ĐỐI VỚI DÒNG ĐIỆN HÌNH SIN Ở CHẾ ĐỘ XÁC LẬP

sin(t   i )

�

i  Im �

;

cos(t   i )

�



(2.2)



sin(t   u )

�

u  Um �

cos(t   u )

�



(2.3)



Trong đó: i,u là giá trị tức thời của dòng điện, điện áp chính là giá trị biên độ

của hàm tại thời điểm t bất kỳ; cặp thông số đặc trưng là



 Im ;(t   i ) ;



 U m ;(t   u )

Khi trong mạch có các dòng điện, điện áp hình sin cùng tần số thì chúng chỉ còn

đặc trưng bởi cặp (biên độ; pha đầu), khi đó để so sánh chúng với nhau, ta so sánh xem

biên độ của chúng hơn (kém) nhau bao nhiêu lần, góc pha của đại lượng này lớn hơn

(vượt pha, vượt trước, sớm pha) hoặc nhỏ hơn (chậm sau, chậm pha) so với góc pha

của đại lượng kia bao nhiêu. Độ lệch về góc pha giữa áp và dòng gọi là góc lệch pha,

ký hiệu .

  (t   u )  (t   i )   u   i



(2.4)



Nếu  = u - i > 0: điện áp vượt trước dòng điện một góc .

Nếu  = u - i < 0: điện áp chậm sau dòng điện một góc .

Nếu  = u - i = 0: điện áp trùng pha với dòng điện.

Nếu   � : điện áp ngược pha với dòng điện.



Nếu   � : điện áp vng pha với dòng điện.

2

2.1.2. Chu kỳ, tần số

Chu kỳ T là khoảng thời gian ngắn nhất để hàm điều hòa lặp lại trạng thái ban đầu.

Hình 2.2 mơ tả chu kỳ của một hàm điều hòa. Trên đồ thị ta thấy chu kỳ là

khoảng thời gian trong đó góc pha biến thiên một lượng bằng 2π hay ωT = 2π.





2

T



(2.5)



Vậy tốc độ góc ω là lượng biến thiên góc pha trong một giây, đơn vị: rad/s.



23



u, i



t

t



0



ωT = 2π

Hình 2.2. Chu kỳ hàm điều hòa



Tần số f là số chu kỳ biến thiên của hàm điều hòa thực hiện trong thời gian một

giây, tức là f.T = 1, vậy:

f=



1

T



(2.6)



� ω = 2πf.

Đơn vị tần số f là Hertz (Hz)

Ví dụ: Dòng điện cơng nghiệp ở nước ta có f = 50Hz - tức là biến thiên 50 chu kỳ

trong một giây.

2.1.3. Trị số hiệu dụng của dòng điện xoay chiều hình sin

Khái niệm: Trị số hiệu dụng của dòng hình sin đặc trưng cho tác dụng trung

bình của dòng hình sin trong 1 chu kỳ về mặt năng lượng, lấy bằng giá trị của dòng

một chiều, sao cho khi dòng một chiều đi qua cùng một điện trở trong thời gian một

chu kỳ, sẽ tiêu tán năng lượng bằng năng lượng tiêu tán của dòng hình sin trong một

chu kỳ trên cùng điện trở đó. Trị số hiệu dụng kí hiệu bằng chữ in hoa như: I, U, E.

Khi một dòng chu kỳ i(t) chảy qua một nhánh, đặc trưng về tiêu tán năng lượng

bởi thông số R, điện năng sẽ biến thành các dạng năng lượng khác vơi công suất tiêu

tán biến thiên theo thời gian p(t) = Ri2(t). Năng lượng tiêu tán trong một chu kỳ là:

T



A1 = �

i 2 .R.dt

0



Nếu cùng nhánh đó, chảy qua là dòng điện một chiều I thì năng lượng tiêu tán

trong một chu kỳ là:

A 2 = I 2 .R.T

Theo khái niệm, ta có:

T



I 2 .R.T= �

i 2 .R.dt

0



T



Suy ra:



1 2

I=

i .dt

T�

0



(2.7)

24



Trong đó: i = Imax.sinωt

Do đó:

T



I=



1

2

(I 2 .sinωt).dt

�

T0

T



1 2

1

1

I max ( �.dt- .cos2ωt.dt)

 I=

T

2

2

0

 I=



1 T 2

I

. .I max = max

T 2

2



(2.8)



Tương tự ta tính được trị số hiệu dụng của điện áp và sức điện động hình sin:

U=



U max

E

; E = max

2

2



(2.9)



Biểu thức tức thời viết theo giá trị hiệu dụng của dòng điện và điện áp hình sin:

i = I. 2.sin(ωt + ψi )



(2.10)



u = U. 2.sin(ωt + ψ u )

2.2. Biểu diễn dòng điện xoay chiều hình sin bằng véctơ

2.2.1. Biểu diễn các đại lượng của dòng điện xoay chiều hình sin bằng véctơ



Việc biểu diễn các đại lượng hình sin bằng biểu thức tức thời hoặc đồ thị tức

thời không thuận tiện khi cần so sánh hoặc thực hiện các phép tính cộng trừ dòng

điện và điện áp.

Trong tốn học việc cộng, trừ các đại lượng hình sin cùng tần số tương ứng

với việc cộng và trừ các véctơ biểu diễn chúng trên đồ thị, vì thế trong mạch điện

thường hay biểu diễn đại lượng hình sin bằng véctơ.

Việc biểu diễn các đại lượng hình sin bằng véctơ dựa trên phương pháp véctơ

quay. Về mặt toán học, bản chất của dao động điều hòa là chuyển động của hình

chiếu của một chuyển động tròn đều lên trục tọa độ thuộc mặt phẳng quỹ đạo. Như

vậy bất kì một dao động điều hòa nào cũng có thể được biểu diễn thành một véctơ

quay đều với vận tốc góc  quanh gốc O của trục tọa độ Ox. Hình chiếu của điểm

đầu mút M của véctơ tại mỗi thời điểm lên trục Ox cho ta biết li độ x của dao động

( OM�

), độ dài của véctơ chính là biên độ của dao động, vị trí ban đầu của véctơ với

phương ngang chính là pha ban đầu của dao động, vận tốc quay của véctơ chính là

vận tốc góc của dao động. Biểu diễn li độ của dao động điều hòa dọc theo trục x ta

được đồ thị của nó (hình 2.3).



25



Hình 2.3 Biểu diễn hàm điều hòa bằng véctơ

Điện áp và dòng điện hình sin là hàm điều hồ, do đó nó hồn tồn có thể biểu

diễn dưới dạng véctơ. Cách biểu diễn gồm các bước sau :

+ Chọn hệ trục toạ độ đề các vng góc.

+ Lấy độ dài véc tơ bằng giá trị hiệu dụng.

+ Góc lệch pha giữa véc tơ với trục hồnh bằng góc pha ban đầu.

+ Vẽ véctơ lấy theo tỷ lệ xích.

Bằng cách trên, mỗi đại lượng hình sin được biểu diễn bằng một véctơ, mỗi

véctơ biểu diễn một đại lượng hình sin tương ứng.

Ví dụ 1: Biểu diễn đại lượng hình sin: i = Imax.sin( ω t + i), u = Umax.sin( ω t + u).

I



U



y



r

I



φ>0



ur

U



i



φ< 0



x



u

t



t



a)



b)



Hình 2.4. a) Véctơ dòng điện và điện áp; b) Đồ thị véctơ khi φ > 0 và φ < 0

2.2.2. Ứng dụng biểu diễn véctơ giải mạch điện xoay chiều hình sin

Tổng hay hiệu của các đại lượng hình sin được biểu diễn bằng tổng hay hiệu

r

véctơ tương ứng. Định luật Kirchhoff 1 dưới dạng véctơ: �I  0 ; định luật Kirchhoff 2

ur

dưới dạng véctơ: �U  0 . Dựa vào cách biểu diễn các đại lượng và hai định luật

Kirchhoff dưới dạng véctơ, ta có thể giải mạch điện bằng phương pháp đồ thị véctơ.

26



Xét mạch điện gồm 2 nhánh mắc song song như trên hình 2.5. Mỗi nhánh gồm

một điện trở R mắc nối tiếp với một trở kháng X. Nguồn là điện áp xoay chiều hình sin

có phương trình u = Umax.sin ω t.

I

I1

U



I2



R1



R2



X1



X2



Hình 2.5. Sơ đồ mạch điện



Dựa trên sơ đồ mạch điện, ta có:

ur ur ur

U  UR  UL

 U  U 2R  U L2 = R 2  X 2L .I  Z.I

Trong đó: Z  R 2  X 2L là tổng trở của nhánh.

Suy ra:

+ Tổng trở và góc lệch pha mỗi nhánh:

; tg1 =



X1

R1



Z2 = R 22 +X 22 ; tg2 =



X2

R2



Z1 = R 12 +X12



+ Dòng điện trong nhánh 1 và 2.

i1 =

i2 =



U max

.sin(ωt - 1 ) = I1max .sin(ωt - 1 )

Z1



U max

.sin(ωt - 2 ) = I2max .sin(ωt - 2 )

Z2



+ Trị số hiệu dụng của dòng điện:

I1 =



U1

U2

; I2 =

Z1

Z2



Dòng điện tức thời ở mạch chính tính dựa trên dòng điện tức thời của các nhánh

theo định luật Kirhoff 1.

i = i1 + i2

 i = I1max.sin( ω t -  1) + I2max.sin( ω t -  2) = Imax.sin( ω t +  )



27



Để tìm dòng điện I ta dùng phương pháp cộng đồ thị véctơ như trên hình 2.6.

Véctơ dòng điện tổng I bằng tổng của 2 véc tơ I 1, I2. Áp dụng hệ thức lượng trong tam

giác thường OAB (theo định luật hàm số cos) ta có:

�

�

I = I12 +I22 -2I1.I 2cos(OAB)

= I12 +I 22 +2I1.I 2cos(COA)

 I = I12 + I 22 + 2I1.I 2 .cos(2 - 1 )

y

O

2



C



1





(2.11)



ur

ur U



I1

A



x



u

r

I2



rB

I



2.2.3. Bài tập vận



dụng



Hình 2.6. Đồ thị véc tơ

Cho

mạch

điện xoay chiều như

hình 2.7. Nguồn là điện áp xoay chiều U = 220V; R1 = 10  ; X1 = 10  ; R2 = 6  ; X2 = 8

 . Tìm dòng điện trong các nhánh theo phương pháp đồ thị véctơ.

I

I1

U



R1

X1



I2

R2

X2



Hình 2.7



Giải:

+ Tính tổng trở, góc lệch pha và dòng điện trong nhánh 1:

Z1  R12  X12  102  102  10 2()

tg1 

I1 



X1 10



 1 � 1  450

R1 10



U

220



 15,6(A)

Z1 10 2



i1  15,6. 2. sin(t  450 ) (A)

+ Tính tổng trở, góc lệch pha và dòng điện trong nhánh 2:

28



Z2  R 22  X 22  62  82  10()

tg2 

I2 



X2 8

  1,333 � 2  530

R2 6



U 220



 22(A)

Z2 10



i 2  22. 2.sin(t  530 ) (A)

+ Tìm I bằng cách biểu diễn các lượng hình sin i 1, i2 bằng véctơ lên hệ trục toạ độ

(hình 2.8):

I = I12 +I 22 +2.I1.I 2 .cos( 2 - 1 )

 I = 15,62 +222 +2.15,6.22.cos(530 - 450 ) = 37,5(A)

y



U



1



O







x



2

I1



I2

I

Hình 2.8



2.3. Phản ứng của nhánh với dòng điện xoay chiều hình sin

2.3.1. Phản ứng của nhánh thuần điện trở

Nhánh thuần trở là nhánh chỉ có phần tử điện trở R ngồi ra khơng còn phần tử

nào khác hay nhánh thuần trở là nhánh trong đó chỉ có một hiện tượng tiêu tán ngồi ra

khơng còn hiện tượng nào khác.



iR



R



uR

Hình 2.9. Điện trở



29



Xét nhánh thuần trở có điện trở R như hình 2.9. Khi cho dòng điện

i R  I max sin t qua điện trở R, theo định luật Ohm ta có điện áp rơi trên điện trở R:

u R  RiR  RImax sin t  U R max sin t

 u R  2.U R sin t



(2.12)



Trong đó: URmax= R.Imax

+ Về trị số hiệu dụng :

UR 

 IR 



U Rmax

 RI R

2



(2.13)



UR

R



(2.14)



+ Về góc pha:

R   u   i  0

R



(2.15)



R



Vậy hai số R và φ = 0 nói lên quan hệ giữa u R và iR, gộp lại thành cặp thông số

(R, 0) đặc trưng cho phản ứng của nhánh thuần trở với kích thích hình sin.

Cơng suất tức thời của điện trở là:

p R (t)  u R i R  2 U R sin t. 2 I R sin t

 2U R I R sin 2 t  2U R I R (



1  cos 2t

)

2



 pR(t)  U R IR (1  cos 2t) �0



(2.16)



Công suất tác dụng P - là trị số trung bình của cơng suất tức thời trong một chu kì.

T



T



1

1

p R (t)  �

p R (t)dt  �

U R I R  1  cos 2 dt

T0

T0

T



T



1

1

1

 �

U R I R dt  �

U R I R cos(2t)dt  U R I R (T  0)  0  U R I R

T0

T0

T

 P = RI 2R



(2.17)



Đồ thị hình sin và các véctơ biểu diễn chúng trên như trên hình 2.10.



30



u, i, p



r r

IR U R



p R (t)



uR



iR



P



0



t



T

a)



b)

Hình 2.10. a) Đồ thị véctơ; b) Đồ thị hình sin



Nhận xét:

- Trong nhánh thuần trở dòng điện và điện áp trùng pha nhau φ = 0.

- Trong nhánh thuần trở ln có sự tiêu tán điện năng của nguồn để biến đổi sang các

dạng năng lượng khác như nhiệt năng, quang năng...

2.3.2. Phản ứng của nhánh thuần điện cảm

Nhánh thuần cảm là nhánh chỉ có phần tử điện

cảm L, ngồi ra khơng còn phần tử nào khác hay

nhánh thuần cảm là nhánh trong đó chỉ có hiện tượng

tích phóng năng lượng từ trường ngồi ra khơng còn

hiện tượng nào khác.



iL



L

u



L cảm

Hình 2.11. Điện



Xét nhánh thuần cảm có điện cảm L như trên hình 2.11. Khi cho dòng điện

i L  I max sin t qua điện cảm L, điện áp rơi trên điện cảm là:

uL  L



di L

d

L

dt

dt







2 I L sin t











 LI max sin(t  )  X LI max sin(t  )

2

2



 u L  U Lmax sin(t  )

2



 u L  2U L sin(t  )

2



(2.18)



Trong đó: X L  L  2fL () gọi là điện cảm kháng (điện kháng).

+ Về trị số hiệu dụng : U L  X L I L

 IL 



(2.19)



UL

XL



(2.20)



+ Về góc pha: L   u   i 

L



L





2

31



(2.21)



Công suất tức thời của điện cảm pL(t):

p L (t)  u Li L  U Lmax cos t.I max sin t

 p L (t)  U L I L sin 2t



(2.22)



Công suất tác dụng PL:

T



T



1

1

PL  �

p L (t)dt  �

U L Isin 2t dt  0

T0

T0

Đồ thị hình sin và các véctơ biểu diễn chúng trên như trên hình 2.12.





UL

0



u, i, p





IL



Q L p L (t)



uL



iL



0



t



1/4T

a)



b)



Hình 2.12. a) Đồ thị véctơ; b)Đồ thị hình sin



Nhận xét:

- Trong nhánh thuần điện cảm, dòng điện và điện áp có cùng tần số, song điện áp

nhanh pha hơn so với dòng điện một góc là  



π

.

2



- Trong nhánh thuần điện cảm có hiện tượng trao đổi năng lượng (tích, phóng). Trên

hình 2.12b, trong khoảng ωt = 0 đến ωt =



π

, công suất pL(t) > 0, điện cảm nhận năng

2



π

đến ωt = π , công

2

suất pL(t) < 0, năng lượng tích lũy trả lại cho nguồn và mạch ngồi. Q trình cứ thế

tiếp diễn. Do vậy cơng suất tác dụng P = 0 tức khơng có hiện tượng tiêu tán năng

lượng.

lượng và tích lũy trong từ trường. Trong khoảng tiếp theo ωt =



Để đặc trưng cho cường độ quá trình trao đổi năng lượng của điện cảm, người

ta đưa ra khái niệm công suất phản kháng QL của điện cảm.

Q L  U L I L  X L I L2



(2.23)



Đơn vị của công suất phản kháng là Var hoặc kVar.

32



2.3.3. Phản ứng của nhánh thuần điện dung

Nhánh thuần dung là nhánh chỉ có phần tử điện

dung C, ngồi ra khơng còn phần tử nào khác, hay

nhánh thuần dung là nhánh trong đó chỉ có một hiện

tượng tích phóng năng lượng điện trường ngồi ra

khơng còn hiện tượng nào khác.



iC



C



uC

Hình 2.13. Tụ điện



Xét nhánh thuần dung có điện dung C như trên hình 2.13. Khi cho dòng điện

i C  I max sin t qua điện dung C, điện áp rơi trên điện dung sẽ là:

u C (t) =



1

1

1π

idt = �

I max sinωtdt =

Imax sin(ωt �

C

CωC

2



= X C I max sin(ωt -



π

π

) = UCmax sin(ωt - )

2

2



 u C (t) = 2U Csin(ωt Trong đó: X C 



)



π

)

2



(2.24)



1

gọi là dung kháng, có đơn vị Ohm (Ω).

C



+ Về trị số hiệu dụng : U C  X C I C





IC 



(2.25)



UC

XC



(2.26)



+ Về góc pha: C   u  i  

C



C





2



(2.27)



Công suất tức thời của điện dung:



pC (t)  u Ci C  U Cmax sin t.I max sin(t  )   U CI C sin 2t

2

 pC (t)   X C I2C sin 2t  QC sin 2t

Công suất tác dụng: Công suất tiêu tán trung bình trong một chu kỳ p:

T



T



1

1

PC  �

p C (t)dt  �

 U C Isin(2t) dt  0

T0

T0

Đồ thị hình sin và các véctơ biểu diễn chúng trên như trên hình 2.14.



33



(2.28)