Cho mạch gồm ba phần tử R, L, C nối tiếp với R = 3Ω, XL=2Ω, XC = 6Ω viết tổng trở và tổng dẫn phức của mạch.

Như vậy, số phức P + jQ  cặp số (P; Q)  được biểu diễn là phức công suất

dưới dạng mũ:

j

S% P  jQ  Se



(3.13)



S%- gọi là phức công suất biểu kiến đơn vị Volampe - VA.

*



&I  P  jQ

Ta còn có: S% Se j  U



(3.14)



2

j

j

S% Se  UIe  ZI.I = ZI = P + jQ



(3.15)



U

j

j

S% Se  UIe  U e j  P  jQ

Z



(3.16)



3.2.5. Biểu diễn đạo hàm và tích phân hàm điều hòa bằng số phức

Giả sử ta có hàm điều hoà x  2 X sin(t   x ) biểu diễn hàm điều hòa này

& Xe j x  X�

dưới dạng số phức: X

x

* Đạo hàm hàm x theo thời gian:

dx d �



2 Xsin(t   x ) �

�

dt dt �



2 X cos(t   x )





 2 X sin(t   x  )

2

Chuyển sang số phức ta được:









j(  x  )

j

dx

2  e 2 Xe j x  jX

&

� Xe

dt



Suy ra:



dx

dt



&

� jX



(3.17)



Như vậy, đạo hàm hàm điều hoà theo thời gian sẽ tương ứng biểu diễn bởi phép

nhân số phức biểu diễn hàm điều hoà với tích j.

* Tính tích phân của hàm x theo thời gian t, trong trường hợp xác lập cũng sẽ cho ta

một hàm điều hòa:

xdt  �2 X sin(t  

�



x



)dt  2



1



X sin(t   x  )



2



j(  x   )

1

1  j2 j x

1 &

2

xdt � Xe

 e Xe



X

�





j



Suy ra ta có:



xdt �

�



1 &

X

j



(3.18)



Như vậy, phép tính tích phân hàm điều hồ khi biểu diễn sang số phức sẽ bằng

số phức của hàm điều hồ đó chia cho j.

48



Qua các phép biểu diễn số phức ở trên, ta rút các hệ quả sau:

* Hệ quả thứ nhất:

Nhờ phép biểu diễn các hàm điều hồ có cùng tần số bằng số phức, những quan

hệ vi tích phân giữa các lượng điều hoà được biểu diễn bằng những quan hệ hàm đơn

giản giữa các phức biễu diễn.

Ví dụ: Quan hệ hàm đơn giản giữa dòng điện và điện áp trên các phần tử điện

trở, điện cảm, điện dung được biểu diễn bằng những quan hệ hàm đơn giản giữa các số

phức biểu diễn:

+ Phần tử điện trở (hình 3.4):

R



iR



&

IR



�



uR



ZR

U&R



uRR iR�U&RR&IRZRI&

Hình 3.4



+ Phần tử điện cảm (hình 3.5):

iL



L



�



uL



uL  L



&

IL



ZL

&

U

L



di L &

� U L  jLI&L  ZL &

IL

dt

Hình 3.5



+ Phần tử điện dung (hình 3.6):



iC



C



&

IC



�



ZC



&

U

C

1

1 &

&

&

uC  �

i Cdt � U C 

I C  ZC IC

C

j C



uC



Hình 3.6



+ Nhánh gồm R - L - C nối tiếp (hình 3.7):



i



R



L



.

I



C

u

Hình 3.7



49



R

.

U



& U

& U

& U

&

u  u R  uL  uC � U

R

L

C

1 �&

�

�

R  j(L 

) �I   R  j(X L  X C )  I& (R  jX)I& ZI&



C

�

�

* Hệ quả thứ 2: Cũng nhờ phép biểu diễn bằng số phức mối quan hệ giữa dòng điện và

điện áp trên các phần tử suy ra hệ phương trình vi phân mơ tả mạch có dòng điều hồ

theo hàm sin hay cos sẽ biểu diễn bằng hệ phương trình đại số với các số phức biểu

diễn. Vì vậy, có thể chuyển được việc giải hệ phương trình vi phân thành hệ phương

trình đại số đơn giản để tìm nghiệm phức. Từ nghiệm phức này dễ dàng chuyển về

nghiệm theo hàm thời gian.

Ví dụ: Cho mạch điện hình 3.8. Viết hệ phương trình vi phân mơ tả mạch.

j



i1

L1



i2

i3

L3



V1



r1



V2



r3



r2

e2



C3



e1



C2



j

Hình 3.8



Từ sơ đồ mạch ta có hệ phương trình vi phân như sau:

�

�

i1  i 2  i3  j  0

�

�

di

di

1

r1i1  L1 1  r3i 3  L3 3 

i3dt  e1 (a)

�

�

dt

dt

C

3

�

�

1

di

1

r2i 2 

i 2 dt  r3i 3  L3 3  �

i 3dt  e 2

�

�

C2

dt C3

�

Từ hệ phương trình vi phân dạng (a) chuyển sang dạng phức ta có (hình 3.9)

�

�

&

I1  &

I2  &

I3  J&

�

�

1 & &

I1  [r3  j(L3 

)]I3  E1

 r1  jL1  &

�



C

3

�

�

1 &

1 & &

(r2  j

)I 2  [r3  j(L3 

)]I3  E 2

�

C 2

C3

�



50



(b)



&

 &

I1 J

I2

&

I



Z1



Z2



3



V1



&

E

1



V2



Z3



&

E

2



&

J

Hình 3.9

&

�

I1  &

I2  &

I3  J&

�

� �Z1I&1  Z 3 &

I3  E&1

� &

& &

�Z2 I 2  Z 3 I3  E 2



(c)



3.2.6. Biểu diễn các định luật Kirhoff dưới dạng phức

Để tiện tính tốn người ta thường đại số hóa sơ đồ mạch (phức hóa sơ đồ) ngay

từ các ký hiệu trên sơ đồ. Cụ thể ta biểu diễn ngay các tổng trở phức Z (hoặc tổng dẫn

& sức điện động E,

& nguồn dòng J&trên

I, điện áp U,

phức Y) và các phức như dòng điện &

sơ đồ, một sơ đồ như vậy gọi là sơ đồ phức. Đồng thời dùng sơ đồ phức ta đưa ra định

luật Kirhoff 1 và Kirhoff 2 dưới dạng phức:

a) Định luật Kirhoff 1:

Phát biểu: “Tổng đại số các phức dòng điện tại một nút bằng không”

Ik  0

�&



(3.18)



nút



b) Định luật Kirhoff 2:

Phát biểu định luật Kirhoff 2 "Đi theo một vòng khép kín bất kỳ với chiều tuỳ ý,

tổng đại số các phức điện áp trên các phần tử bằng tổng đại số các phức sức điện động

trong vòng đó"

.



�U k  �E&k



vòng



(3.19)



vòng



Chú ý: Quy luật dấu cho các định luật Kirhoff dạng phức giống như hệ phương

trình Kirhoff dưới dạng tức thời.

3.2.7. Sơ đồ phức và cách thành lập sơ đồ phức

Để đơn giản trong tính tốn người ta thường đại số hóa sơ đồ mạch tức là

trường hợp sơ đồ mạch đã cho ở dạng tức thời phải tìm sơ đồ phức tương đương ta

thực hiện như sau:

+ Điện trở R khi chuyển sang sơ đồ phức được giữ nguyên.

51



+ Điện cảm L khi chuyển sang sơ đồ phức được thay bằng jL  jX L .

+ Điện dung C khi chuyển sang sơ đồ phức được thay thế bằng 1/ jC = -jXC.

+ Nguồn e(t) và j(t) khi chuyển sang sơ đồ phức được thay bằng E& và J&.

+ Giữ nguyên kết cấu của mạch điện.

Ví dụ 1: Chuyển sơ đồ mạch xoay chiều hình sin hình 3.10 sang sơ đồ phức.

&J

j

L1



C2



L3



R1



R2



R3



�



1/jC2



jL3



R1



e2



C3



e1



jL1



R3



&E

1



1/jC3



j



R2



&E

2



&J

Hình 3.11



Hình 3.10

J

Z1





Z2

Z3





E

1





E

2



J



Hình 3.12



Trong đó: Z1  R1  jL1  R1  jX L1 ;

Z2  R 2 



1

 R 2  jX C 2 ;

jC 2



Z3  R 3  jL3 



1

 R 3  j(X L3  X C3 )

jC3



Trong các bước phân tích mạch điện, nếu khơng có yêu cầu ta chuyển ngay từ

sơ đồ mạch điện hình 3.10 sang sơ đồ mạchLđiện hình

j 3.12.

R4



4



Ví dụ 2: Chuyển sơ đồ mạch xoay chiều hình sin hình 3.13a sang sơ đồ phức, viết các

phương trình theo định luậtCKirhoff cho mạch dướiL dạng phức:

L1



C7



6



2



Giải: Từ sơ đồ mạch đã cho ta chuyển sang sơ đồ phức như hình 3.13b.

R1

e1



R2



L7



R6

R5



L5



e6



R7

j



52

R3

Hình 3.13a



L3

L3



�



j



jωL4



R4

1/jωC2



jωL1

R1



R2



e1



1/jωC7



jωL6



ωL7



R6



jωL5



R5



e6



R7

j



jωL3



R3

Hình 3.13b



Chuyển sơ đồ 3.13b về sơ đồ phức đơn giản hơn, hình 3.13c:



.

I4



.

J



Z4



.

I2



.

I7



Z1



Z6

Z2



.

E1



.

I1



.

I5



.

E6



Z5

.

J



.

I3

Z3



Hình 3.13c

Chọn chiều dòng điện như trên hình vẽ.

Viết các phương trình theo định luật Kirhoff 1:



53



Z7

.

I6



�

&

I1  &

I2  &

I4  0

�

&

I1  &

I2  &

I3  &

I5  0

�

�

&

I3  &

I5  &

I6  J& 0

�

�

&

I4  &

I6  &

I7  J& 0

�



(a)



Viết các phương trình theo định luật Kirhoff 2:

�Z1&

I1  Z2 &

I 2  E&1

� &

 Z2 I2  Z4&

I 4  Z6 &

I 6  Z5 &

I5  E&6

�

� &

& &

�Z6 I6  Z7 I7  E 6

�

 Z3 &

I 3  Z5 &

I5  0

�



(b)



Như vậy, ta đã viết được các phương trình theo định luật Kirhoff1 và Kirhoff 2

dưới dạng phức cho mạch điện hình 3.13c.

3.3. Phương pháp dòng điện nhánh

3.3.1. Cơ sở của phương pháp

Đây là phương pháp cơ bản để phân tích mạch điện, bởi vì nó sử dụng trực tiếp

các định luật Kirhoff để giải mạch điện. Đối với phương pháp này, ẩn số chính là phức

của dòng điện các nhánh, mạch có bao nhiêu nhánh sẽ có bấy nhiêu ẩn số và cũng có

bấy nhiêu phương trình để giải mạch điện.

3.3.2. Nội dung các bước giải mạch điện

Để phân tích mạch điện theo phương pháp dòng điện các nhánh, ta thực hiện

theo 3 bước như sau:

Bước 1: Thành lập sơ đồ phức (chuyển sơ đồ mạch xoay chiều hình sin sang sơ

đồ phức), chọn ẩn số là các phức dòng điện nhánh, chiều chọn trước tùy ý. Các nguồn

sức điện động được thay bởi các phức sức điện động, còn các nhánh được biểu diễn

bởi các phức tổng trở nhánh (đối với các nhánh có nguồn ta chọn chiều dương dòng

điện trùng với chiều dương của nguồn).

Bước 2: Thành lập hệ phương trình dòng điện nhánh, gồm n - 1 phương trình

nút viết theo định luật Kirhoff 1 và m - n + 1 phương trình mạch vòng viết theo định

luật Kirhoff 2.

Trong đó: n là số nút và m là số nhánh.

.



�I  0;

�U  �E

.



.



Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm ra phức dòng điện trong các nhánh. Từ kết

quả đó tìm được các thơng số trạng thái khác như trị số dòng điện tức thời, góc pha,

cơng suất...

54



3.3.3. Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1: Cho mạch điện hình 3.14, các thơng

số của mạch như sau:



X1



e1  210 2 sin t (V) ;

e2  200 2 sin t (V) ;



e1



X1 = X2 = 10 (Ω);

X 3  5() ; R 3  10()



X3



X2



R3



e2



Hình 3.14



u cầu: Tìm dòng điện trong các

nhánh của mạch điện bằng phương pháp dòng điện nhánh.

Giải:

Bước 1: Mạch điện hình 3.14 có 3 nhánh, vậy ta cần tìm 3 dòng điện trong 3

nhánh với chiều dòng điện chọn như hình 3.14a.

Từ sơ đồ mạch điện đã cho ta chuyển về sơ đồ phức tương đương (đại số hóa sơ

đồ) như hình vẽ 3.14b và chuyển các đại lượng của mạch xoay chiều sang dạng phức

như sau:

Z1  Z2  j X1  jX 2  j10 ()

Z3 = R3 + jX3 = 10 + j5

0

E&1  210e j0 (V) ;



()



0

E&2  200e j0 (V)



.



.



.



Chọn ẩn số là các phức dòng điện nhánh: I1 , I 2 , I3 có chiều trùng với chiều các

dòng điện hình 3.14b.



i1

X1



e1



&

I1



i2

X3



i3



R3



Hình 3.14a



X2



e2



&I

3

Z1



V1



&

I2



Z3



V2



Z2



&

E

2



&

E

1

Hình 3.14b



Bước 2: Mạch có 2 nút, 3 nhánh nên thành lập hệ phương trình theo định luật

Kirhoff :

Số phương trình độc lập theo Kirhoff 1: n - 1 = 2 - 1 = 1 (viết 1 phương trình

cho nút a).

Số phương trình độc lập theo Kirhoff 2: m - (n - 1) = 3 - (2 - 1) = 2 (viết 2 phương

trình cho vòng V1, V2).

55



&

�

I1  &

I2  &

I3  0

�

� &

I3  E&1

�Z1I1  Z3&

� &

& &

�Z2 I 2  Z3I3  E 2



(1)

(2)

(3)



Bước 3: Thay số vào hệ phương trình và giải hệ phương trình trên như sau:

&

�

I1  &

I2  &

I3  0

(4)

�

0

� &

0

j0

(5)

�j10I1  (10  j5)I&3  210�0  210.e

� &

0

0

j0

(6)

�j10I 2  (10  j5)I&3  200�0  200. e

210 - (10+j5)I&3

I1 =

Từ (5) ta có: &

(*)

j10

200 - (10+j5)I&3

I2 =

Từ (6) ta có: &

(* *)

j10

Thay (*), (* *) vào phương trình (4) ta được:

210 - (10+j5)I&3 200 - (10+j5)I&3 &

+

-I3  0

j10

j10

210 - 10I&3 - j5I&3 + 200 - 10I&3 - j5I&3 - j10I&3 =0

410 - 20I&3 - j20I&3 = 0 � 410 - (20 + j20)I&3 =0

�&

I3 =



410

410(20 - j20)

=

=

20 + j20

800

0



= 10,25 - j10,25(A) = 14,496.e j-(45) (A)

Dòng điện I3 có mođun:

I3 = 10,252 +10,252 = 14,496 (A)

có argumen: φ3 = arctg(-



10,25

) = - 450

10,25



Giá trị tức thời của hàm điều hòa trong nhánh 3:

i3  14, 496 2 sin(t  450 )



(A)



I3 vào phương trình (*) ta có:

Thay &

210 - (10+j5)I&3 210 - (10+j5)(10,25 - j10,25)

&

I1 =

=

j10

j10

210 - (102,5 + j51,25 - j102,5 - J 2 51,25)

&

� I1 =

j10

�&

I1 =



210 - 102,5 - j51,25 +j102,5 - 51,25 56,25 + j51,25





j10

j10

56



=



(56,25 + j51,25)(-j10) -j562,5  512,5

=

j10.(-j10)

100

0



= 5,125 - j5,625 (A) = 7,6096.e j(-47,7 ) (A)

Dòng điện I1 có mođun: I1 = 5,1252 +5,6252 = 7,6096 (A)

có argumen: φ1 = arctg(-



5,625

) = -47,7 0

5,125



Giá trị tức thời của hàm điều hòa trong nhánh 1:

i1  7,6096 2 sin(t  47,70 ) (A)

I3 vào phương trình (* *) ta có:

Thay &

200 - (10+j5)I&3 200 - (10+j5)(10,25 - j10,25)

&

I2 =



j10

j10

�&

I2 =



200 - (102,5 + j51,25 - j102,5 - j2 51,25)

j10



200 - 102,5 - j51,25 +j102,5 - 51,25 46,25 + j51,25



j10

j10

(46,25 + j51,25)(-j10) -j462,5 + 512,5





 5,125 - j4,625 (A)

j10.(-j10)

100



�&

I2 =



0



= 6,903.e j(-42,06) (A)

Dòng điện I2 có mođun: I 2 = 5,1252 +4,6252 = 6,903 (A)

có argumen: φ 2 = arctg(-



4,625

) = - 42,060

5,125



Giá trị tức thời của hàm điều hòa trong nhánh 2:

i 2  6,903 2 sin(t  42,060 ) (A)

I1 ,I&2 ,I&3 vào phương trình (4) ta được kết quả chính xác: &

I1  &

I2  &

I3  0

Thử lại: Thay &

Như vậy, phức dòng điện trong các nhánh:

0



&

I1 = 5,125 - j5,625 (A) = 7,6096.e j(-47,7 ) (A)

0

&

I 2  5,125 - j4,625 (A) = 6,903.e j(-42,06) (A)

0

&

I3  10,25 - j10,25(A)  14,496.e j-(45) (A)



Dòng điện tức thời (dòng điện xoay chiều hình sin) trong các nhánh:



57



i1 =7,6096 2sin(ωt - 47,70 )



(A)



i 2 = 6,903 2sin(ωt - 42,060 ) (A)

i3 = 14,496 2sin(ωt - 450 )



(A)



Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình 3.15, biết:

Z1  40  j30(); Z2  30  j30(); Z3  20  j15()

E&  100�300 (V); E&  100�50 0 (V);J& j10(A)

1



3



Tìm dòng điện trong các nhánh của mạch điện đã cho bằng phương pháp dòng

điện nhánh.



&

J



I

1



I

3



Z1



&

E

1



a



Z2



Z3



V1



I 2

V2



&

J





E

2



b



Hình 3.15



Giải:

Mạch có số nhánh m = 3; số nút n = 2, do đó ta cần lập 3 phương trình trong đó:

Số phương trình độc lập theo các luật Kirhoff 1 là:

K1 = n - 1 = 2 - 1 = 1

Số phương trình cần lập theo Kirhoff 2 là:

K2 = m - n + 1 = 3 - 1 = 2

Hệ phương trình theo phương pháp dòng điện các nhánh là:

&

�

I1  &

I2  &

I3  J& 0

�&

I3  E&1

�Z1I1  Z3&

� &

& &

�Z2 I 2  Z3 I3  E 3



(Nút a)

(Vòng1)

(Vòng 2)



Thay số vào hệ phương trình trên và giải ra ta được dòng điện các nhánh:

&

�

I1  0,9469  j0, 2727  0,9854� 16,06430 (A)

�

&

I 2  1,1306  j0,3395  1,1805�16,7160

(A)

�

�

&

I3  2,0775  j0,067  2,0786�1,8430

(A)

�

58