Xét các phép biến đổi tương đương đơn giản:

Trong đó:



n

1

1

1

1

1





 ... 

�

Z td Z1 Z2

Zn

Z

k 1 k



Hoặc Ytd  Y1  Y2  ...  Yn 



(5.2)



n



�Yk



(5.3)



k 1



- Biến đổi tương đương các nhánh có nguồn mắc nối tiếp

Trên hình 5.3a cho một nhánh gồm các tổng trở và sức điện động nối tiếp tương

đương với

tổng trở và sức

điện động

như hình 5.3b.



n



Trong đó: Z td  Z1  ...  Zn  �Zk ; E&td 

k 1



n



�E&k



(5.4)



k 1



Với E&k lấy dấu dương khi nó cùng chiều với E&td và lấy dấu âm khi nó ngược

chiều với E&td .

Chú ý: Nếu mạch có n tổng dẫn (Y) nối song song thì tương đương với một

n



nhánh có tổng dẫn tương đương ( Ytd ) tính theo cơng thức: Ytd  �Y .

1



5.2. Biến đổi sao - tam giác tương đương

Trong nhiều trường hợp nếu thay thế mạch điện nối sao – tam giác và ngược lại

sẽ làm cho việc tính tốn mạch điện đơn giản và dễ dàng hơn. Vì vậy mà có phép biến

đổi sao - tam giác tương đương.

5.2.1. Khái niệm

Ba tổng trở gọi là nối sao (Y) nếu có 3 đầu nối chung thành một nút, 3 đầu còn

lại nối đến các nút khác của mạch (hình 5.4a).

Ba tổng trở gọi là nối tam giác (∆) nếu chúng nối với nhau thành một vòng

khép kín, tại các chỗ nối là một nút của mạch (hình 5.4b).

97



Điều kiện biến đổi là dòng điện và điện áp giữa các nút phải được phải được

bảo toàn trước và sau khi biến đổi.



Hình 5.4 Sơ đồ biến đổi (Y) – tam giác ()



5.2.2. Công thức biến đổi sao – tam giác

Công thức liên hệ giữa nối sao và tam giác như sau:

Công thức (5.5) dùng để biến đổi từ tam giác sang sao, công thức (5.6) dùng để

biến đổi từ sao sang tam giác. Nếu các tổng trở ba cạnh hình sao (hoặc ba cạnh tam

giác) bằng nhau, thì tổng trở ba cạnh tam giác (hoặc 3 cạnh hình sao) cũng bằng nhau.

Lúc đó ta có:

Z  3ZY � ZY 



Z

3



�

Z12 Z31

�

Z12  Z23  Z31 �

�

Z23 Z12

Z2 

�

Z12  Z23  Z31 �

�

Z31Z23

Z3 

�

Z12  Z23  Z31 �



Z1Z2 �

�

Z3 �

ZZ �

�

Z23  Z2  Z3  2 3 �

Z1 �

Z3 Z 1 �

�

Z31  Z3  Z1 

Z2 �

Z12  Z1  Z2 



Z1 



(5.5)



(5.6)



5.2.3. Ứng dụng biến đổi sao – tam giác tương đương

Biến đổi sao - tam giác tương đương kết hợp với các phương pháp biến đổi

tương đương để làm giảm bớt số nhánh, số nút hoặc cả hai dẫn đến sẽ giảm được số

phương trình viết cho các mạch theo các luật Kirhoff, như vậy sẽ giảm được khối

lượng tính tốn. Biến đổi sao - tam giác tương đương thường sử dụng trong tính tốn

mạch điện ba pha và tính tốn đối với các thiết bị ba pha.

* Ví dụ: Từ mạch điện hình 5.5a, thực hiện phép biến đổi tam giác sang sao cho ba

tổng trở Z4 , Z5 , Z6 thành ba tổng trở Za , Zb , Zc ta được mạch điện hình 5.5b, nó có

cấu trúc đơn giản hơn nhiều so với mạch điện hình 5.5a.



98



a)



b)

Hình 5.5



Trong đó:

�

Z 4 Z6

�Za 

Z 4  Z5  Z 6

�

�

Z 4 Z5

�Zb 

Z 4  Z5  Z 6

�

�

Z5 Z6

�Zc 

Z 4  Z5  Z 6

�

5.3. Thay một mạng một cửa (hai cực) không nguồn bằng một tổng trở vào hoặc

một tổng dẫn vào.

5.3.1. Khái niệm và phân loại mạng 1 cửa

a) Khái niệm

Mạng một cửa là một kết cấu sơ đồ mạch có một cửa ngõ (lối vào) duy nhất

dùng để liên hệ (trao đổi) năng lượng với các bộ phận khác.

Trong giáo trình ta xét trường hợp cửa ngõ (lối vào) của mạng do 2 cực tạo

thành nên còn gọi là mạng 2 cực.

b) Phân loại

- Theo tính chất của các phần tử cấu thành mạng một cửa, phân thành:

+ Mạng một cửa tuyến tính: tất cả các phần tử trong mạng đều là tuyến tính.

+ Mạng một cửa phi tuyến, có ít nhất một phần tử là phi tuyến.

- Theo quan điểm năng lượng phân ra:

+ Mạng một cửa có nguồn (hay mạng một cửa tích cực): là mạng có chứa

nguồn và các nguồn có khả năng đưa được năng lượng ra ngồi.

+ Mạng một cửa khơng nguồn (mạng một cửa thụ động): là mạng khơng chứa

nguồn nào hoặc có chứa nguồn nhưng các nguồn triệt tiêu nhau khiến mạng khơng có

khả năng đưa được năng lượng ra ngồi.



99



c) Cách xác định mạng một cửa có nguồn hay khơng nguồn

- Hoặc nối ngắn mạch trên cửa (u = 0): kiểm tra xem mạng có bơm được ở chỗ ngắn

mạch một dòng điện hay khơng:

+ i0(t)  0: mạng có nguồn.

+ i0(t) = 0: mạng không nguồn.

- Hoặc hở mạch trên cửa (tức dòng i = 0) kiểm tra xem mạng có đưa được điện áp u 0(t)

ra trên cửa hay khơng:

+ Nếu u0(t)  0 đó là mạng có nguồn.

+ Nếu u0(t) = 0 đó là mạng khơng nguồn.

5.3.2. Thay mạng một cửa tuyến tính khơng nguồn bằng tổng trở vào hoặc tổng dẫn

vào



&

U



Mạng hai

cực khơng

nguồn



a)



&

U



R



jX Hoặc



&

U



g



-jb



c)



b)



Hình 5.6. Sơ đồ mạng 2 cực



Xét mạng hai cực tuyến tính khơng nguồn bất kỳ hình 5.6a. Giả sử đặt ở cửa vào

& ta sẽ có đáp ứng dòng điện &

mạng một điện áp kích thích U

I tương ứng và ngược lại.

Vì là mạng không nguồn nên chế độ năng lượng đưa vào mạch hoàn toàn xác

&, &

&, &

định bởi cặp số ( U

I ) trên cửa ngõ của mạng và theo tính chất tuyến tính cặp số ( U

I

) phải tỷ lệ với nhau qua hệ số tỷ lệ Z hoặc Y:



Hoặc:



&

& Z.I& � Z  U  Z  R  jX

U

v

&

I



(5.7)



&

&

& � Y  I  g  jb

I  Y.U

&

U



(5.8)



Ta thấy ở một tần số xác định, có thể thay một mạng 1 cửa (2 cực) không nguồn bằng:

Một tổng trở tương đương là tổng trở vào Z v của nó, cụ thể đó là một nhánh gồm R, jX

nối tiếp (hình 5.6b). Hoặc bằng tổng dẫn tương đương là tổng dẫn vào là nghịch đảo

của tổng trở vào, cụ thể đó là 2 nhánh g và (-jb) song song (hình 5.6c)

Mối quan hệ giữa các thơng số R; jX; g - jb:

Y



1

1

R  jX

R

X







j

 g  jb

Z R  jX R 2  X 2 R 2  X 2

R 2  X2



100



� g



R

R 2  X2



b



;



X

R 2  X2



(5.9)



Ngược lại:

Z

� R



1

1

g

b





j

 R  jX

2

2

2

2

Y g  jb g  b

g b

g

g2  b2



X



;



b

g 2  b2



(5.10)



Ta thấy điện kháng X và điện dẫn phản kháng b luôn cùng dấu nhau, tức là sơ

đồ nối tiếp hoặc song song những phần tử này là cùng loại: cùng L hoặc cùng C.

* Ví dụ: Cho một mạng một cửa khơng nguồn hình 5.7a. Làm thí nghiệm ta đo được:

U = 220V; I = 5A; P = 550W. Cho biết điện áp vượt trước dòng điện. Hãy tính Z v, Yv

của mạng ?



Giải:

U



220



 44

Ta có: Zv  

I

5

  arc cos



P

550

 arc cos

 arc cos 0,5  �

600

UI

220.5



Vì điện áp vượt trước dòng điện nên ta chọn   600

0



0



Vậy: Zv  z.e j  44e j60  22  j38  R  jX( )

Sơ đồ tương đương gồm hai phần tử nối tiếp như hình 5.7b.

Yv 



1



Zv



1

0

44e j60



 0, 0196  j0, 0114  g  jb(S)



Sơ đồ tương đương gồm hai phần tử mắc song song như hình 5.7c.

101



5.4. Thay mạng một cửa tuyến tính có nguồn bằng máy phát điện tương đương –

định lí máy phát điện tương đương

5.4.1. Định lý Thevenin

Xét mạng một cửa tuyến tính có nguồn (hình 5.8a), phần mạch bên ngồi nối

thơng với cửa ngõ của mạng có thể rất tuỳ ý (coi là mạch có 1 phần tử biến động), vì

&, &

thế cặp số ( U

I ) có quan hệ tuyến tính dạng:

& AI& B

U



(5.11)



Trong đó: A có thứ ngun tổng trở, B có thứ nguyên sức điện động; chúng chỉ

phụ thuộc riêng mạng một cửa. A, B được gọi là các thông số đặc trưng cho mạng một

cửa.



Sơ đồ điện ứng với phương trình (5.11) là một sơ đồ gồm một tổng trở (Z0 =

-A) nối tiếp với một nguồn sức điện động ( E&0  B ) do Thevenin đề ra gọi là máy phát

điện tương đương hình 5.8b. Các thông số của sơ đồ máy phát điện tương đương được

xác định:

& U

& theo (5.11) có:

- Khi mạng một cửa hở mạch, tức &

I0; U

h

0

&

BU

0



(5.12)



Vậy sức điện động của máy phát điện tương đương bằng điện áp trên hai cực

của mạng khi hở mạch.

- Khi mạng hai cực ngắn mạch: U& 0; 0  AI&ng  U&0

� A 



&

U

0 Z Z

0

V

&

I ng



(5.13)



102



- Từ hình vẽ 5.8b ta thấy (A)  Z0 chính là các tổng trở trong của máy phát điện

tương đương. Mặt khác khi các nguồn trong triệt tiêu bằng khơng thì U&0  0 và mạng

một cửa không nguồn phải tương đương với tổng trở Z 0. Vậy tổng trở trong của máy

phát điện tương đương phải bằng tổng trở vào của mạng một cửa khi không nguồn.

Tóm lại định lý Thevenin phát biểu:

"Có thể thay một mạng 1 cửa tuyến tính có nguồn bằng máy phát điện tương,

máy phát điện tương đương gồm sức điện động bằng điện áp trên 2 cực của mạng khi

hở mạch nối tiếp với tổng trở trong bằng tổng trở vào của mạng khi khơng nguồn".

5.4.2. Định lý Norton

Phương trình liên hệ giữa các biến trạng thái của mạng hai cực tuyến tính có

nguồn hình 5.8b có thể viết dưới dạng:

&

& D

I  CU



(5.14)



Trong đó C, D có thể được xác định từ các chế độ đặc biệt của mạng giống như

đối với A, B hoặc từ (5.11) chia 2 vế cho A rồi sắp xếp và kí hiệu lại các số hạng cho

thích hợp ta được:

1

1



 Y0

 A Z0



(5.15)



&

B U

 h &

Ing

 A Z0



(5.16)



C 

D



Vậy cặp (-C = Y0) chỉ phụ thuộc kết cấu mạng một cửa có nguồn, là những

thơng số đặc trưng của mạng.

Từ phương trình (5.14) ta có sơ đồ điện tương ứng hình 5.8c, đó là sơ đồ thay thế

mạng một cửa có nguồn do Norton đề ra:

"Có thể thay mạng 1 cửa tuyến tính có nguồn bằng máy phát điện tương đương.

Sơ đồ máy phát điện tương đương gồm có 2 nhánh nối song song, một nhánh là nguồn

dòng điện I&ng bằng dòng ngắn mạch giữa các cực của mạng và một nhánh là tổng

dẫn Y0 bằng tổng dẫn vào của mạng (Y0) khi không nguồn".

Chú ý:

- Hai sơ đồ máy phát điện tương đương theo định lý Têvênin và Norton hoàn toàn

tương đương nhau về cách mơ tả q trình năng lượng trong mạng một cửa, việc chọn

dùng sơ đồ nào là tùy sự tiện lợi cho từng trường hợp cụ thể.

- Các sơ đồ máy phát điện tương đương theo định lý Têvênin và Norton cũng đúng

trong trường hợp mạng 1 cửa tuyến tính khơng nguồn. Lúc đó:

&  0;

U

h



I&ng  0.



5.5. Ứng dụng định lí máy phát điện tương đương để tính mạch điện

103



Việc ứng dụng máy phát điện tương để phân tích mạch điện gọi là phương pháp

máy phát điện tương đương.

Để tìm dòng điện, điện áp trong một nhánh của mạch điện, ta tách nhánh cần

tìm dòng điện ra khỏi mạch, phần còn lại được thay thế bằng một máy phát điện tương

đương, sau đó kết hợp chúng lại với nhau ta tìm được dòng điện trong nhánh. Các

bước thực hiện như sau:

Bước 1: Ta tách nhánh cần tìm dòng điện ra khỏi mạch (tách một phần tử thuộc

nhánh hoặc cả nhánh), phần còn lại là một mạng hai cực có nguồn.

Bước 2: Thay mạng hai cực có nguồn bằng máy phát điện tương đương theo sơ

đồ Thevenin hoặc sơ đồ Norton (sơ đồ hình 5.8b hoặc 5.8c).

Ik cần tìm trong sơ đồ đã thay thế:

Bước 3: Tính dòng &

&

U

0 ;U

& Z &

k

k Ik

Z0  Zk



Đối với sơ đồ Thevenin: &

Ik 

Với sơ đồ Norton: U&k 



(5.17)



&

Ing



&

U

; &

Ik  k

Y0  Yk

Zk



(5.18)



* Ví dụ: Tính dòng điện chạy qua Z3 ở hình 5.9a.

Giải:

Tách nhánh 3 ra khỏi mạch phần còn lại là mạng hai cực có nguồn (hình 5.9b).

&



EZ

Tính điện áp U&h theo hình 5.9b: U&h  1 2

Z1  Z2



Tính tổng trở vào của mạng hai cực khơng nguồn theo hình 5.9c ta được:

Z0  ZV 



Z1.Z2

Z1  Z2



Ghép sơ đồ tương đương của mạng hai cực hình 5.9b với nhánh 3 ta có mạch

điện như hình 5.9d. Tính dòng điện chạy trong nhánh Z3 theo hình 5.9d ta được:

E&  E&3

&

I3  0

Z0  Z3



Z1



Z2



E&1

a)

Z1



c)



Z2



Z1



Z3



E&3



b)



E&0



ZV=Z

0



E&1



d)



104

Hình 5.9



Z0



Z2



Z3



E&Z3 0



&

U

h



5.6. Điều kiện đưa công suất lớn nhất từ nguồn đến tải

Xét mạch điện có một nguồn nối trực tiếp với tải (hình 5.10a), theo định lý máy

phát điện tương đương ta thay nguồn điện bằng một máy phát điện tương đương như

hình 5.10b.



&

I

Zt �



Nguồn



Tải



a)



&

E

0



b)



&

I



Z0



Zt



Hình 5.10 . Sơ đồ thay thế máy phát điện

tương đương



Công suất đưa đến tải (công suất tiêu thụ Pt ) bằng:

E2

rt

Pt  rt I 2t  rt 0 

E 0  f (rt )

2

2

2

z

(r0  rt )  (x 0  x t )



(5.19)



Với E0 và r0 là hằng số và Z0 = Zng (r0 = rng; x0 = xng)

Từ cơng thức (5.19) ta thấy muốn có Pt  Pmax thì phải có các điều kiện sau:

x 0  x t  0 � x 0   x t nghĩa là x ng   x t

rt



(rng  rt ) 2



lớn nhất



(1)

(2)



d



Vì rng = const, nên điều kiện này thỏa mãn khi: dr (



rt



2

t (rng  rt )



Thực hiện phép đạo hàm ta có:

rt [(rng  rt ) 2 ]' rt '(rng  rt ) 2

rt

d

(

)

drt (r  r ) 2

(rng  rt ) 4

ng t





2rt (rng  rt )(rng  rt ) ' (rng  rt ) 2

(rng  rt )4



105



)0









2rt (rng  rt )  (rng  rt ) 2

(rng  rt ) 4

2rt  (rng  rt )

(rng  rt )3







rt  rng

(rng  rt )3



0



Suy ra rt  rng  0 � rt  rng

Vậy để Pt  Png thì x ng   x t và rng  rt

Suy ra: rng  jx ng  rt  jx t � Zng  Zˆ t

Khi Zng  Zˆ t thì Pt  Pm 



E 02 rt



(rng  rt ) 2







(5.20)

E 02 rng

2

4rng







E 02

4rng



rng I 2

Pt

rt I 2





 0,5

Hiệu suất truyền tải từ nguồn đến tải là:  

Png (rt  rng )I 2 2rng I 2



Qua phân tích ở trên ta thấy điều kiện để đưa một công suất lớn nhất từ nguồn

đến tải nối trực tiếp với nguồn thì Zng  Zˆ t ; trong thực tế thông thường Zng �Zˆ t ; do

đó để thoả mãn Zng  Zˆ t ; ta phải nối thêm vào một bộ phận trung gian giữa nguồn và

tải, sao cho Zng  Ztr gian  Z t  Zˆ 't . Việc làm như vậy gọi là hoà hợp nguồn với tải (sẽ

được khảo sát kỹ hơn trong phần mạng hai cửa).

5.7. Biến đổi song song các nhánh có nguồn

5.7.1. Lập sơ đồ Norton

Ứng dụng định luật máy phát điện tương đương để biến đổi tương đương mạch

điện gồm các nhánh có nguồn mắc song song với nhau (hình 5.11a) về dạng đơn giản

theo sơ đồ (hình 5.11b) hoặc theo sơ đồ Têvênin (hình 5.11c).



Hình 5.11. Sơ đồ biến đổi song song các nhánh có nguồn

I ng , trong đó: Y0 là tổng dẫn trong của máy phát điện tương

Cần tìm Y0 và &



đương bằng tổng dẫn vào của mạng khi triệt tiêu các nguồn :

106



Y0  Y1  Y2  Y3  �Yk



(5.21)



k



&

I ng là nguồn dòng điện của máy phát điện tương đương bằng dòng điện chạy trong



dây dẫn nối tắt qua hai cực của mạng:

I ng 

Tổng quát: &



n



m



k 1



l 1



E& E&

&

I ng  1  2  J&.

Z1 Z2



�E&k Yk  �J&l



(5.22)



Trong đó dấu của J&l và tích E&k Yk là dương khi nó có chiều cùng chiều với

I ng .

nguồn dòng điện &



5.7.2. Lập sơ đồ Têvênin

Từ sơ đồ Norton ta dễ dàng tìm được sơ đồ Têvênin cần tìm Z0 và E&0 ,

trong đó:

- Z0 là tổng trở trong của máy phát điện tương đương bằng tổng trở vào của

mạng khi triệt tiêu các nguồn:

Z0 



1



Y0



1

�Yk



(5.23)



k



- E&0 là nguồn suất điện động của máy phát điện tương đương bằng điện áp trên

hai cực 1 – 1’ khi hở mạch:

E&1 E&2 &



J

Z1 Z2

&

&

E  Uh 



Y0

Y0

&

Ing



�E&k Yk  �J&l



Tổng quát: E&0  k



�Yk



l



(5.24)



k



I ng .

Trong đó dấu của E&0 là dương khi nó có cùng chiều với chiều nguồn dòng &



* Ví dụ: Xác định số chỉ của Ampemet trong hình 5.12a.

Biết: Z1  Z5  j10, Z2  Z4  20, Z3   j10, E&1  E&2  E&3  120V, J& 10A

Giải:

Biến đổi song song các nhánh có nút song song giữa hai nút a,c và b,d đưa về

sơ đồ tương đương dễ dàng tính được dòng điện qua ampemet:

Yac  Y1  Y2

 1/ Z1  1/ Z2



107