫn cho thấy, noosphere muốn dùng đồ thị làm công cụ để minh họa cho mối

quan hệ “liên tục và khả vi”. Mệnh đề “nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm xo thì nó liên

tục tại điểm đó” được đề cập thông qua x4, hàm số có đạo hàm và liên tục tại điểm này.

Không chỉ thế, mệnh đề tương đương với nó “nếu hàm số y=f(x) không liên tục tại điểm xo

thì nó không có đạo hàm tại điểm đó” cũng được minh họa rõ. Cụ thể, hàm được cho không

liên tục tại x1 và x3 thể hiện qua “đồ thị hàm số bị đứt tại các điểm M1 và M3” và từ đó đi

đến kết luận “do đó tại các điểm x1, x3 hàm số không có đạo hàm”.

Mối liên hệ “hàm số liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó” được chỉ rõ

qua điểm x2. Hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại x2 vì đồ thị hàm số liền nét khi đi

qua M2 nhưng “bị gãy” tại điểm này. Ở đây, “điểm gãy” tạo tác động trực quan: tại hoành

độ điểm gãy, hàm số không có đạo hàm. Lí do được đưa ra là tại điểm gãy đồ thị hàm số

không có tiếp tuyến.

Như vậy, mặc dù không nhấn mạnh mối liên hệ “liên tục-khả vi” và trong phần lí thuyết

không đề cập đến mối liên hệ “hàm liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó”,

nhưng trong phần bài tập, noosphere lại minh họa rất rõ. Đặc biệt, hai bài trên cho thấy “đồ

thị” là công cụ chủ yếu được dùng để thể hiện các mối liên hệ trên. Tuy nhiên, từ đó về sau,

mối liên hệ trên không được đề cập trở lại cả trong lí thuyết lẫn bài tập. Nói cách khác, điều

kiện sinh thái của nó không còn nữa. Điều đó khiến chúng tôi đặt ra câu hỏi: liệu HS có nắm



rõ được các quan hệ này không? Cũng cần lưu ý thêm, trong chương 1, chúng tôi đã chỉ ra

một chướng ngại liên quan đến mối liên hệ này: Hàm số liên tục trên một khoảng thì khả vi

trên khoảng đó, trừ ra một số hữu hạn điểm, do đó đối với HS, chúng tôi đặc biệt quan tâm

đến câu hỏi: tồn tại hay không quan niệm “ hàm số liên tục tại điểm nào thì khả vi tại

điểm đó”?

2.3.2 SGK cơ bản



Khác với SGK nâng cao, mối liên hệ liên tục-khả vi được GKCB11 nêu thành một mục riêng:

“4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Ta thừa nhận định lí sau đây.

Định lí 1

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại xo thì nó liên tục tại điểm đó

CHÚ Ý

a)Định lí trên tương đương với khẳng định :

Nếu hàm số y = f(x) gián đoạn tại xo thì nó không có đạo hàm tại điểm đó

b)Mệnh đề đảo của định lí không đúng.

Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó.

 x 2 nêu x  0

Chẳng hạn hàm số f ( x)  

nêu x  0

x



Liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại

điểm đó.

Ta nhận xét rằng đồ thị của hàm số này là một

đường liền, nhưng bị “gãy” tại điểm O(0;0)

(h.62)” [GKCB11, tr150]

Như vậy, tính chất hàm số khả vi tại một điểm thì khả vi tại điểm đó được GKCB11 đề cập

qua việc công nhận định lí 1, không chỉ vậy, GKCB11 còn nêu rõ mệnh đề tương đương với

nó. Ở đây, GKCB11 cung cấp một cách chứng minh hàm số không có đạo hàm tại một điểm.

Điều này được giải thích trong GVCB11 như sau:

“[…]

Từ định lí trên, ta có thể chứng minh được rằng nếu xo là điểm gián đoạn thì không

tồn tại đạo hàm của hàm số tại điểm đó.

Ví dụ 2.Chứng minh rằng hàm số



 x 2  1 nêu x  0



f(x)  3

nêu x  0

x





Không có đạo hàm tại xo = 0.

Giải. Vì lim f ( x )  lim( x 2  1 )  1  f ( 0 ),



x 0



x 0



lim f ( x )  lim x 3  0



x 0



x 0



Nên lim f ( x )  lim f ( x ) .

x 0



x 0



Do đó không tồn tại lim f ( x ) .

x 0



Vậy hàm số y = f(x) gián đoạn tại xo. Do đó, hàm số không có đạo hàm tại điểm

đó.”[GVCB11, tr.151]

Mối liên hệ “hàm số khả vi tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó” được GKNC11 nêu

tường minh, đi kèm là một ví dụ minh họa bằng đồ thị. Hình ảnh đồ thị liền nét nhưng bị

“gãy” tại điểm O(0;0) giúp HS hình dung một cách trực quan về đồ thị của hàm số liên tục

tại một điểm nhưng lại không có đạo hàm tại đó.

*Phần bài tập (vị trí HS)

Chỉ có một bài tập minh họa cho khẳng định “Nếu hàm số y = f(x) không liên tục tại xo thì



nó không có đạo hàm tại điểm đó”

“4.Chứng minh rằng hàm số

( x  1 )2 nêu x  0



f(x)  2

nêu x  0

 x





Không có đạo hàm tại điểm x = 0”[GKCB11, tr.156]

Các bài tập minh họa tính chất “hàm số khả vi tại một điểm có thể không khả vi tại điểm

đó” không xuất hiện.

Như vậy, tuy phần bài học đề cập đầy đủ và có minh họa rõ ràng bằng đồ thị mối liên hệ



liên tục-khả vi nhưng phần bài tập chỉ có duy nhất một bài tập liên quan đến mối liên hệ

này. Hơn nữa, bài tập này chỉ nhằm củng cố tính chất “hàm số bị gián đoạn tại điểm nào thì



không khả vi tại điểm đó”.

2.4 Kết luận chương 2

2.4.1 Đơn điệu-Liên tục



Mối liên hệ đơn điệu-liên tục chỉ được đề cập trong giai đoạn khái niệm liên tục hoạt động



ngầm ẩn với đặc trưng hàm số có đồ thị liền nét trên khoảng đơn điệu. SGK nâng cao chú

trọng đến việc nghiên cứu tính đơn điệu từ đồ thị của hàm số, điều này thể hiện rõ qua tầm

quan trọng của kiểu nhiệm vụ Tđt (khảo sát sự biến thiên của hàm số từ đồ thị của nó). SGK

cơ bản chỉ nghiên cứu tính đơn điệu của hàm bậc nhất, hàm giá trị tuyệt đối của hàm bậc

nhất và bậc hai cùng với yêu cầu vẽ đồ thị của các hàm số này. Trong giai đoạn này, thể chế

chỉ đề cập các hàm số liên tục trên khoảng đơn điệu của nó. Đến giai đoạn khái niệm liên

tục được giảng dạy tường minh, mối liên hệ này không được đề cập trở lại, đặc biệt không

có một lưu ý hay ví dụ và bài tập nào chỉ ra rằng “một hàm số đơn điệu trên I (khoảng, nửa

khoảng, đoạn) có thể không liên tục trên I ”, việc minh họa bằng đồ thị đã không được tính

đến. Định lí về điều kiện đủ để một hàm số đơn điệu trên một khoảng liên tục trên khoảng

đó cũng không được đưa vào, hệ quả kéo theo là tính liên tục của các hàm sơ cấp cơ bản

trên tập xác định của chúng được công nhận. Từ các phân tích, chúng tôi phát biểu giả

thuyết sau về một ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân của HS:

Giả thuyết H1:



Đối với HS: hàm số đơn điệu trên K (khoảng, nửa khoảng, đoạn) thì liên tục trên

khoảng đó.

2.4.2 Đơn điệu-Khả vi



Định nghĩa hàm số đơn điệu ở cấp độ phổ thông tương đương với định nghĩa đơn điệu

nghiêm ngặt ở bậc đại học. Vì vậy, trong 2 bô sách nâng cao và cơ bản, mối liên hệ đơn

điệu-khả vi chỉ là “vết” của định lí 2 về điều kiện cần và đủ để một hàm số đơn điệu ngặt

o



mà chúng tôi đã nêu ở chương 1 (Định lý 2: Cho f: I→R liên tục trên I, khả vi trên I . Để f

o



o



tăng nghiêm ngặt, điều kiện cần và đủ là: x  I , f '( x )  0 và { x  I , f’(x)=0} không chứa

bất kì một khoảng có phần trong không rỗng nào.). Các phân tích cho thấy, thể chế nhấn

mạnh mối liên hệ giữa tính đơn điệu của một hàm số có đạo hàm và dấu của đạo hàm. Các

tổ chức toán học được xây dựng xoay quanh công nghệ gồm định lí về điều kiện đủ và định

lí mở rộng. Tính chất “một hàm số đơn điệu trên một khoảng có thể không khả vi trên



khoảng đó” không được đề cập, đặc biệt, việc minh họa bằng đồ thị có thể thực hiện khá

đơn giản nhưng không đươc thể chế tính đến. Với đặc trưng “các hàm số được xem xét luôn

khả vi trên khoảng cần xét”, việc nghiên cứu tính biến thiên của hàm số luôn dựa trên cơ sở

tính và xét dấu đạo hàm, kĩ thuật dùng định nghĩa hoặc xét dấu tỉ số biến thiên không có lí



do để tồn tại. Từ đó, chúng tôi rút ra các quy tắc sau của hợp đồng didactic đối với HS lớp

12:

 R1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số phải dựa trên cơ sở xét dấu đạo hàm.

 R2: HS không có trách nhiệm phải kiểm tra tính khả vi của hàm số được cho



trên khoảng đang xét khi giải các bài toán liên quan đến xét chiều biến thiên

của hàm số.

Đồng thời chúng tôi phát biểu một giả thuyết sau về một quan niệm của HS dưới tác

động của mối quan hệ thể chế:

Giả thuyết H2:



Đối với HS, hàm số đồng biến (nghịch biến) trên một khoảng thì có đạo hàm và

đạo hàm không âm (không dương) trên khoảng đó.

2.4.3 Liên tục-Khả vi



Mối liên hệ liên tục-khả vi được thể chế đề cập rõ, việc minh họa bằng đồ thị đã được tính

đến tuy có vài điểm khác biệt:

-Tính chất “hàm số khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó”: SGK nâng cao đưa ra tính

chất này cùng với chứng minh của nó và minh họa bằng đồ thị thông qua một bài tập. Tính

chất này lại được SGK cơ bản thừa nhận. Thêm vào đó, SGK cơ bản cũng nêu rõ mệnh đề

tương đương “nếu hàm số y = f(x) gián đoạn tại xo thì nó không có đạo hàm tại điểm đó” đi

kèm với minh họa bằng hàm số cho bởi công thức, tuy nhiên việc minh họa bằng đồ thị đã

không được tính đến.

-Tính chất “hàm liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó”: SGK nâng cao

không nêu tường minh trong phần lý thuyết nhưng lại minh họa rõ trong phần bài tập, đặc



biệt là bằng đồ thị mang tính trực quan. SGK cơ bản nêu rõ trong phần lý thuyết và minh

họa rõ bằng đồ thị, nhưng lại không có bài tập nào liên quan. Phần bài tập minh họa cho

mối liên hệ này quá ít (SGK nâng cao) thậm chí không có bài tập (SGK cơ bản) khiến chúng

tôi nghi ngờ rằng HS sẽ không hiểu rõ mối liên hệ này. Chúng tôi đặt ra câu hỏi liên quan

đến mối liên hệ này: HS có quan niệm “hàm số liên tục tại điểm nào thì khả vi tại điểm

đó” không?