Các biến trạng thái điều hoà của mạch như dòng điện, điện áp, sức điện động có cùng tần số được đặc trưng bởi cặp thông số (trị hiệu dụng - góc pha đầu). Do đó ta có thể biểu diễn chúng bằng những số phức ở dạng mũ như sau:

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.98 MB, 190 trang )

Tổng quát:

sin(t  i )

�

j

�

i  2 I�

� &

I  Ie i  I�i

cos(t  i )

�

Tương tự đối với điện áp và sức điện động:

sin(t   u )

�

u  2 U�

�

cos(



t





)

u

�

sin(t   e )

�

e  2 E�

�

cos(t   e )

�

& Ue ju  U�

U

u

j

E& Ee e  E� e

Mũi tên hai chiều “” kí hiệu phép biểu diễn dóng đơi. Ta gọi khơng gian các số

phức đẳng cấu với khơng gian các hàm điều hồ.

Biểu diễn các biến trạng thái điều hòa dòng điện và điện áp dưới dạng lượng

giác của số phức:

jψ

&

I = Ie i = I(cosψi +jsinψi ) = Icosψi +j Isinψi

&= Ue jψu = U(cosψ + jsinψ ) = Ucosψ + jUsinψ

U

u

u

u

u

* Chú ý: Việc biểu diễn dưới dạng hàm sin hay hàm cos là tùy chọn song với mỗi bài

tốn, kí hiệu đó phải nhất qn.

* Ví dụ: Hãy biểu diễn số phức của dòng điện:

i  2.2sin(t  300 ) A ở dạng mũ và dạng đại số.

Số phức biểu diễn dòng điện i được viết ở dạng mũ có mođun 2 và argumen 30 0

tức là:

0

&

I  2e j30 � i  2.2sin(t  300 ) A

Với lượng hình sin của dòng điện i  2.2sin(t  300 ) A , ta có thể biểu diễn

phức dòng điện ở dạng đại số như sau:

&

I = Icosψi + jIsinψi = 2cos300 + j2sin300 = 3+j (A)

3.2.2. Biểu diễn tổng trở phức và tổng dẫn phức

a) Tổng trở phức (Z)

Trong một nhánh với kích thích điều hòa hình sin hoặc cos thì phản ứng của

nhánh đặc trưng bởi cặp (tổng trở; góc lệch pha) - (z; ), hoặc cặp (điện trở; điện

kháng) - (R; X), ta biểu diễn chúng bằng một số phức có tổng trở Z khơng có dấu

chấm ở trên đầu với mođun bằng tổng trở z; argumen bằng góc lệch pha .

Ta kí hiệu phức tổng trở bằng chữ in hoa Z:

45

Z = z e

j

 cặp số (z; ).

(3.4)

Z - là tổng trở phức của nhánh đối với dòng hình sin, có đơn vị là Ơm ().

Mặt khác ta còn có: Z = ze

hình 3.2 ta tìm được:

j

= zcos + jzsin = R + jX. Từ tam giác tổng trở

Z = R + jX  cặp số (R; X)

(3.5)

Z

X



R

Hình 3.2. Tam giác tổng trở

Vậy số phức Z = ze

j

= R + jX đã gắn liền trong một số phức hai cặp thông số

đặc trưng cho phản ứng của một nhánh (z; ) và (R; X). Ta biết rằng vì R, X đặc trưng

cho những quá trình năng lượng khác hẳn nhau nên chúng không cộng thẳng được với

nhau mà là những phần thực và phần ảo của một số phức. Một số phức Z cho biết rõ cả

4 lượng z, , R, X của một nhánh trong mạch điện.

b) Tổng dẫn phức (Y)

Tổng dẫn phức được định nghĩa là nghịch đảo của tổng trở phức, ký hiệu Y có đơn

vị là Simen (S):

Y

1

1

 j  ye  j  g  jb (S)

Z z.e

(3.6)

Trong đó: g - là điện dẫn tác dụng.

b - là điện dẫn phản kháng.

Tổng dẫn phức có mối quan hệ với các thơng số R, X, , g, b:

1

1

1

1

1

 j  e j  cos  j sin 

Z z.e

z

z

z

Y

�g =

1

cosφ =

z

�b =

1

sinφ =

z

1

R 2 +X 2

1

R 2 +X 2

.

.

R

R 2 +X 2

X

R 2 +X 2

=

R

z2

=

X

z2

Như vậy, g luôn cùng dấu với R; b luôn cùng dấu với X.

* Ví dụ:

46

(3.7)

Cho mạch gồm ba phần tử R, L, C nối tiếp với R = 3Ω, XL=2Ω, XC = 6Ω viết tổng

trở và tổng dẫn phức của mạch.

Giải:

0

Tổng trở phức: Z = R + j(XL - XC) = 3 - j4 = 5. e j( 53,13 ) ()

Tổng dẫn phức: Y 

1

1

j53,130





0,

2.e

(S)

0

Z 5.e j( 53,13 )

3.2.3. Biểu diễn quan hệ dòng, áp trong nhánh

Ta đã biết mối quan hệ giữa dòng điện và điện áp trong nhánh được mô tả:

U = Z.I và u =  + i

I

(3.8)

U

và  i   u  

Z

(3.9)

Nếu biểu diễn bằng số phức:

j i

j

& Ue j u &

U

; I  Ie ; Z = ze

& Ue j u  zIe j( i )  ze j Ie ji  ZI&

Ta có: U

&

U

&  (g  jb)U

&

� &

I   YU

(3.10)

Z

Như vậy, từ biểu thức (3.9) ta thấy phức dòng điện &

I được tách thành hai thành

phần điện dân tác dụng thuộc phần thực g và điện dẫn phản kháng thuộc phần ảo -jb.

Điều này nói lên rằng hai sơ đồ nối tiếp R, jX và song song g - jb với quan hệ theo

công thức (3.7) là tương đương nhau và cùng biểu thị các hiện tượng trong cùng một

nhánh như hình 3.3 sau:

&

I

R

jX

U&

&

I

�

Hình 3.3

g

-jb

&

U

3.2.4. Biểu diễn các loại cơng suất trong nhánh bằng số phức

Với dòng điện hình sin đã có hai loại cơng suất khác hẳn nhau về bản chất đó là

cơng suất tác dụng P và cơng suất phản kháng Q, ta có thể biểu diễn cặp thông số (P;

Q) của một nhánh bằng một số phức có phần thực bằng P, phần ảo bằng Q:

P + jQ � cặp số (P; Q)

Ta có mođun của số phức (P + jQ): S =

P2  Q2

(3.11)

Argumen của số phức (P + jQ):  = arctg

Q

P

(3.12)

47

Như vậy, số phức P + jQ  cặp số (P; Q)  được biểu diễn là phức công suất

dưới dạng mũ:

j

S% P  jQ  Se

(3.13)

S%- gọi là phức công suất biểu kiến đơn vị Volampe - VA.

*

&I  P  jQ

Ta còn có: S% Se j  U

(3.14)

2

j

j

S% Se  UIe  ZI.I = ZI = P + jQ

(3.15)

U

j

j

S% Se  UIe  U e j  P  jQ

Z

(3.16)

3.2.5. Biểu diễn đạo hàm và tích phân hàm điều hòa bằng số phức

Giả sử ta có hàm điều hồ x  2 X sin(t   x ) biểu diễn hàm điều hòa này

& Xe j x  X�

dưới dạng số phức: X

x

* Đạo hàm hàm x theo thời gian:

dx d �



2 Xsin(t   x ) �

�

dt dt �

2 X cos(t   x )



 2 X sin(t   x  )

2

Chuyển sang số phức ta được:





j(  x  )

j

dx

2  e 2 Xe j x  jX

&

� Xe

dt

Suy ra:

dx

dt

&

� jX

(3.17)

Như vậy, đạo hàm hàm điều hoà theo thời gian sẽ tương ứng biểu diễn bởi phép

nhân số phức biểu diễn hàm điều hồ với tích j.

* Tính tích phân của hàm x theo thời gian t, trong trường hợp xác lập cũng sẽ cho ta

một hàm điều hòa:

xdt  �2 X sin(t  

�

x

)dt  2

1



X sin(t   x  )



2

j(  x   )

1

1  j2 j x

1 &

2

xdt � Xe

 e Xe



X

�





j

Suy ra ta có:

xdt �

�

1 &

X

j

(3.18)

Như vậy, phép tính tích phân hàm điều hoà khi biểu diễn sang số phức sẽ bằng

số phức của hàm điều hồ đó chia cho j.

48

Xem Thêm

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về