Hợp lực của hai lực song song cùng chiều là một lực, có:

Bài giải

Nếu áp lực lên gối A là FA = 5kN thì áp lực lên gối B là:

FB = P - FA = 14 – 5 = 9kN

Theo công thức hợp lực của hai lực song song

cùng chiều, ta có:

⇒x=



F

P

= B

AB

x



AB x FB

7x9

=

= 4,5m

P

14



F2



1.3.Hợp lực của hai lực song song ngược chiều









F2 song song ngược

Giả sử có hai lực F1 vaø

chiều

đặt ở A và B (F1 > F2). Ta phải tìm hợp lực



R của chúng (h.2-11). Ở đây, ta cũng khơng

chứng minh mà chỉ nêu kết luận:



có:



C



A

B



R

F1



Hình ví dụ 25







Hai lực song song ngược chiều khơng cùng trị số có hợp lực là một lực R ,



− Phương song song và cùng chiều với lực có trị số



lớn;

− Trị số bằng hiệu trị số của hai lực:



R = F1 – F2

− Điểm đặt chia ngoài đường nối điểm đặt



của hai lực đã cho thành hai đoạn tỉ lệ

nghịch với trị số của hai lực đã cho ấy (nằm

phía ngồi lực có trị số lớn)

F

F

R

= 1 = 2

AB OB OA



O



A



B



x

FA



P



FB



Hình ví dụ 2-4



(2-11)



Trường hợp đặc biệt, nếu F1 = F2 thì R

= F1 – F2 = 0, hệ lực thu về ngẫu lực, ta sẽ xét ở phần thứ III.

F2



Ví dụ

O



Hai lực song song ngược chiều có F 1 =

30kN, F2 =20kN, AB = 0,2m. Hãy xác định hợp

lực của 2 lực ấy.



A

B



R



Bài giải

Theo công thức hợp lực song song ngược

chiều, ta có:

R = F1 – F2 = 30 – 20 = 10kN.

15



F1

Hình 2-11



Và



F2

R

=

CA AB



⇒ CA = CA =



F2.AB

= 0,4m

R



2. Ngẫu lực

1.Định nghĩa

Trường hợp đặc biệt của hai lực song song ngược chiều là có trị số bằng

nhau. Trong truờng hợp này hệ khơng có hợp lực, vì R = F 1 - F2 = 0 (h.2-12a).

Nhưng hệ cũng không cân bằng.

Trong thực tế, hệ như vậy sẽ gây cho vật quay và được gọi là ngẫu lực.

Vậy: Ngẫu lực là hệ hai lực song song ngược chiều, có trị số bằng nhau

nhưng không cùng đường tác dụng.

















Ngẫu lực gồm hai lực F1 , F2 được ký hiệu ( F1 , F2 ), khoảng cách giữa hai

đường tác dụng gọi là cánh tay đòn, ký hiệu d.

Ta có thể trượt các lực để cho đoạn nối hai điểm đặt đúng là cánh tay đòn và

từ đây ta qui ước vẽ ngẫu lực như vậy (h.2-12b).

Ngẫu lực đươc xác định bởi ba yếu tố:

-



Mặt phẳng tác dụng: là mặt phẳng chứa các lực của ngẫu lực;



− Chiều quay của ngẫu lực: là chiều quay của vật do ngẫu lực gây nên (đi vòng



quanh ngẫu lực theo chiều của lực), ký hiệu bằng mũi tên vòng.Chiều quay là

dương khi vật quay ngược chiều kim đồng hồ và âm khi thuận chiều kim đồng hồ

(h.2-12c).

− Trị số mơmen của ngẫu lực:



m = F.d



(2-12)



trong đó: F - trị số của lực còn d - cánh tay đòn

Đơn vị của mơmen là Niutơn-mét (Nm)

2. Biểu diễn một ngẫu lực

a)



F2



B



c)



d



F1



F



+



A

B'



d



F2



F



b)

d



F1

A



Hình 2-12



16



− Tác dụng của một ngẫu lực không thay đổi khi ta dời ngẫu lực trong mặt phẳng



tác dụng của nó.

− Có thể biến đổi lực và cánh tay đòn của ngẫu lực, miễn là bảo đảm trị số



mơmen và chiều quay của nó.

Đặc biệt khi cho nhiều ngẫu lực, ta có thể biến đổi để cho chúng có cùng

chung cánh tay đòn. Từ các tính chất trên có thể rút ra:

Tác dụng của ngẫu lực trên một mặt phẳng hoàn toàn được đặc trưng bằng

chiều quay và trị số mơmen của nó. Do đó, có thể biểu diễn ngẫu lực bằng chiều

quay và trị số mômen của nó (h.2-13).

2.3. Hệ ngẫu lực phẳng và điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phẳng

Người ta chứng minh được rằng: “Hợp các ngẫu lực phẳng được một ngẫu

lực – gọi là ngẫu lực tổng hợp - cùng nằm trong mặt phẳng đó, có mơmen bằng

tổng mơmen của các ngẫu lực thuộc hệ”.

Nếu hệ có n ngẫu lực thành phần, thì:

M = m1 + m2 +…+ mn = Σ m



(2-



13)

Ví dụ



F



d

Hệ ngẫu lực phẳng gồm

m=Fxd

các ngẫu lực có momen: m1 =

F

m

m

100Nm,

3 =

2 = -80Nm,

250Nm và m 4 = -200Nm. Xác

Hình 2-13

định momen của ngẫu lực tổng

hợp. Nếu ngẫu lực tổng hợp có cánh tay đòn là 2m thì trị số của lực phải là bao

nhiêu?



Bài giải

Ngẫu lực tổng hợp có trị số momen là:

M



=



m1 + m2 + m3 + m4



= 100 – 80 + 250 – 200 = 70Nm

Nếu ngẫu lực tổng hợp có cánh tay đòn là 2m thì:

Từ cơng thức M = F.d

⇒ F = M:d = 70:2 = 35N

Điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phẳng

Muốn hệ ngẫu lực cân bằng thì ngẫu lực tổng hợp của nó phải cân bằng,

nghĩa là M = 0. Mà M = Σ m , nên điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phải là:

17



Σm = 0



(2-



14)

Vậy: Điều kiện để hệ ngẫu lực phẳng cân bằng là tổng mômen của các ngẫu

lực thuộc hệ phải bằng không.

Điều kiện cân bằng này dùng để giải các bài toán vật rắn cân bằng dưới tác

dụng của hệ ngẫu lực phẳng.

Ví dụ 2-7

Dầm chịu tác dụng của các ngẫu lực có trị số momen m 1 = 20kNm, m2 =

15kNm, m3 =10kNm. Hãy xác định phản lực ở các gối A và B của dầm.

Bài giải

Trên dầm chỉ có các ngẫu lực tác dụng,nên để cân bằng phản lực ở hai gối

cũng phải lập thành một ngẫu lực. Phản lực N B vng góc với mặt tựa và có chiều





giả định đi lên, tương ứng phản lực R A phải song song với N B và có chiều giả

định đi xuống.

Theo điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực, ta có:

Σm =



RAl – m1 + m2 – m3 = 0



⇒ RA = (m1 - m2 + m3):l

= (20 – 15 + 10):4 = 3,75kNm.

R có dấu (+), như vậy chiều giả định của



A



R A là đúng với chiều thực, tương ứng N B =



RA

m1



NB



m2



3,75kNm và chiều trên hình vẽ là đúng với A

chiều thực.



m3



B

l=4m



CÂU HỎI



Hình ví dụ 2-7



1.



Trình bày cách tìm hình chiếu của một

lực trên hệ trục tọa độ vng góc.



2.



Trình bày cách tìm hợp lực của hệ lực phẳng đồng qui theo phương pháp

giải tích.



3.



Viết cơng thức tính hình chiếu hợp lực của hệ phẳng đồng qui.



4.



Phát biểu điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng qui theo phương pháp

giải tích.



5.



Phương, chiều, trị số và điểm đặc của hợp lực hai lực song song cùng chiều

được xác định như thế nào?



6.



Ngẫu lực là gì? Vì sao nói ngẫu lực khơng tương đương với một lực?



7.



Nêu tính chất của ngẫu lực, từ đó suy ra cách biểu diễn nó trên hình vẽ.

18



P2



2m

F1



F3



B



A



D



E



O



P1

o

120



A



2m



C

10m



B



P



F2



Hình bài số 1, 2 và 3



BÀI TẬP

A



B



4m



6m



Hình bài 4

 

1. Cho hai lực đồng qui tại O là ( F1 , F2 ) với F1 = F2. Cần phải đặt vào điểm O một



  

lực F3 như thế nào để hệ lực ( F1 , F2 , F3 ) cân bằng.



 

Trả lời: F3 nằm trên đường phân giác của góc ( F1 , F2 ) về bên trái và F1 = F2 =



F3 .

2. Thanh đồng chất AB trọng lượng P 1 = 200N được treo bằng các dây song song



AE và BD. Vật nặng có khối lượng Q = 80kg được treo vào điểm C của thanh

AB. Xác định lực kéo của vật lên 2 dây, biết AC = 30cm, BC = 50cm.

ĐS: TA = 60N;

TB = 400n

 

3. Dầm có hai gối đỡ A và B chịu tác dụng bởi ngẫu lực ( P1 , P2 ) có mơmen



3.105Nm. Xác định phản lực tại các gối đỡ của dầm.

ĐS: NA = NB =50N

4. Otô tải trọng 50kN độ trên cầu, cách đầu cầu này 4m và đầu cầu kia 6m. Xác



định những lực tác dụng và hai mố cầu A và B.

ĐS: PA = 30kN; PB = 20N



19



3. Momen của một lực đối với một điểm.

3.1.Định nghĩa







Giả sử vật rắn chịu tác dụng củamột lực F , vật có thể quay quanh điểm O cố

định (h.3-1). Tác dụng quay mà lực F đã gây cho vật không những phụ thuộc vào

trị số của lực mà còn vào khoảng cách từ điểm O đến đường tác dụng của lực. Còn

chiều quay mà lực gây ra cho vật có thể là ngược hoặc thuận chiều kim đồng hồ.

Đại lượng đặc trưng cho tác dụng mà lực gây ra cho vật quay quanh điểm O được

gọi là mômen của lực đối với một điểm và ta có định nghĩa:









Momen của lực F đối với một tâm O, ký hiệu là mo (F) , là tích số giữa

cường độ của lực với cánh tay đòn của lực đối với điểm đó.



mo (F) = ± Fd



B



(3-1)



F







d



trong đó: F là cường độ hay còn gọi là trị số của lực F

và d là cánh tay đòn là khoảng cách từ tâm quay tơi

đường tác dụng của lực.



A



O







Lấy dấu + (hoặc -) tùy theo chiều quay của lực F

quanh tâm O là ngược chiều (hay thuận chiều kim

đồng hồ). Đơn vị của mơmen là Nm.



Hình 3-1



Trị số mơmen bằng hai lần diện tích tam giác do lực và điểm O tạo thành:



mo (F) = 2S∆OAB



(3-2)



Chú ý:









Khi đường tác dụng của lực F đi qua tâm O thì mo (F) bằng khơng, vì d = 0.

I F1



Ví dụ





Xác định momen của các lực F1 vaøF2 đối với A



các điểm A và B. Biết F1 =10kN, F2 = 12kN, α

=30°, AC = CD = DB = 2m.



F2



α



C



D



B

K



Hình ví dụ 3-1



Bài giải



mA (F1) = -F1 . AI = -F1 . AC . sinα



=-10.2.sin 30° = -10(kNm).



mA (F2) =F2.AD = -12.4 = - 48(kNm)



mB (F1) = F1.BK = F1.CBsinα = 10.4 .1/2 =20(kNm)



mB (F2) =F2.BD =12.2 = 24(kNm).

20



Chương 4: Hệ lực phẳng bất kỳ

1. Định nghĩa.

2. Định lý dời lực song song.

- Định lý VARINHƠNG

Mơmen của hợp lực của một hệ lực phẳng đối với điểm O bất kỳ nằm trên

mặt phẳng bằng tổng mơmen của các lực thành phần đối với điểm đó (không

chứng minh định lý)

21







mo (R) = Σmo (F)



(3-3)



Định lý Varinhông được dùng để xác định đường tác dụng hợp lực của hệ

lực phẳng song song, lấy mômen của một lực đối với một điểm bằng cách phân

lực đó làm hai thành phần…

2. Thu gọn hệ lực phẳng bất kỳ về 1 tâm.

Đòn là vật rắn có thể quay quanh một trục cố định, chịu tác dụng của các lực

nằm trong một mặt phẳng và vng góc với trục đó. Giao điểm O của trục với mặt

phẳng của lực gọi là điểm tựa của đòn. Sơ đồ tời đơn giản trên hình 3-2 là một ví

dụ về đòn.

Vì đòn có thể quay quanh điểm tựa, nên nó chỉ cân

bằng khi hợp lực của các lực tác dụng lên nó đi qua điểm

tựa, tức:

mà



F



r





mo (R) = 0





mo (R) = Σmo (F) .



Vì vậy, đòn cân bằng khi:



O





Σmo (F) = 0



Vậy: Điều kiện cần và đủ để một đòn được cân bằng

là tổng đại số mơmen của các lực tác dụng lên đòn đối với

điểm tựa bằng khơng.



P



Hình 3-2



Ví dụ

Để nâng vật nặng P thì phải đặt vào tay quay của tời (hình 3-2) một lực F

bằng bao nhiêu? Biết trống của tời có bán kính r = 0,15m, tay đòn l = 0,5m, P =

1000N, bỏ qua ma sát tại gối đỡ.

Bài giải

Xét sự cân bằng của tời, theo điều kiện cân bằng của đòn , ta có:







Σmo (F) = 0 ⇔ mo (P) + mo (F) = P.r − F.l = 0

P.r



Giải ra, ta được: F = l =



1000

.0,15

= 300N

0,5



4. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ



Hệ lực phẳng bất kỳ là hệ lực mà các đường tác dụng của các lực nằm bất kỳ

trong cùng một mặt phẳng (h.3-3).

Thực tế chứng tỏ rằng dưới tác dụng của một hệ

lực phẳng, vật rắn vừa tịnh tiến vừa quay.



Như thế, nếu hệ lực phẳng có hợp lực là R bằng 0



thì điều kiện đó vẫn chưa đủ để cho vật rắn cân bằng:

Vì điều kiện này chỉ mới chứng tỏ vật khơng tịnh tiến,

nhưng vật có thể quay. Đặc trưng cho khả năng quay là

22



F2



F1



Fn



Hình 3-3



F3















mơmen của các lực đối với một điểm O bất kỳ trên vật: mO (F1) , mO (F2) ,..., mO (Fn )

.

Cho nên muốn cho hệ lực phẳng được cân bằng thì ngồi điều kiện R = 0,

phải có thêm điều kiện:



mO (Fn ) = 0







M O = mO (F1) + mO (F2 ) +…+



NA



q



A





Nếu gọi R' là vectơ chính và M o là mơmen



R

2m



chính. Ta có điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng

là:



NB

C



B

2m



Hình ví dụ

3-4





R'= 0 



M o = 0



(3-5)

“Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng cân bằng là vectơ chính và

mơmen chính đều bằng khơng”.





Vì vectơ chính R' có hình chiếu trên các trục x, y là:

R 'x = ∑X

R'y = ∑Y









= mO (F1) + mO (F2) +…+ mO (Fn ) = ∑ mO (Fn ) nên có thể



và mơmen chính M O

biểu diễn điều kiện dưới dạng phương trình sau đây:



ΣX = 0



ΣY = 0







Σmo (F) = 0



(3-6)



Vậy: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kỳ cân bằng là tổng hình chiếu

của các lực lên hai trục tọa độ vng góc và tổng mơmen của các lực đối với một

điểm bất kỳ nằm trong mặt phẳng các lực đều phải bằng khơng.

Phương trình cân bằng này dùng để giải các bài toán vật rắn cân bằng dưới

tác dụng của hệ lực phẳng bất kỳ

Ví dụ 3-3

Xác định phản lực ngàm tại A của dầm AB. Biết F =

10kN, m = 6kNm, q = 8kN/m, α = 45°.



y

F2

Fn



Bài giải

Thay lực phân bố đều trên đoạn EB bằng lực

tập trung Q = qa =8.12 = 16kN đặt ở giữa đoạn

EB.

Dầm AB cân bằng dưới tác dụng của hệ lực,

ta có:

23



F1

O



x



Hình 3-4



(XA, YA, mA, m, F, Q) ~ 0. Đây là hệ lực phẳng bất

kỳ, viết phương trình cân bằng, ta có:

ΣX = XA + 0 - Fcosα = 0



(1)



ΣY = 0 + YA - Fsinα - Q = 0



(2)





ΣmA (Fk ) = mA – m – F.AI – Q.3 = 0



(3)



Thay bằng số và giải, ta có

XA = 7,07kN; YA ≈



23,07kN; mA ≈ 61,07kNm.



5. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng song song.

Hệ lực phẳng song song là trường hợp đặc biệt của hệ lực phẳng, nên từ điều

kiện cân bằng của hệ hệ lực phẳng bất kỳ

q

F

ta suy ra điều kiện cân bằng của hệ lực a)

m

α

phẳng song song.

A

B

Chọn hệ trục Oxy có Ox vng góc

với đường tác dụng của các lực (h.3-4) Khi

đó ΣX = 0, nên từ điều kiện cân bằng của

hệ lực phẳng bất kỳ ta suy ra điều kiện cân

bằng của hệ lực phẳng song song là:



1m

b)



YA

mA



XA



C



m



1m



E



2m



F



α



C



Q

D



B



I



ΣY = 0







Σmo (F) = 0



Hình ví dụ 3-3



(3-7)

Ví dụ 3-4

Xác định phản lực ở hai gối A và B cho dầm

Bài giải

Lực phân bố đều q có hợp lực: R =AC.q

= 2.4 =8kN đặt tại điểm giữa đoạn AC,





có phương thẳng đứng. Phản lực N A , N B có phương song song với R . Như vậy,

  

dầm được cân bằng dưới tác dụng của hệ lực ( N A , N B , R ) và ta có phương trình:

ΣY = − R + N A + N B = 0



ΣmA (F) = −R.1+ N B .4 = 0



(1)

(2)



Từ phương trình (2), ta có: NB = 2kN và từ (1), ta có: NA = 6kN.



24