NHỮNG TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA MẠCH ĐIỆN TUYẾN TÍNH

4.1.1. Khái niệm 2 đại lượng tuyến tính

Hai lượng x(t), y(t) của một hệ thống được gọi là có quan hệ tuyến tính với

nhau nếu chúng liên hệ nhau bởi phương trình vi phân tuyến tính có dạng tổng qt:

an



dn x

d n 1x

dm y

d m 1y



a



..



a

x



b



b

 ..  b 0 y

n 1

0

m

m 1

dt n

dt n 1

dt m

dt m 1



(4.1)



Trong đó các hệ số a 0 ... an; b0... bm là những hằng số hoặc hàm thời gian.

Trong phạm vi mạch điện, ta chỉ xét khi chúng là hằng số, lúc đó ta có phương trình

vi phân tuyến tính hệ số hằng.

Nếu x(t), y(t) là những hàm điều hồ ta có thể biểu diễn quan hệ tuyến tính trên

dưới dạng số phức:

& �

�

a n ( j) n  a n 1 ( j) n 1  ..  a 0 �

X

b m ( j) m  b m 1 ( j) m 1  ..  b 0 �

Y&

�

�

�

�

& BY

&

� AX

&

�X



B &

&

Y  KY

A



(4.2)

(4.3)

(4.4)



Trong đó: A, B là các hằng số phức.

A  a n ( j) n  a n 1 ( j) n 1  ...  a 0

B  b m ( j) m  b m 1 ( j) m 1  ...  b 0

& và Y

&quan hệ tuyến tính với nhau qua hệ số phức K gọi là hệ số truyền đạt.

X

Như vậy, dùng số phức để biểu diễn các hàm điều hòa, quan hệ tuyến tính ở

& và

biểu thức 4.1 sẽ chuyển thành quan hệ tỉ lệ tuyến tính giữa hai số phức biểu diễn X

& qua một hệ số phức K như biểu thức 4.4.

Y

4.1.2. Quan hệ tuyến tính giữa các lượng trong mạch điện tuyến tính

a) Quan hệ tuyến tính trong mạch có một nguồn tác động:

Quan hệ tuyến tính trong mạch có một nguồn tác động được phát biểu như sau:

Trong một mạch điện tuyến tính có một nguồn kích thích duy nhất tác động, đáp ứng

dòng điện hoặc điện áp trên mọi phần tử đều liên hệ tuyến tính với nguồn kích thích và

với các đáp ứng khác tức là giữa chúng lấy đơi một ln có quan hệ dạng theo phương

trình vi phân:

dn x

d n 1x

dm y

d m 1 y

a n n  a n 1 n 1  ..  a 0 x  b m m  b m1 m 1  ..  b 0 y

dt

dt

dt

dt

& KY

&.

hoặc theo dạng phức: X

Chứng minh: Xét mạch điện đơn giản R-L-C nối tiếp hình 4.1, giả thiết có

L

R

C

nguồn e duy nhất tác động.

i



uR

e



uL

75



Hình 4.1. Sơ đồ mạch điện



uC



- Phương trình viết theo định luật Kirhoff 2 cho mạch điện R-L-C ở trên như sau:

Ri  L



di 1



idt  e

dt C �



(a)



Từ phương trình (a) có dạng giống biểu thức (4.1) cho ta quan hệ tuyến tính

giữa giữa nguồn kích thích e và đáp ứng dòng điện i.

- Đạo hàm hai vế của phương trình (a) theo thời gian ta được một quan hệ tuyến tính

giữa e và i có dạng (4.1):

Ri ' Li"



1

i  e'

C



(b)



thay i = uR/R vào ta được:

L

1

u ''R  u 'R 

uR  e '

R

RC



(c)



Từ (c) cho ta quan hệ tuyến tính giữa đáp ứng là điện áp uR với kích thích là nguồn e.

- Thay i = Cu’C vào (a) ta có:

LCu"C  RCu 'C  u C  e



(d)



Từ (d) cho ta quan hệ tuyến tính giữa điện áp uC với nguồn kích thích là e.

- Cân bằng (a) với (d) cho ta quan hệ tuyến tính giữa đáp ứng dòng điện i với điện áp uC:

Ri  L



di 1



idt LCu"C  RCu 'C  u C

dt C �



(e)



Nhận xét:

Biểu diễn dạng phức của các quan hệ tuyến tính trên nếu kích thích nguồn e,

nguồn dòng j và các đáp ứng dòng điện hoặc điện áp có dạng hình sin ta biểu diễn

& &dưới

được quan hệ tuyến tính giữa mọi lượng đáp ứng với nhau và với kích thích E;J

dạng (4.4):

 4  2 1,89sin(t  450 )  2 0,95sin(t  450 ) A

hoặc:



& A �

&

& KJ& và �

�

k

k



(4.5)



Ví dụ: Chuyển (a) về dạng phức:

1 & &

)I  E

C

�  R  j(X L  X C  I& E&� ZI& E&

(R  jL  j



76



�&

I



E&

& KE&

 KE& - cho ta quan hệ �

Z



Chuyển (e) về dạng phức:

(R  jL  j



 LC( j)

&

I



1 &

&

)I   LC( j) 2  RC( j)  1 U

C

C



 RC( j)  1

&  AU

&

U

C

C

1

(R  jL  j

)

C

& , I&)

Cho ta quan hệ: (U

2



2



2



Chú ý: Ở trên ta đã thấy được quan hệ tuyến tính giữa kích thích và đáp ứng trong

mạch điện tuyến tính. Với một vài biến đổi đơn giản, ta dễ dàng chứng minh được giữa

các đáp ứng cũng có quan hệ tuyến tính với nhau.

b) Quan hệ tuyến tính trong mạch điện có nhiều nguồn tác động:

Trong mạch có nhiều nguồn hình sin cùng tần số tác động, theo tính chất xếp

chồng các đáp ứng, mỗi đáp ứng sẽ gồm những thành phần ứng với mỗi nguồn tác

dụng riêng rẽ, nói khác đi nó liên hệ tuyến tính với tất cả các nguồn:

A ik



(4.6)



T rong mạch có nhiều nguồn hình sin cùng tần số nhưng có một nguồn có khả

năng biến đổi được (trị số hoặc góc pha) còn các nguồn khác đều không đổi, ta chứng

& bất kỳ đều liên hệ tuyến tính với ít nhất 1 lượng khác

minh được rằng mỗi đáp ứng X

&theo dạng:

Y

& AY

& B

X



(4.7)



Thật vậy: Xét quan hệ giữa đáp ứng với kích thích: trong (4.6) trừ số hạng thứ n

( A11 



&

Z

U

1h

 1  d ; A 21 

&

U

Zn 2

2h



&

Z  Zn 2  Zd

I1h

 n1

) thay đổi ra, còn các số hạng khác

&

U

Zn1Zn 2

2h



&:

đều không đổi, ta gộp chúng lại thành một hằng số phức �

0

&  K E& +�

&

�

1

n n

0

& & đều có quan

Xét quan hệ giữa đáp ứng với đáp ứng: mỗi đáp ứng bất kỳ �,�

1

2

hệ tuyến tính với E&n :

&  K E& +�

&

�

1

1n n

01

&  K E& +�

&

�

2

2n n

02



(a)

(b)



Nhân (a) với K2n và (b) với (-K1n), cộng vế với vế và rút gọn ta có:



77



&

&

&  K1n �

&  �01 .K 2n  K1n �02  A �

& B

�

1

2

2

K 2n

K 2n



(4.8)



Trong mạch có nhiều nguồn hình sin cùng tần số nhưng có 2 nguồn có khả năng

biến đổi được (trị số hoặc góc pha) còn các nguồn khác đều không đổi, ta chứng minh

& bất kỳ đều liên hệ tuyến tính với ít nhất 2 lượng Y

&và Z&

được rằng mỗi đáp ứng X

khác theo dạng:

& AY

& BZ& C

X



(4.9)



Chú ý: Ở trên ta xét cho trường hợp nguồn biến thiên. Thực tế trong mạch có

một hay hai nhánh có tổng trở biến thiên, các quy luật (4.7), (4.8) vẫn đúng. Thật vậy,

giả sử trong mạch tổng trở Zk của nhánh nào đó biến thiên theo một quy luật nào đó,

& sẽ biến thiên theo quy luật của Z k . Nếu bỏ Zk đi thay bằng một nguồn có quy

thì U

Zk



luật biến thiên theo quy luật của Z k’ mạch khơng có gì thay đổi nhưng ta đã đưa bài

tốn về trường hợp có một nguồn thay đổi hay nói cách khác đi quy luật (4.7) vẫn

đúng. Như vậy trường hợp mạch có nguồn hay tải biến động ta gọi chung là trường

hợp mạch có phần tử biến động đều áp dụng (4.7) hoặc (4.8) để tính tốn.

4.1.3. Ứng dụng tính chất tuyến tính

Những quan hệ tuyến tính được dùng nhiều trong việc khảo sát các mạch điện

tuyến tính. Ở đây ta cần tính được các hệ số trong các biểu thức ấy.

Khi trong mạch có một hay hai phần tử (nguồn hay tổng trở) biến thiên, nếu chỉ

cần tìm quan hệ giữa hai hay ba lượng bất kỳ trong mạch ta có thể dùng các cơng thức

(4.4), (4.7), (4.9). Áp dụng tính chất tuyến tính để tính các đáp ứng dòng điện, điện áp

hoặc để tìm quan hệ giữa 2 hay 3 lượng bất kỳ trong mạch.

Ví dụ 1: Cho mạch điện hình như hình

4.2, khi tổng trở tải Zt biến thiên dòng và

áp trên nhánh sẽ biến thiên theo. Hãy

&và

tìm quan hệ giữa phức điện áp U

phức dòng điện &

I trên tải. Cho



&

I a



Z1



1

E



Z1  j10, Z2  30, E&1  110�00 V



Z2



Zt



b

Hình 4.2



Giải:



Trong mạch có một phần tử tổng trở Z t biến thiên, nên theo quan hệ (4.7), (4.8)

&và &

có thể viết quan hệ giữa cặp đáp ứng U

I dưới dạng:

& AI& B

U



(a)



Để tìm được A, B ta cần xét hai chế độ cụ thể ứng với hai giá trị cụ thể của Zt.



78



Đơn giản nhất là khi Zt  �, ta có &

I  0 và trên các cực a, b hở mạch sẽ có các

& nào đó. Thay vào (a) ta có:

điện áp U

h



&  A.0  B tức B  U

&

U

h

h

& AI& U

&

Hoặc: U

h



(b)

(c)



Trong đó từ sơ đồ với &

I  0 ta dễ dàng tìm được:

&

&  E1 .Z

U

(d)

h

2

Z1  Z 2

Để tìm nốt hệ số A ta chọn thêm chế độ nữa tiện nhất là với E&1  220�300 V . Lúc đó

E&

& 0 và &

I&

I ng  1 là dòng điện ngắn mạch trên tải. Thay các quan hệ đó vào (c) ta có:

U

Z1

&

& hoặc A   U h

0  AI&ng  U

h

&

Ing



(e)



Cuối cùng thay (d) và (e) vào (a) ta được biểu thức cần tìm:

&

U

&  &

&

U

I h U

h

&

I

ng



Thay số vào ta có:

&  110�0.

U

h



30

 104,5� 18,50 V

30  j10



&

I ng  110�0 : j10   j11A





&

U

h

 104,5� 18,50 :  j11  9,5�71,50 

&

I ng



& và &

Kết quả ta được quan hệ giữa điện áp U

I:

& 9,5�71,50.I& 104,5� 18,50 (V)

U

Ví dụ 2: Cho một mạch điện tuyến tính phức tạp để truyền tải tín hiệu một chiều (có

biến động) từ đầu vào một tải biến động đặt ở đầu ra hai. Làm thí nghiệm xác định các

thông số ta biết được ba trạng thái ở đầu ra như sau:

Khi U1 = 0 V, U2 = 0 V, I2 = 0 A.

Khi U1 = 4 V, U2 = 0 V, I2 = 1 A.

Khi U1 = 6 V, U2 = 4 V, I2 = 0 A.

a. Hãy tìm quan hệ tuyến tính giữa điện áp vào U 1 với điện áp và dòng điện

ra U2, I2.

b. Khi điện áp vào là U1 = 5V, muốn điện áp ra là 3V hỏi điện trở tải R t phải

bằng bao nhiêu?

79



Giải:

Trong mạch điện có hai phần tử nguồn và tải có thể biến động nên theo (4.9)

một lượng nào đó phải có quan hệ tuyến tính với hai lượng khác.

Ta đặt: U1 = AU2 + BI2 + C



(a)



Thay số liệu ba thí nghiệm vào (a) ta được hệ phương trình:

0  0.A  0.B  C

�

�

4  0.A  1.B  C

�

�

6  4.A  0.B  C

�

Giải hệ phương trình cho ba nghiệm:

A = 1,5; B = 4; C = 0



(b)



a. Thay kết quả vào (a) ta được quan hệ cần tìm:

U1 = 1,5U2 + 4I2



(c)



b. Trong yêu cầu (2) thay số liệu vào (d) để tìm I2 ta có:

5 = 1,5.3 + 4.I2. Ta được : I2 = 0,125 A

Vậy lúc đó điện trở của tải phải bằng:

Rt 



U2

3



 24 

I2 0,125



Ví dụ 3: Một máy phát điện một chiều nối với tải R t cố định

hình 4.3. Làm thí nghiệm ta đo được các giá trị quan hệ giữa

điện áp U và dòng điện I như sau:

Khi: U = 118V thì I = 4A



I



MF



Rt



Khi: U = 116V thì I = 2A.



U



a. Tìm quan hệ tuyến tính giữa áp U và dòng điện I.

b. Hỏi điện áp U bằng bao nhiêu để có I = 2,5A.



Hình 4.3



Giải:

& AY

& B ta viết được

Đây là bài tốn có một phần tử biến động, áp dụng X

quan hệ tuyến tính giữa dòng điện và điện áp dưới dạng:

I = AU + B

2 = A.116 + B

�

��

4 = A.118 + B

�

Giải hệ phương trình ta được: A = 1s; B = -114A, thay vào (a) ta có quan hệ

tuyến tính giữa điện áp U và dòng điện I như sau: I  U  114 (A).

Để có I = 2,5A thì điện áp: U = 2,5 + 114 = 116,5V.

4.2. Các thơng số phức trong mạch tuyến tính có dòng điện xoay chiều hình sin

80



Trong phần này, chúng ta sẽ áp dụng tính chất tuyến tính để dẫn ra các

thơng số đặc trưng cho mạch điện tuyến tính ở chế độ xác lập, với kích thích là

nguồn điều hòa (nguồn xoay chiều hình sin). Đó là những thơng số đặc trưng toàn

mạch: Tổng trở vào Z kk; Tổng dẫn vào Y kk; Tổng trở tương hỗ Z lk; Tổng dẫn tương

hỗ Ylk; hàm truyền áp K u; Hàm truyền dòng K i.

4.2.1. Tổng dẫn vào Ykk , tổng trở vào Zkk

a) Khái niệm

Xét mạch điện tuyến tính bất kì như hình 4.4. Giả sử trongmạch điện chỉ để

một nguồn kích thích duy nhất ở lối vào thứ k nào đó, còn các nguồn khác trong

mạch bằng khơng.



&

U

k



&

Ik



Zkk



Mạch tuyến

tính bất kì



Ykk



Hình 4.4. Sơ đồ khối mạch tuyến tính



& và dòng &

I k quan hệ tuyến tính với nhau

Theo quan hệ tuyến tính, điện áp U

k

trên lối vào đó phải tỷ lệ với nhau thơng qua một hệ số phức có thứ nguyên của tổng

dẫn hoặc tổng trở kí hiệu là Ykk và Zkk:

&

&

& � Y  Ik

I k  Ykk .U

(4.10)

k

kk

&

U

k



&

&  Z .I& � Z  U k

Và U

k

kk k

kk

&

Ik



(4.11)



Tỉ số những những lượng điện áp và dòng điện như vậy gọi là tổng dẫn vào Y kk;

tổng trở vào Zkk nhìn từ lối vào thứ k.

b) Ý nghĩa của Ykk và Zkk

&

& � Y  I k nói rõ ý nghĩa của tổng dẫn vào Y kk: ta

I k  Ykk .U

Từ biểu thức &

k

kk

&

U

k

&  1.e j00 V thì đáp ứng dòng vào sẽ chính là

thấy khi đặt ở lối vào một điện áp chuẩn U

k

&

I k  Ykk (A). Vậy tổng dẫn vào Ykk nói lên mức độ đáp ứng dòng điện ở nhánh k khi

kích thích là nguồn điện áp chuẩn 1V đặt ở lối vào thứ k.

&

&  Z .I& � Z  U k nõi rõ ý nghĩa của tổng trở vào Z kk: ta

Từ biểu thức U

k

kk k

kk

&

I

k



0

thấy khi đặt ở lối và một dòng điện chuẩn &

I  1.e j0 (A) thì đáp ứng điện áp vào sẽ



81



&  Z (V). Vậy tổng dẫn vào Zkk nói lên mức độ đáp ứng điện áp ở nhánh

chính là U

kk

kk

k đối với kích thích là nguồn dòng điện chuẩn 1A bơm ở lối vào thứ k.

Tùy theo mạch điện vào cụ thể và lối dẫn vào cụ thể mà ta có tổng trở vào, tổng

dẫn vào khác nhau, chúng đều thể hiện phản ứng của mạch ở đầu vào mà không phụ

thuộc vào độ lớn của kích thích và đáp ứng. Vậy chúng là những thơng số đặc trưng của

mạch (hình 4.5).



&

Ik



Zk



&

U

k



&

U

k



Zl

k



l



a)



b)



&

Il



&

Ik



&

Ik



&

U

l



&

U

k



k



l



c)



&

Il



&

U

l



d)

Hình 4.5



Ví dụ: Cho mạch điện như hình 4.6, cho biết tổng trở ở các nhánh là Z 1, Z2 và Z3.

Tính tổng trở vào và tổng dẫn vào nhánh 1 (Z 11, Y11).

Z1



Z2



Z1



Z2



&

I1

&

E

1



Z3



Z3



Hình 4.7



Hình 4.6



Giải:

Để tìm Z11, Y11 ta giả thiết đặt ở nhánh 1 nguồn sức điện động E&1 , tìm quan hệ

I1 như hình 4.7.

giữa E&1 và &

Dùng phương pháp dòng điện mạch vòng ta viết phương cho mạch theo định luật

kirhoff 2 như sau:

82



�

(Z1  Z 2 )I&1  Z2&

I 2  E&1

�

� &

 Z1I1  (Z2  Z 2 )I&2  0

�



(1)

(2)



Nhân phương trinh (1) với (Z 2 + Z3) phương trình (2) với Z2 rồi cộng lại với nhau ta

được:

&

�

I1  (Z2  Z3 )E&1

 Z1  Z3   Z1  Z2   Z22 �

�

�

Giải ra ta được:

&

I1 

Vậy



Z 2  Z3

E&1

Z1Z2  Z2 Z3  Z3 Z1



Y11 



&

I1

Z 2  Z3



&

E1 Z1Z2  Z2 Z3  Z3 Z1



Z11 



1

Z Z  Z2 Z3  Z3 Z1

 1 2

Y11

Z 2  Z3



4.2.2 Tổng trở tương hỗ Zlk và tổng dẫn tương hỗ Ylk

a) Khái niệm

Các tổng trở vào Zkk, tổng dẫn vào Ykk mới chỉ nêu lên quan hệ giữa kích thích

và đáp ứng trên một nhánh k nào đó mà chưa nêu lên được quan hệ giữa kích thích và

đáp ứng ở các nhánh khác nhau. Để có quan hệ đó, ta đưa ra khái niệm tổng trở tương

hỗ Zlk và tổng dẫn tương hỗ Ylk.

Tổng dẫn tương hỗ Ylk thường được dùng khi nguồn kích thích là những điện

áp, nó nói lên quan hệ giữa đáp ứng dòng điện và kích thích điện áp trong hai nhánh

khác nhau, tổng dẫn tương hỗ là một thông số của mạch điện.

Tổng trở tương hỗ thường được dùng khi kích thích là những nguồn dòng

điện. Nguồn dòng bao giờ cũng đặt vào giữa 2 nút của mạch điện. Nó nói lên quan

hệ giữa kích thích dòng và đáp ứng áp trên 2 cặp nút và là một thơng số về truyền

đạt của mạch.

Xét mạch tuyến tính bất kỳ hình 4.8.

&

I1



&

U

k



Zk

Mạch

tuyến

tính bất

kì



&

I1

Z1



U1



Hình 4.8



& đặt ở nhánh k còn các

Giả sử trong mạch điện chỉ có một nguồn điện áp U

k

nguồn khác trong mạch đều triệt tiêu, nguồn này sẽ gây ra trong nhánh l nào đó dòng

83



& quan hệ tuyến tính với nhau qua hệ số có thứ nguyên gọi là

Il , ta thấy &

Il và U

điện &

k

tổng dẫn tương hỗ giữa nhánh l và nhánh k (Ylk).

&

&

& � Y  Il

Il  Ylk .U

k

lk

&

U



(4.12)



k



Trong đó: Ylk - là tổng dẫn tương hỗ giữa nhánh l và nhánh k.

I ở nhánh thứ k, ta sẽ có đáp ứng

Tương tự, nếu ta đặt kích thích là nguồn dòng &

k







& ở nhánh l và chúng có quan hệ nhau thơng qua tổng trở tương hỗ Zlk (hình 4.9).

U

l



I l



&

Ik k



l



&

U

l



Zl



Hình 4.9



&

U

l

&Z &

U

I

�

Z



l

lk k

lk

&

Ik



(4.13)



Trong đó: Zlk - là tổng trở tương hỗ giữa cặp nút thứ l với cặp nút thứ k.

b) Ý nghĩa của Ylk , Zlk

Từ biểu thức (4.12), Ylk là một thơng số của mạch điện, nó nói lên phản ứng dòng

điện ở nhánh l dưới tác dụng của điện áp đặt ở nhánh k, nó nói lên mức độ dẫn dòng từ

một nguồn áp đặt ở nhánh k đến nhánh l. Về trị số, Y lk bằng đáp ứng dòng điện ở nhánh

l khi kích thích là điện áp chuẩn 1V đặt ở nhánh k.

Từ biểu thức (4.13), Zlk là một thông số của mạch điện, nó nói lên phản ứng

điện áp ở nhánh l dưới tác dụng nguồn dòng đặt ở cặp nút thứ k. Về trị số, Z lk bằng đáp

ứng điện áp ở nhánh l khi kích thích là dòng điện chuẩn 1A bơm vào cặp nút đặt ở

nhánh k.

Ví dụ: Tính tổng dẫn tương hỗ giữa nhánh 1 và nhánh 2 trong mạch điện, hình 4.10a.

Giải:

Khi cho nguồn E&1 tác động, triệt tiêu nguồn E&2 như hình 4.10b ta có:

&

I 2  Y21E&1 



Z3

Z3

E&1 � Y21 

Z1Z 2  Z 2 Z3  Z2 Z3

Z1Z 2  Z 2 Z3  Z 2 Z3



Khi cho nguồn E&2 tác động, triệt tiêu nguồn E&1 như hình 4.10c ta có:

&

I1  Y12 E&2 



Z3

Z3

E&2 � Y12 

Z1Z2  Z2 Z3  Z2 Z3

Z1Z2  Z2 Z3  Z2 Z3

84



Vậy Y12  Y21 Suy ra: Ylk  Ykl

Z1



E&1



Z2



Z3



Z1



E&2



1

E



Z2



Z3



I 2



b)



a)

Hình 4.10a,b

Z1



Z2



&

I1



Z3



&

E

2



c)

Hình 4.10c



4.2.3. Hệ số truyền áp Ku, hệ số truyền dòng Ki

a) Khái niệm: Các hệ số truyền áp (K u) và hệ số truyền dòng (Ki) nói lên quan hệ giữa

đáp ứng ở lối ra thứ l với kích thích cùng loại ở lối ra thứ k (hoặc trên lối vào thứ l với

kích thích cùng loại trên lối vào thứ k).

Xét mạch điện tuyến tính bất kì hình 4.11, giả sử mạch chỉ có một nguồn điện áp

&

hay dòng điện đặt ở lối vào thứ k sẽ gây nên trên lối vào này một kích thích là điện áp U

k



& hoặc đáp ứng dòng điện &

Il .

hoặc là trên lối vào l khác một đáp ứng điện áp U

l



&

Ik

U&k



&

I1



Zk

Mạch

tuyến

tính bất

kì



Z1



U1



Hình 4.11



Theo tính chất tuyến tính, đáp ứng và kích thích ở 2 lối vào phải quan hệ tuyến

tính với nhau thơng qua các thơng số của mạch theo biểu thức tổng quát:

85