CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN

Giáo trình cơ lý thuyết



I.CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN CỦA VẬT RẮN

1.Định nghĩa

Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động mà trong đó mọi đoạn

thẳng của vật đều song song với vị trí ban đầu của nó.

Có chuyển động tịnh tiến thẳng, như xe chạy trên đường nằm ngang, đầu

máy bào… và chuyển động tịnh tiến cong như thanh truyền AB (h.6-1) của máy

tàu hỏa (khi các tay quay O1A và O2B quay, thanh truyền AB luôn song song với

vị trí ban đầu A1B1 của nó).

2.Tính chất



A



Trong chuyển động tịnh tiến thẳng của

pittông ở trong xylanh (h.6-2), đoạn AB có vị trí

mới A1B1. Theo định nghĩa, AB song song A 1B1,

mặt khác nếu coi pittông là vật rắn tuyệt đối thì

AB = A1B1. Các điểm A, B vạch ra các quĩ đạo

thẳng AA1 và BB1. Ta thấy AA1 song song và

bằng BB1, tức là quĩ đạo của các điểm bất kỳ A

và B trên vật đều như nhau.



B



O1



O2

A1



B1



Hình 6-1



Mặt khác, trong khoảng thời gian bằng nhau các điểm A, B đi được các

đoạn đường bằng nhau (AA1 = BB1), tức là cùng một thời điểm, hai điểm này có

vận tốc bằng nhau.

Từ đó, ta có các tính chất của chuyển động tịnh

tiến là:



A1



A



− Các điểm trên vật chuyển động động tịnh tiến vạch



nên những quỹ đạo đồng nhất.

− Ở mỗi thời điểm các điểm có cùng một vận tốc và



gia tốc, tức là:









v A = v B =… và a A = a B = …



B



B1



Hình 6-2



Vì vậy, việc khảo sát chuyển động tịnh tiến của vật rắn được thay bằng

khảo sát chuyển động của một điểm bất kỳ thuộc vật.

Kết luận này cho phép ta dùng các công thúc về chuyển động của điểm đối

với vật chuyển động tịnh tiến.



16



Giáo trình cơ lý thuyết



z



II.CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH

MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH

1.Định nghĩa



A



Po

Mo



Vật quay quanh một trục cố định khi trong q trình

chuyển động vật có hai điểm cố định.

Trục đi qua hai điểm cố định ấy gọi là trục quay,

những điểm không nằm trên trục quay vạch nên những

đường tròn vng góc với trục quay và có tâm ở trên

trục quay.



+



ϕ



I



M



B



P



Hình 6-3



Các chuyển động quay thường gặp như trục của máy, vơ-lăng, puli, bánh

răng…

2.Góc quay

Giả sử vật rắn quay quanh trục cố định z (h.6-3). Vẽ mặt phẳng Po cố

định, mặt phẳng P quay cùng vật.

Lúc đầu cho P ≡ Po. Ở thời điểm t, P hợp với Po góc ϕ gọi là góc quay. Trị

số của ϕ phụ thuộc thời điểm t, tức là ϕ là hàm của t:

ϕ = f(t)



(6-1)



Đây là phương trình chuyển động của vật quay.

Chú ý:

Góc quay ϕ gọi là góc định vị của vật, ϕ có thể có dấu + hoặc – tùy thuộc

vào chiều quay đã chọn, chính xác phải ký hiệu ϕ , để đơn giản ta ký hiệu ϕ

nhưng chú ý rằng ϕ là góc đại số.

Đơn vị của góc quay ϕ là radian (rad).

Trong kỹ thuật còn dùng một đơn vị khác là vòng (một vòng = 2πrad).

Khi vật quay n vòng thì góc quay tương ứng là:

ϕ = 2πn



(6-2)



3.Vận tốc góc của vật quay



17



Giáo trình cơ lý thuyết



Vận tốc góc là góc quay của vật trong một đơn vị thời gian, đây là đại

lượng đặc trưng cho sự nhanh hay chậm của vật quay, ký hiệu ω.

Giả sử ở thời điểm t và t + ∆t, vật quay được một góc ϕ và ϕ + ∆ϕ.

Như vậy, trong thời gian ∆t vật quay được góc ∆ϕ, tỉ số được gọi là vận tốc

góc trung bình, ký hiệu ϕtb.

ωtb =



∆ϕ

∆t



Khi thời điểm t + ∆t rất gần t, tức là ∆t ≈ 0, vận tốc góc trung bình tiến tới

vận tốc tức thời, ký hiệu ω.

Đơn vị của vận tốc góc là rad/giây (rad/s = s -1) hoặc số vòng trong một

phút. Ký hiệu n vg/ph.

Ta có: 1vòng = 2πrad và 1phút = 60s, vậy với n vòng quay trong một phút

thì

ω =



2πn πn

=

rad/s

60s 30



(6-3)



ω > 0: vật quay theo chiều (+) và ω < 0: vật quay theo chiều (-)

4.Gia tốc góc của vật

Đại lượng đặc trưng cho độ biến thiên của vận tốc trong chuyển động quay

gọi là gia tốc góc, ký hiệu ε.

Tương tự như với vận tốc, ta có:

εtb =



∆ω

∆t



Khi ∆t ≈ 0 thì εtb tiến tới gia tốc tức thời, ký hiệu ε.

ε=



ω − ωo

t



(6-4)



Đơn vị của gia tốc góc ε là rad/giây2 (rad/s2 = s-2).

5.Vật quay đều (ω =const)

ω =

suy ra



ϕ

t



ϕ = ωt



(6-5)



Đây là phương trình vật quay đều.

6.Vật quay biến đổi đều (ε = const).



18



Giáo trình cơ lý thuyết



Giả sử tại thời điểm ban đầu và thời điểm t vật có vận tốc góc lần lượt là ωo

và ω, ta có:

ωtb =

suy ra



ωo + ω

ϕ

hay ωtb =

2

t



ϕ

ω +ω

= o

t

2



Mặt khác từ mục 4 ở trên, ta có thể viết:

ω = ωo + εt.

cho nên

hay



ϕ

ω + (ωo + ωt)

= o

t

2

2

ϕ = ωot + εt .



2



Ta có phương trình chuyển động quay biến đổi đều là:

ω = ω ± εt 



εt2 

ϕ = ωt ±



2



(6-6)



Lấy dấu (+) khi vật quay nhanh dần đều và lấy dấu (-) trong trường hợp

ngược lại.

Ví dụ 6-1

Một trục máy trong giai đoạn mở máy chuyển động nhanh dần đều, sau 5

phút đạt được vận tốc góc n = 120 vòng/phút. Tính gia tốc góc của trục và số

vòng trục quay được trong thời gian đó.

Bài giải

Ap dụng công thức của chuyển động quay biến đổi:

ω = ωo ± εt



(1)



εt2

ϕ = ωot ±

2



(2)



Với ωo = 0, vì ban đầu máy ở trạng thái đứng yên

Lúc t = 5phút = 300s thì ω =

Từ (1), ta có: ε =



πn π.120

=

= 4πrad/ s

30

30



ω 4π

π

=

= rad/ s

t 300 75



Từ (2), ta có: ϕ =



εt2 π.3002

=

= 600πrad/ s

2

75.2



Một vòng quay tương ứng với góc 2πrad, nên khi trục quay được góc

600πrad sẽ đạt được:

19



Giáo trình cơ lý thuyết



n=



ϕ 600π

=

= 300vòng

2π

2π



III.KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM TRÊN VẬT RẮN QUAY

QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH (TÌM QUỸ ĐẠO, VẬN TỐC, GIA TỐC)

1.Quĩ đạo

Khi vật quay, mỗi điểm trên vật vạch nên một quỹ đạo tròn vng góc với

trục quay; tâm nằm trên trục quay; bán kính là khoảng cách từ điểm đến trục

quay (h.6-4).

Do vậy ngồi đặc điểm chung

về vận tốc góc, gia tốc góc của vật,

mỗi điểm trên vật còn có đặc trưng

của chuyển động tròn là vận tốc và

gia tốc (dài).



R



M



∆s



2.Vận tốc



∆ϕ

M1



Giả sử trong khoảng thời gian

∆t, điểm dịch chuyển được cung tròn

∆s tương ứng với góc quay ∆ϕ.

Ta có



z



M

O

VM



N

VN



O



ω



Hình 6-4 và 6-5



∆s = R.∆ϕ.



Chia hai vế cho ∆t, ta có:

∆s

∆ϕ

=R

∆t

∆t



Khi ∆t tiến gần đến 0 thì



∆s

∆ϕ

tiến gần đến v và

tiến đến vận tốc góc tức

∆t

∆t



thời ω, do đó đẳng thức trên trở thành:

v = Rω



(6-7)



Tức là: “Vận tốc của điểm nằm trên vật quay bằng tích giữa bán kính quay

với vận tốc góc của vật quay”.

Nói khác đi: vận tốc của điểm trên vật quay tỉ lệ với bán kính quay (khoảng

cách từ điểm đó đến vật quay).

Căn cứ vào đó ta vẽ được biểu đồ phân bố vận tốc (theo quy tắc tam giác

vuông đồng dạng). Giả sử M, N là hai điểm bất kỳ trên vật (h.6-5), ta có:

VM = ωRM.

VN = ωRN.

vM R M

=

vN R N

20



Giáo trình cơ lý thuyết



Từ công thức ω =

v=



πn

, vận tốc của điểm còn có thể tính theo cơng thức:

30

πn

.R

30



(6-8)



3.Gia tốc

Điểm M ở trên vật quay có chuyển động tròn nên gia tốc của nó có 2 thành





phần là gia tốc tiếp tuyến a τ và gia tốc pháp tuyến a η . Về trị số:

− Gia tốc tiếp tuyến:

a)



b)

aτ



M



an



aτ



O

M



ω



a



v



a

an



O



ω



v



Hình 6-6



aτ =



∆v

∆ω

=R

∆t

∆t



Khi ∆t tiến gần đến trị số 0, thì



∆ω

tiến tới gia tốc góc tức thời ε, do đó:

∆t



aτ = R.ε.



(6-9)



− Gia tốc pháp tuyến:



an =



v2 (Rω)2

=

= R.ω2

R

R



(6-10)



− Gia tốc toàn phần (h.6-6):

  

a = aτ + an ,

Ta có



Về trị số:



a = a2τ + a2n = (Rε)2 + (Rω2)2 .



Hay là



a = R ε 2 + ω4



(6-11)



Chú ý:









Hướng aτ trùng với hướng v (h.6-6a) đối với điểm trên vật quay nhanh



dần và ngược với hướng v (h.6-6b) đối với điểm trên vật quay chậm dần.



21



Giáo trình cơ lý thuyết



Ví dụ 6-2

Vơ lăng có bán kính R = 0,75m đang quay với vận tốc của điểm M trên

vành ngoài là 1,5m/s. Hãy tính vận tốc góc của vơlăng tại thời điểm đó.

Bài giải

Ap dụng cơng thức v = Rω, ta suy ra: ω =

Mặt khác: ω =



v 1,5

=

= 2rad/ s

R 0,75



30ω 30.2

πn

, nên n = π = 3,14 = 19,1vg/ ph

30



Ví dụ 6-3

Puli có bán kính R = 0,2m quay nhanh dần đều từ trạng thái nghỉ, sau t =

10s điểm nằm trên vành ngồi có vận tốc v = 2m/s.

Hãy tính vận tốc, gia tốc pháp tuyến, gia tốc tiếp tuyến của điểm trên vành

puli tại thời điểm t = 15s.

Bài giải

Tại thời điểm t = 1s, ta có:

ω1 =

ε=



v1

2

=

= 10rad/ s

R 0,2



ω 10

=

= 1rad/ s2

t 10



Tại thời điểm t2 = 15s, ta coù:

ω2 = εt2 = 1.15= 15rad/ s

v2 = ω2R = 0,2.15= 3m/ s

aη = Rω22 = 0,2.152 = 45m/ s2

aτ = Rε = 0,2.1 = 0,2m/ s2



IV.CHUYEÅN ĐỘNG TỔNG HP CỦA ĐIỂM

1.Các đònh nghóa

Chúng ta đã nghiên cứu chuyển động của điểm

đối với một hệ qui chiếu được coi là cố đònh. Trong

thực tế, hệ qui chiếu đó lại chuyển động đối với hệ

qui chiếu khác. Ví dụ, một người đi trên toa tàu đang

chuyển động, rõ ràng người đó cùng một lúc tham

gia 2 chuyển động: Chuyển động đối với toa tàu và

cùng toa tàu chuyển động đối với mặt đất.

Từ đó, ta có các các đònh nghóa sau:

22



Giáo trình cơ lý thuyết



− Chuyển động của điểm đối với hệ qui chiếu động



gọi là chuyển động tương đối với vận tốc tương đối v r .

− Chuyển động của hệ qui chiếu động đối với hệ qui



chiếu cố đònh (coi điểm gắn chặt với hệ động) gọi là



chuyển động theo với vận tốc theo v e .

− Chuyển động của điểm đối với



Vr



hệ qui chiếu cố đònh gọi là chuyển

động tuyệt đối (còn gọi là chuyển

động tổng hợp) với vận tốc tuyệt



đối v a .



α



Va



α2

α1

Ve



Nói cách khác, chuyển động

tuyệt đối của điểm là tổng hợp

Hình 6-7

của hai chuyển động: chuyển động

tương đối đối với hệ động và chuyển động theo.



Ở ví dụ trên, vai trò của người là điểm, toa tàu là

hệ qui chiếu động, mặt đất là hệ qui chiếu cố đònh.

Chuyển động của người đối với toa tàu là chuyển

động tương đối, chuyển động của toa tàu (coi người

gắn chặt với toa tàu) là chuyển động theo, chuyển

động của người đối với mặt đất là chuyển động

tuyệt đối.

Một ví dụ khác về chuyển động tổng hợp: chuyển

động của con trượt trong cơ cấu culít của máy bào.

2.Đònh lý hợp vận tốc

Vận tốc tuyệt đối của điểm bằng tổng hình học

của vận tốc tương đối và vận tốc theo.







va = vr + ve



(6-12)









Nếu gọi α là góc hợp bởi v e với v r (h.6-7), thì trò số

của vận tốc tuyệt đối là:

va = v e2 + v 2r + 2v e v r cos α

(6-13)

Phương chiều, xác đònh bằng:

va

vr

ve

=

=

sinα sinα1 sinα 2



(6-



14)

Ví dụ 6-4



23



Giáo trình cơ lý thuyết



Cơ cấu tay quay – thanh trượt trong búa máy có thanh

trượt chuyển động lên xuống nhờ con trượt A (trượt

trong rãnh x-x) nối với tay quay

M

Vo

OA = r = 30cm quay quanh O với

vận tốc n = 150vòng/phút. Khi t

VM

= 0, thanh trượt ở vò trí thấp

VoM

O

nhất. Tìm vận tốc thanh trượt

(búa) và vận tốc con chạy A

Vo

đối với thanh trượt.

Bài giải



Hình 6-8



Con chạy A thực hiện chuyển

động tổng hợp. Thanh trượt là hệ quy chiếu động, nên

chuyển động của con chạy A trượt trong rãnh x-x của

thanh trượt là chuyển động tương đối với vận tốc tương



đối vr .

Chuyển động của con chạy A cùng với tay quay OA

vạch nên quỹ đạo là đường tròn bán kính OA quanh

điểm O cố đònh là chuyển động tương đối với vận tốc



tuyệt đối va .

Chuyển dộng tònh tiến lên xuống của thanh trượt



là chuyển động theo vận tốc theo ve

.

O

ω

Ta có va = Rω = R

Mà ϕ = ωt =



πn

π.150

= 0,3

= 1,5πm/ s

30

30



πn

π.150

t=

t = 5πtrad

30

30



ϕ

x



Ve



Va



A

x



Ve = 1,5πsònπtm/s

Vr = vacosϕ = 1,5π.cos5πtm/s

Hình ví dụ 6-4



V.KHÁI NIỆM VỀ CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG

CỦA VẬT RẮN

Ta thường gặp một trường hợp của chuyển động

tổng hợp, đó là chuyển động có chuyển động theo là

24



Vr



Giáo trình cơ lý thuyết



chuyển động tònh tiến còn chuyển động tương đối là

chuyển đông quay. Loại chuyển động như vậy được gọi

là chuyển động song phẳng.

Khảo sát chuyển động của bánh xe lửa lăn không

trượt trên đường ray thẳng. Các điểm trên bánh xe

đều quay quanh tâm di động O (hệ qui chiếu động) là



chuyển động tương đối có vận tốc là voM (h.6-8). Mặt

khác, bánh xe lại chuyển động tònh tiến với vận tốc



v o so với đường ray, đó là chuyển động theo.

Như vậy, chuyển động của những điểm bất kỳ

trên bánh xe là tổng hợp của hai chuyển động: cùng

tònh tiến với tâm O của bánh xe theo đường ray và

quay đồng thời quanh tâm O của bánh xe. Theo đònh lý

hợp vận tốc, ta có:



 

vM = vo + voM



(6-15)



Từ đó, ta có thể kết luận: chuyển động của

bánh xe lửa lăn khôing trượt trên đường ray là chuyển

động song phẳng.

Từ phân tích ở trên, ta thấy: “Chuyển động song

phẳng thực chất là chuyển động tònh tiến và quay

đồng thời quanh những tâm di động nào đó được gọi

là cực quay”.

Người ta chứng minh được rằng chuyển động quay

không phụ thuộc vào cách chọn cực và bài toán

chuyển động song phẳng hoàn toàn có thể giải như

bài toán chuyển động tổng hợp bằng phép tònh tiến

và quay đồng thời.

Ví dụ 6-5

Bánh xe có bán kính R = 0,5m

lăn không trượt trên đường thẳng.

Vận tốc tâm bánh xe O là v o =

10m/s. Xác đònh vận tốc tuyệt đối

của các điểm M1, M2, M3 và M4 tại

các vò trí cho trên hình vẽ.

Bài giải



VM3



M3

VM2

M2



O Vo



ω



M4

VM4



M1



Vì chuyển động quay không phụ

Hìnnh ví dụ 6-5

thuộc cách chọn cực nên ta chọn M 1

làm cực quay và áp dụng công thức hợp vận tốc cho

các điểm O, M2, M3 vaø M4.

 



vo = vM 1 + vM 1O



25



Giáo trình cơ lý thuyết









vM 2 = vM1 + vM1M 2







vM 3 = vM1 + vM1M 3







vM 4 = vM1 + vM1M 4



Vì bánh xe lăn không trượt trên đường, nên V M1 = 0,

do đó chỉ còn thành phần vận tốc quay quanh cực M 1,

tức vuông góc bán kính quay.

Suy ra: Vo = vM O = Rω

1



ω=

và



vo 10

=

= 20rad/ s

R 0,5



vM 2 = vM1M 2 = M 1M 2.ω = 0,5 2.20= 14,14m/ s

vM 3 = vM1M 3 = M 1M 3.ω = 1.20 = 20m/s

vM 4 = vM1M 4 = M 1M 4.ω = 0,5 2.20= 14.14m/ s



CÂU HỎI

1.



Đònh nghóa, nêu tính chất và rút ra kết luận về

chuyển động tònh tiến.



2.



Đònh nghóa chuyển động quay, cho ví dụ. Những

điểm nào của vật quay đứng yên, còn các điểm

khác có q đạo như thế nào?



3.



Viết công thúc tính vận tốc góc và phương trình

chuyển động của vật quay biến đổi đều. Giải thích.



4.



Viết công thức tính vận tốc, gia tốc của điểm

thuộc vật rắn quay quanh trục cố đònh. Giải thích.



5.



Đònh nghóa chuyển động tổng hợp của điểm, cho ví

dụ minh họa.



6.



Đònh nghóa chuyển động song phẳng, cho ví dụ minh

họa.

BÀI TẬP



1. Trục máy ở trạng thái nghỉ bắt đầu quay nhanh dần



đều, sau 5 phút quay được 12,5 vòng. Hỏi vận tốc

góc, gia tốc góc của trục sau 5 phút đó.

π

6



ĐS:ω= rad/ s;



n=5vg/ph;



π

rad/ s

1800

26



ε=