- Xác định các hệ số của chuỗi Furiê:

A km cos  k Bkm



 tg k

A km sin  k C km

 k  arctg



Suy ra:



Bkm

Ckm



(7.6)



+ Xác định hệ số A0

Lấy tích phân hai vế của cơng thức (7.4) với cận là một chu kỳ (chú ý tích phân

của một hàm điều hồ có cận là một chu kỳ thì bằng khơng).

2



2



1

1

1

f (t)d(t) 

A 0d(t) 

�

�

2 0

2 0

2





2 �



1

Bkm sin(kt)d(t) 

�

�

2

0 k 1



2 �



�C

�

0 k 1



km



cos(kt)d(t)



1

A 0 (2  0)  0  0  A 0

2

2



1

A0 

f (t)d(t)

2 �

0



Vậy:



(7.7)



+ Xác định hệ số Bkm

Nhân hai vế của cơng thức (7.4) với sin(kt) rồi lấy tích phân hai vế với cận là

một chu kỳ ta có:

2



2



1

1

1

f (t)sin(kt)d( t) 

A 0 sin(kt)d(t) 

�

�

2 0

2 0

2





1

2



2 �



�C

�

0 k 1



km



2 �



�B

�

0 k 1



km



sin 2 (kt)d( t)



sin(kt) cos(kt)d(t)

2



2



1 �

1  cos(kt)

1 �

sin(2kt)

 0

B

d(



t)



C km �

d(t)

�

�

km �

2 k 1

2

2 k 1

2

0

0





1 �

1 �

B

(





0)



0



� km

�Bkm

2 k 1

2 k 1

2



Vậy: Bkm



1

 �

f (t)sin(kt)d(t)

0



(7.8)



+ Xác định hệ số Ckm

Tương tự nhân hai vế của công thức (7.4) với cos(kt) rồi lấy tích phân hai vế với

cận là một chu kỳ ta có được:

2



C km



1

 �

f (t) cos(kt)d(t)

0



Thay các giá trị Bkm , Ckm vào (7.5), (7.6) ta tìm được A km ,  k .



127



(7.9)



Chú ý: các hệ số A 0 , Bkm , Ckm có thể dương, âm hoặc bằng không và giá trị của k

căn cứ và dấu của Bkm , Ckm để xét xem điểm cuối của cung k nằm ở góc phần tư thứ

mấy trên vòng tròn lượng giác.

7.3. Tính mạch điện tuyến tính có kích thích là nguồn chu kỳ khơng hình sin

Để tính mạch điện tuyến tính có nguồn chu kỳ khơng hình sin ta thực hiện như sau:

- Bước 1: Phân tích nguồn chu kỳ khơng sin thành tổng của nguồn kích thích khơng

đổi và các nguồn hình sin có tần số khác nhau theo chuỗi Fourier.

e(t)  E 0  E1m sin(t  1 )  ...  E km sin(kt   k )

j(t)  J 0  J1m sin(t  1 )  ...  J km sin(kt   k )

- Bước 2: Cho từng nguồn khơng đổi và các nguồn hình sin tác động, tìm dòng điện,

điện áp do từng nguồn thành phần tạo nên.

- Bước 3: Xếp chồng kết quả theo các đại lượng tương ứng dưới dạng tức thời ta được

kết quả của bài tốn.

Chú ý:

- Khi thành phần khơng đổi của nguồn tác động:

+ Điện trở R = const và không phụ thuộc vào tần số

+ Tụ điện khơng cho dòng điện khơng đổi đi qua, nhưng vẫn có tác dụng nạp điện

áp cho tụ, điện áp trên tụ bằng điện áp trên phần tử nối song song với nó.

+ Điện cảm L thì khơng hạn chế dòng điện khơng đổi, nhưng do khơng có từ thơng

biến thiên nên khơng có s.đ.đ cảm ứng.

- Đối với các thành phần khác (ngoài thành phần không đổi) tổng trở Z phụ thuộc tần

số.

2



2



x �

1 �

�

�

2

Zk  r  �

kL 

kx L  C �

� r  �

kC �

k �

�

�

2



k  arctg



(7.10)



1

x

kx L  C

kC  arctg

k

R

r



kL 



(7.11)



Dòng điện phức do nguồn kích thích thứ k gây nên là:

E&

&

I k  k  I k e j k

Zk

�



�



k 1



k 1



(7.12)



Dòng điện tổng bằng: i  I0  �i k  I0  �Ik 2 sin(kt   k )

Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình 7.2, biết: R  7,5; L  5;

128



1

 15 

C



(7.13)



e(t)  E 0  e1 (t)  e 2 (t)  30  2 20sin t  2 10sin 3t (V)

Tìm dòng điện trong nhánh có nguồn.



Giải:

1. Cho nguồn không đổi E0 = 30V tác động.

I0 



E 0 30



 4 (A)

r

7,5



2. Cho nguồn cơ bản e1 (t)  2 20sin t (V) tác động.

0

Chuyển sang số phức, ta có: E&1  20e j0  20 (V)



Hình 7.2



1

Z Z

j5( j15)

jC

Z1  R  L C  r 

 7,5 

1

Z L  ZC

j5  j15

jL 

jC

jL



0



 7,5  j7,5  10,6e j45 ()

E&

20

 j450

&

I1  1 

(A)

0  1,89e

Z1 10,6e j45

� i1  2 1,89sin(t  450 ) A

3. Cho nguồn e 2 (t)  2 10sin 3t (V) tác động.

Chuyển sang số phức ta có:

E&  10e j0  10 (V)

2



1

15

j3.5( j )

Z Z

j3C

3

Z2  R  L C  r 

 7,5 

1

15

Z L  ZC

j3L 

j3.5  j

j3C

3

j3L



0



 7,5  j7,5  0,95e j45 ()

E&

10

j450

&

I2  1 

(A)

0  0,95e

Z2 10,6e j45

� i 2  2 0,95sin(3t  450 ) (A)

Vậy dòng điện trong nhánh có nguồn là:

i(t)  I 0  i1 (t)  i 2 (t)  4  2 1,89sin(t  450 )  2 0,95sin(3t  450 ) (A)

129



Ví



dụ



2:



Một



mạch



điện



gồm



R



=



50



;



L



=



0,1



H;



C = 20 F mắc nối tiếp, đặt vào mạch một điện áp có chu kỳ  = 314 rad/s, biết

u(t)  20  2 100sin t  2 50sin 3t . Hãy tính dòng điện tức thời trong mạch.



Hình 7.3

Giải:

Sơ đồ mạch điện như hình 7.3. Tách bài tốn thành ba bài tốn có:

U 0  20V; u1  2 100sin t; u 3  2 50sin 3t (V).

1. Cho nguồn U 0  20 V tác động.

I0  0 (A)



(Tụ điện không cho dòng điện khơng đổi đi qua)



2. Cho nguồn u1 tác động và dùng phương pháp số phức để giải.

&  100�00

U

1



(V)

0

1

1

�

�

)  20  j �

314.0,1 

 50  j127,6  137e  j68.6 ()

6 �

C

314.20.10 �

�



Z1  R  j(L 



&

U

100�00

j68,60

1

&

I1 



0  0,73e

Z1 137e  j68,6



(A)



Suy ra: i1  2 0,73sin(t  68,60 ) A

3. Cho nguồn u3 tác động và cũng áp dụng phương pháp số phức để giải.

&  50�00 (V)

U

3



Z3  r  j(3L 



1

1

)  20  j(3.314.0,1 

)

3C

3.314.20.106



0



 50  j41, 2  65e j59,5 ()

&

U

50�00

 j39,50

3

&

I3 



0  0,77e

Z3 65e j39,5



(A)



Suy ra: i3  2 0,77sin(3t  39,50 ) (A)

Dòng điện trong mạch:

i  I0  i1  i3  2 0,73sin(t  68,60 )  2 0,77sin(3t  39,50 ) (A)



130



7.4. Trị số hiệu dụng của dòng điện chu kỳ khơng hình sin

Cũng giống như mạch điện hình sin, để đặc trưng cho khả năng sinh cơng của

dòng điện chu kỳ khơng hình sin, ta dùng trị số hiệu dụng I, tính theo biểu thức:

T



1 2

i (t)dt

T�

0



I



(7.14)



Từ cơng thức này ta dễ dàng tính được trị số hiệu dụng của một dòng điện chu

kỳ khơng hình sin theo trị số hiệu dụng của các thành phần điều hòa bằng cách thay

�



i(t)  �i k ta được:

k 0



2



T



1 �� �

I

i k �dt

�

�

T�

k 0

�

0�



(7.15)



�



2

Phân tích (�i k ) thành hai thành phần:

k 0



2

k



- Một thành phần gồm những số hạng i :



�



�i

k 0



2

k

�



- Một thành phần gồm tổng những số hạng i k i l :



�i i



k,l  0

�



k l



với l  k



Thay vào (7.15) với chú ý tính phân của thành phần 2 �i li k với cận là một chu

k,l  0



kỳ thì bằng khơng, ta có:

T



I



T



1 � 2

1 � 2 �

(

i

)

dt



(�i k  �i k i l )dt

�

k

�

T�

T

k,l  0

0 k 0

0 k 0

T



T



�

1 � 2



�i k dt  �

�ik ildt

T�

0 k 0

0 k,l 0

T



1 �



(�

[ 2I 2k sin(kt   k )]2 dt  0

�

T 0 k 0

T







1 � 2 1  cos(kt   k )

2I k

dt

�

T�

2

0 k 0

T



T



1 � 2

1 � 2



I

dt



�k

�Ik cos(kt   k )dt

T k 0 �

T�

0

0 k 0



131



1 � 2



�Ik (T  0) 

T k 0



�



�I

k 0



2

k



 I 02  I12  ...  I k2



(7.16a)



Tương tự, ta có biểu thức trị hiệu dụng của điện áp và sức điện động hàm chu kỳ

khơng hình sin.

�



�U 2k ; E 



U



k 0



�



�E

k 0



2

k



(7.16b,c)



Ví dụ: Giá trị hiệu dụng của nguồn s.đ.đ và dòng điện đi qua nguồn trong ví dụ 1:

E



�



�E

k 0



2

k



 E 0  E1  E 2



 30 2  202  102  37, 417(V)

7.5. Cơng suất của dòng điện chu kỳ khơng hình sin

7.5.1. Cơng xuất tác dụng

Cơng suất tác dụng (P) là cơng suất tiêu tán trung bình trong một chu kỳ. Đối với

dòng điện chu kỳ khơng hình sin, cơng suất tác dụng được tính theo biểu thức:

�



�



�



k 0



k 0



k 0



P  RI 2  R �I 2k  �RI k2  �Pk

�



�



k 0



k 0



(7.17)



& ,&

U k I k cosk

Hoặc: P  �U k I k cos  U

k Ik   �

Với k là góc lệch pha giữ thành phần điện áp và dòng điện thứ k.

Như vậy, cơng suất tác dụng của dòng chu kỳ khơng hình sin bằng tổng cơng suất

tác dụng của các thành phần điều hồ.

7.5.2. Cơng suất phản kháng

Cơng suất phản kháng (Q) nói lên cường độ q trình tích/phóng năng lượng trong

mạch, nó được tính theo cơng thức:

�



�



�



k 0



k 0



k 0



Q  �Q k  �x k I k2  �U k I k sin k

(7.18)

Công suất phản kháng của dòng chu kỳ khơng hình sin bằng tổng cơng suất phản

kháng của các thành phần điều hòa.

7.5.3. Cơng suất biểu biến S

Cơng suất biểu kiến (S), hay cơng suất tồn phần là tổ hợp của công suất tác

dụng và công suất phản kháng, được tính theo cơng thức:

S  UI (VA)



(7.19)



132



Thay: U 



�



�U

k 0



S



�



�



k 0



k 0



2

k



�



�I



; I



k 0



2

k



vào (7.19) ta được:



�U 2k �I2k



(7.20)



7.5.4. Sự biến dạng cơng suất

Đối dòng chu kỳ khơng hình sin kích thích và đáp ứng đều khơng sin, đường

cong kích thích và đường cong đáp ứng có hình dáng khác nhau, hiện tượng khác nhau

đó gọi là hiện tượng méo.

Đối với dòng chu kỳ hình sin ta có: Ss2  P 2  Q 2

Đối với dòng chu kỳ khơng hình sin: S2ks �P2  Q2

Ta gọi sự chênh lệch T  S2ks   P 2  Q 2 



2



(7.21)



T đặc trưng cho sự méo giữa đường cong kích thích và đường cong đáp ứng

(hay giữ đường cong dòng và áp). Nếu hình dáng đường cong kích thích và đáp ứng

giống nhau thì T  0 , nếu chúng khác nhau thì T �0 .

Tóm tắt chương 7

Chương 7 trình bày khái niệm hàm chu kỳ khơng hình sin, cách phân tích một

hàm chu kỳ khơng hình thành tổng của các hàm hình sin có tần số khác nhau, cách

phân tích mạch điện tuyến tính có nguồn kích thích của hàm chu kỳ khơng hình sin,

các loại cơng suất trong mạch điện có nguồn kích thích là hàm chu kỳ khơng hình sin.

Câu hỏi, bài tập chương 7

Câu hỏi

1. Thế nào là hàm chu kỳ khơng hình sin? Khi nào một hàm chu kỳ khơng hình sin

phân tích được theo chuỗi Fourier?

2. Cho biết cách phân tích mạch điện tuyến tính có kích thích chu kỳ khơng hình sin?

3. Trị số hiệu dụng của dòng điện chu kỳ khơng hình sin là gì? Cho biết cách tính trị số

hiệu dụng của dòng điện chu kỳ khơng hình sin theo trị số hiệu dụng của các dòng điện

điều hòa. Chứng minh rằng cơng suất tác dụng của dòng điện chu kỳ khơng hình sin

bằng tổng cơng suất tác dụng của các thành phần điều hòa.

Bài tập

1. Mạch R – L nối tiếp có R  50 , L = 0,2H được cung cấp bởi nguồn kích khơng

sin (hình 7.4) u  100  50sin t  25sin 3t ; t  500rad / s . Tính dòng điện và cơng

suất tiêu thụ.

133



Hình 7.4



Hình 7.5



2. Đặt điện áp hình chữ nhật (hình 7.5) vào mạch thuần cảm L = 0.01H. Tìm dòng điện

trong mạch, biết tần số   200rad / s .

3. Cho mạch điện như hình 7.6. Biết: r = 10, L = 10,



1

 25 ,

C



u(t)  0,5  2 sin t  0, 4 2 sin 3t V . Hãy tính dòng điện tức thời i(t), giá trị dòng

điện hiệu dụng I và cơng suất tác dụng P trong mạch.



Hình 7.6



Hình 7.7



4. Cho mạch điện như hình 7.7. Tìm số chỉ của các đồng hồ đo (các đồng hồ đo coi là

lý tưởng, có ZA = 0, ZV =  ). Biết: r = 10Ω, L = 1mH,

C = 1µF; u(t)  sin10 4 t  0, 2sin 3.104 t V

5. Cho mạch điện như hình 7.8. Tính giá trị hiệu dụng của dòng điện và cơng suất tiêu

tán trong nhánh khơng có nguồn. Biết: r = 1000Ω, L = 10mH, C = 0,01µ,

e  2 sin105 t V , e0  1V (một chiều).



Hình 7.8



Hình 7.9



6. Cho mạch điện hình 7.9, biết: e 2  40  100 2 sin ωt V; e 5 50 2 sin 3ωt V;



134