Vì vectơ chính có hình chiếu trên các trục x, y là:

(XA, YA, mA, m, F, Q) ~ 0. Đây là hệ lực phẳng bất

kỳ, viết phương trình cân bằng, ta có:

ΣX = XA + 0 - Fcosα = 0



(1)



ΣY = 0 + YA - Fsinα - Q = 0



(2)





ΣmA (Fk ) = mA – m – F.AI – Q.3 = 0



(3)



Thay bằng số và giải, ta có

XA = 7,07kN; YA ≈



23,07kN; mA ≈ 61,07kNm.



5. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng song song.

Hệ lực phẳng song song là trường hợp đặc biệt của hệ lực phẳng, nên từ điều

kiện cân bằng của hệ hệ lực phẳng bất kỳ

q

F

ta suy ra điều kiện cân bằng của hệ lực a)

m

α

phẳng song song.

A

B

Chọn hệ trục Oxy có Ox vng góc

với đường tác dụng của các lực (h.3-4) Khi

đó ΣX = 0, nên từ điều kiện cân bằng của

hệ lực phẳng bất kỳ ta suy ra điều kiện cân

bằng của hệ lực phẳng song song là:



1m

b)



YA

mA



XA



C



m



1m



E



2m



F



α



C



Q

D



B



I



ΣY = 0







Σmo (F) = 0



Hình ví dụ 3-3



(3-7)

Ví dụ 3-4

Xác định phản lực ở hai gối A và B cho dầm

Bài giải

Lực phân bố đều q có hợp lực: R =AC.q

= 2.4 =8kN đặt tại điểm giữa đoạn AC,





có phương thẳng đứng. Phản lực N A , N B có phương song song với R . Như vậy,

  

dầm được cân bằng dưới tác dụng của hệ lực ( N A , N B , R ) và ta có phương trình:

ΣY = − R + N A + N B = 0



ΣmA (F) = −R.1+ N B .4 = 0



(1)

(2)



Từ phương trình (2), ta có: NB = 2kN và từ (1), ta có: NA = 6kN.



24



y



R

x



N

F



Fms



α



Hình 3-5



Chương 5: MA SÁT

Có hai dạng ma sát thường gặp: ma sát trượt và ma sát lăn.

1.Ma sát trượt (h.3-5)

1.1-Định nghĩa





Lực ma sát trượt là lực cản lại khuynh hướng trượt của vật, ký hiệu là F ms.

Ma sát trượt thường gặp ở phanh hảm, ổ trượt, ổ lăn…Nguyên nhân chính

của ma sát trượt là do mặt tiếp xúc không tuyệt đối nhẵn.

1.2- Định luật ma sát trượt

- Từ thực nghiệm (thí nghiệm Culơng nghiên cứu ở Vật lý), người ta rút ra được

các định luật về ma sát trượt sau đây:

25



− Lực ma sát trượt tiếp tuyến với mặt tiếp xúc (cùng phương), ngược chiều với



khuynh hướng trượt của vật và có trị số nằm trong giới hạn từ 0 đến Fmax

0 ≤ Fms ≤ Fmax

Fms



trong đó: Fmax là lực ma sát trượt lớn nhất.



Khi vật khơng có khuynh hướng trượt thì F ms = 0 còn khi vật chớm trượt thì:

= Fmax.



− Lực ma sát trượt lớn nhất tỉ lệ với phản lực pháp tuyến N:



Fmax = fN

ma sát trượt.



trong đó: N là trị số phản lực pháp tuyến, f là hệ số



− Hệ số ma sát trượt (f ) phụ thuộc vào bản chất các vật (đồng, thép, gỗ….), trạng



thái bề mặt (trơn, nhám….) mà không phụ thuộc vào diện tích tiếp xúc.

− Lực ma sát tĩnh lớn hơn ma sát động.



1.3 Điều kiện cân bằng của vật chịu ma sát trượt

2.Ma sát lăn

2.1.Định nghĩa

Ma sát lăn là sự cản trở xuất hiện khi một vật lăn (hoặc có khuynh hướng

lăn) trên một vật khác.

Nguyên nhân của ma sát lăn là do mặt tiếp xúc không tuyệt đối cứng, nên có

biến dạng tạo thành mơ cản lại sự lăn.

2.2.Định luật về ma sát lăn.







Xét con lăn trọng lượng P đặt trên mặt nằm ngang

không tuyệt đối cứng



(h.3-6). Tác dụng vào con lăn một lực nằm ngang Q có độ cao h. Con lăn cân

  





bằng dưới tác dụng của hệ ba lực ( Q , R , P ). Phân tích R thành hai thành phần N



và F . Từ các phương trình cân bằng, ta có:

∑X = Q – F = 0

∑Y = N – P = 0

Giải hệ phương trình, ta được N = P và F = Q.

 



Ta có ngẫu lực ( F , Q ) có mơmen Q.h làm cho vật có khuynh hướng lăn, ngẫu

 

lực ( P , N ) có mơmen N.d cản lại sự lăn của vật được gọi là ngẫu lực ma sát lăn.

Từ thực nghiệm, ta có các định

luật ma sát lăn:



y



− Ngẫu lực ma sát lăn có giới hạn từ



d



0 đến mmax:

≤ mmax

(3-10)



Q



0 ≤ mms

h



O



R



P

F



− Trị số mômen của ma sát lăn lớn



nhất tỉ lệ với phản lực pháp tuyến N:

26



Hình 3-6



x

N



mmax = kN



(3-11)



k được gọi là hệ số ma sát lăn, đo bằng đơn vị độ dài.

2.3. Điều kiện cân bằng

Điều kiện cân bằng không trượt, không lăn của vật là trị số của lực ma sát

thực tế phải nhỏ hơn hoặc bằng trị số của lực ma sát lớn nhất.

Fms ≤ Fmax(= fN) 



mms ≤ mmax(= kN)



(3-12)



Ví dụ 3-5

Muốn hãm cho bánh xe không quay dưới tác dụng của ngẫu lực có trị số

momen m = 100Nm người ta tác dụng hai lực trực đối Q vào hai má hãm. Hãy



tính trị số nhỏ nhất Q để bánh xe không quay. Biết hệ số ma sát giữa má hãm với

bánh xe là f = 0,25 và đường kính bánh xe là d = 0,5m.

Bài giải









Bánh xe cân bằng dưới tác dụng của các lực: Hai lực Q ; hai lực Fms ; phản lực





ở ổ trục R o ; trọng lực của bánh xe P và ngẫu lực m :

















(2 Q ; 2 Fms ; R o ; P ; m).

Đây là hệ lực phẳng bất kỳ, có thể viết đầy đủ 3 phương trình cân bằng dạng

1 nhưng vì chỉ cần tìm Q nên ta chỉ viết phương trình mơmen:

Σm o = Fms d – m = 0



(1)



Điều kiện cân bằng không trượt là

Fms ≤ Fmax (= f.Q)

Giải hệ, ta có: Q ≥



(2)



m

100

=

= 800N.

f .d 0,25.0,5



a)



b)

m



Q



O



Fms



m

Q



Q



Fms



3-5



Vậy lực Q nhỏ nhất có trị số là 800N.



Ví dụ 3-6

27



Ro



O

P



Q



Con lăn hình trụ đường kính d = 60cm, khối lượng 300kg lăn đều trên mặt

phẳng ngang nhờ một lực theo hướng của tay đẩy OA. Cho biết chiều dài OA =

1,5m, độ cao của điểm A là h = 1,05m. Xác định lực Q cần thiết để con lăn lăn

đều, biết hệ số ma sát lăn giữa con lăn và mặt phẳng nằm ngang là k = 0,5cm.

Bài giải



sinα =



h − r 1,05− 0,3

=

= 0,5

AO

1,5



vậy α =30o





Phân lực Q ra hai thành phần:

−

−





Q1 thẳng đứng, đẩy con lăn





Q2 nằm ngang, cùng với trọng lượng P gây ra phản lực pháp tuyến N ( N = P +



Q2)

Ta có: Q1 .r = kN, suy ra Q1 = kN/r

Mặt khác: Q1 = Qcosα, Q2 = Qsinα

N = P + Q2 = P + Qsinα

Nên Qcosα =



k

(P + Q sinα)

r

kP



0,5.3000



Suy ra Q = r.cosα − k sinα = 30.0,866− 0,5.0,5 = 58N

CÂU HỎI

1.



A



Q1



Mômen của một lực đối với một điểm

là gì? Viết biểu thức của nó và qui ước

dấu.



2.



Phát biểu và viết biểu thức của định

lý Varinhơng.



3.



Phát biểu, viết phương trình cân bằng

của hệ lực phẳng.



O

N P



α



Hình ví dụ 3-6



4.



Phát biểu, viết phương trình cân bằng của hệ lực song song.



5.



Định nghĩa ma sát trượt, cho ví dụ.



6.



Phát biểu các định luật ma sát trượt.



7.



Ma sát lăn là gì? Cho ví dụ.



8.



Phát biểu các định luật ma sát lăn.



28



Q



Q2

h



BÀI TẬP

1. Hãy xác định tổng đại số mômen của các lực đặt vào xà AC đối với hai gối đỡ



A và B. Cho F1 = 438N, F2 = 146N, F3 = 292N. Các dữ kiện khác theo hình vẽ.

ĐS:







mA (F) = −2701

Nm; mB (F) = 703Nm







2. Tìm mơmen của các lực F1 vàF2 đối với tâm O. Biết F1 = F2 = 320N, OA =

F1

1,5m



F3



F2



1,5m



A

E



D

4m



0,4m, α = 30o.



F1



O

C



B



F2



1,5m



α



A



Hình bài 1 và bài

2









ĐS: mo (F1) = −128Nm; mo (F2 ) = 64Nm

3. Một vật có trọng lượng P = 500N đặt trên mặt nằm ngang. Hệ số ma sát trượt

giữa vật và mặt nằm ngang là f = 0,6. Tính trị số nhỏ nhất của lực Q để vật bắt đầu

trượt.

ĐS: 257,3N

4. Trục hình trụ trọng lượng Q bán kính R quay được nhờ vật nặng quấn vào nó

bằng dây. Biết trọng lượng vật P, bán kính ngõng trục r = R/2, hệ số ma sát ở

ngõng trục f = 0,05. Tỉ số trọng lượng Q và P là bao nhiêu để trục quay đều?

ĐS: P/Q = 39

5. Thang AB dài 4m, đầu A tựa trên mặt đất, đầu B tựa trên tường cao tại điểm D

và lập với tường góc α=30o. Thang được giữ ở vị trí trên nhờ dây AE nằm trên

mặt đất.

Xác định phản lực tác dụng lên thang tại các điểm A và D, sức căng T của

dây. Biết trọng lương thang P = 200N và đặt tại điểm C chính giữa thang, chiều

cao của tường h =3m.

ĐS: N A=175N; ND = 57,7N; T =

50N

29



6. Thanh AB dài 2m, đầu A ngàm chặt vào tường, đầu B chiụ tác dụng một lực F =

3kN hợp với thanh AB góc α = 60o. Xác định phản lực của thanh AB tại ngàm.

ĐS: X A=1,5kN; YA= 2,6kN; mA =

5,2kNm

7. Dầm



q



m



Q



CD

đặt

A

B

trên

hai

gối đỡ A C

D

và B, chịu

tác dụng

a

a

a

a

của ngẫu

lực

có

mơmen m

Hình bài 7

=8kNm,

lực có trị

số Q = 20kN và lực phân bố đều q = 20kN/m. Xác định phản lực tại các gối đỡ.

Cho a = 0,8m

ĐS: YA = 15kN; YB = 21kN



R



Q

O



α=30



P

Hình bài 3 và bài 4



30



r



Chương 6: Hệ lực không gian

1. Hệ lực không gian đồng quy.

B

D



α

h



C



A



α



α

B



E



1.1. Định nghĩa



A



Hình bài 5 và bài

6

r



Nếu chọn tâm thu gọn là điểm đồng quy O thì mơ men chính M o sẽ bằng

khơng do đó 3 ph−ơng trình mơ men ln ln tự nghiệm. Vậy ph−ơng trình cân bằng

của hệ lực đồng quy chỉ còn



Rx = ồXi = 0

i=1



n



Ry = ồYi =0



(2-7)



i=1

n



31



Rz = ồZi = 0

1.2. Hình chiếu một lực lên ba trục tọa độ.

1.3. Điều kiện cân bằng của hệ lực không gian đồng quy.

1.3.1 Hệ lực đồng quy

r

Nếu chọn tâm thu gọn là điểm đồng quy O thì mơ men chính M o sẽ bằng

khơng do đó 3 ph−ơng trình mơ men ln ln tự nghiệm. Vậy ph−ơng trình cân bằng

của hệ lực đồng quy chỉ còn

Rx = ồXi = 0

i=1

n

Ry = ồYi =0

i=1

n

Rz = ồZi = 0

i=1

1.3.2. Hệ ngẫu lực

r

Khi thu gọn hệ ngẫu lực về một tâm ta thấy ngay véc tơ chính R 0 = 0 điều

đó có nghĩa các ph−ơng trình hình chiếu ln ln tự nghiệm. Ph−ơng trình cân

bằng của hệ ngẫu lực chỉ còn lại ba ph−ơng trình mơ men sau:



32



n

n

n

r

Mx = ồmx( F i) = ồmix = 0,

i

i=1

=

1

n

n

r

My = ồmy( F i) = ồmiy = 0,

i

i=1

=

1



(2-8)



n

n

r

Mz = ồmz( F i) = ồmiz = 0.

i

i

=

1



33



2. Hệ lực không gian bất kỳ.

2.1. Định nghĩa.

2.3. Momen của một lực đối với một trục.

2.4. Điều kiện cân bằng của hệ lực không gian bất kỳ.

2.4.1. Điều kiện cân bằng

Điều kiện cân bằng của hệ lực bất kỳ trong khơng gian là véc tơ chính và

mơ men chính của nó khi thu gọn về một tâm bất kỳ đều bằng không.

n r

r

R = ồF 1 = 0

i=1

n rr

r

M o = ồ m o( F 1) = 0

i=1

2.4.2. Ph−ơng trình cân bằng

Nếu gọi Rx, Ry, Rz và Mx, My, Mz là hình chiếu của các véc tơ chính và mơ

men chính lên các trục toạ độ oxyz thì điều kiện (2-5) có thể biểu diễn bằng các

ph−ơng trình đại số gọi là ph−ơng trình cân bằng của hệ lực bất kỳ trong khơng

gian. Ta có:

n

n

n

Rx = ồXi = 0, Ry = ồYi =0, Rz = ồZi = 0

i

i

i=1

=

=

1

1

n

r

Mx = ồmx( F i) = 0,

(2-6)

ồmz( F i) = 0.

i

=

1



n

i

=

1



r



n

r

My = ồmy( F i) = 0, Mz =

i=