Chương 2 : ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ ĐƠNĐIỆU LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH COMPACT

Vy theo nguyờn lý Entropi tn ti



u0 M 0



sao cho



x M 0 , x u0 ta cú



g ( x) g (u0 ) g ( x) g (u0 )



Ta chng minh g (u0 ) 0

Gi s g (u0 ) c 0 ta cú

y1 M 0 , y1 >u 0 : F ( y1 ) F (u0 ) >c



Do g ( y1 ) g (u0 ) c nờn

y2 M 0 , y 2 y1 u 0 : F ( y2 ) F ( y1 ) >c



C tip tc nh vy ta cú dóy yn l dóy tng trong M

M F ( y2 n ) F ( y2 n 1 ) c iu ny l vụ lý (vỡ F bin dóy tng thnh dóy hi t)

Vy g (u0 ) 0

t b F (u0 ) ta cú b u 0 (vỡ u0 M 0 F(u 0 ) u 0 )

Ta cú



F (b) F (u0 ) g(u 0 )=0



F (b) F (u0 ) b vy F cú im bt ng l b F (u0 )



H qu 2.1.1 Gi s



1. K l nún chun, u0 A(u0 ) , A(v0 ) v0

2. Toỏn t A : u0 , v0 u0 , v0 l toỏn t n iu v tp A( u0 , v0 ) l tp compact

tng i.

Khi ú A cú im bt ng trờn u0 , v0

Tht vy:

1. Do K l nún chun nờn tp u0 , v0 l tp úng

2. Toỏn t A l compact n iu vỡ:

vi mi dóy tng xn n cha trong



u0 , v0



Do A l ỏnh x tng nờn dóy A( xn )n l dy iu tng

Vỡ A u0 , v0 l tp compact tng i nờn dóy A( xn )n cú dóy con ( xn ) k ( xn ) n sao

k



cho lim A xk a

k



Vỡ u0 , v0 úng nờn a u0 , v0

K l nún chun

Dóy A( xn ) tng cú dóy con A( xn ) hi t vỡ a u0 , v0

k

k



Nờn dóy A( xn ) hi t



3. A( u0 , v0 ) u0 , v0

Vy theo nh lý 2.1.1 thỡ A cú im bt ng.

H qu 2.1.2 Gi s



1. K l nún chớnh quy, u0 A(u0 ) , A(v0 ) v0

2. A : u0 , v0 u0 , v0 l toỏn t n iu.

Khi ú A cú im bt ng.

Tht vy:

1. Vỡ K l nún chớnh quy nờn K l nún chun suy ra

Tp u0 , v0 l tp úng v b chn

2. A l oỏn t compact n iu vỡ:

Vi mi dóy xn n tng trong u0 , v0 suy ra dóy A( xn ) b chn trờn v dóy tng

trong u0 , v0

Do K l nún chớnh quy v A( xn ) dóy tng, b chn trờn nờn suy ra dóy A( xn )n hi

t

Vy theo nh lý 2.1.1 A cú im bt ng trờn u0 , v0 .

H qu 2.1.3: Gi s



1. X l khụng gian phn x, K l nún chun, A(v0 ) v0 , u 0 A(u0 )

2. A : u0 , v0 u0 , v0 l toỏn t n iu

Khi ú A cú im bt ng trờn u0 , v0 .

Tht vy:

Do K nún chun nờn u0 , v0 l tp úng, b chn, li. Nờn u0 , v0 l compact yu



vỡ X l khụng gian phn x

Vi mi dóy xn n iu tng trong u0 , v0



Ta cú dóy A( xn ) n l dóy n iu tng tong u0 , v0

Suy ra dóy A( xn ) cú dóy con A( xn ) hi t yu, v y trong u0 , v0

k



t yk A( xn ) , ta cú dóy

k



k



yk k l dóy tng trong



f ( ym ) f ( yk ), m k



Cho m ta cú f ( yk ) f ( y ) y yk k

Ta chng minh lim yk y

k



u0 , v0 vi mi f X * ,



Do K nún chun nờn N 0 sao cho x, y K , 0 x y

Ta cú x N . y



yeỏu

vỡ yk y trong u0 , v0



z t1 yk1 t2 yk2 ... tm ykm C0 ( yk k ) sao cho z y



nờn theo nh lý Mazur tn ti



2N 1



t k max k1 , k2 , k3 ,..., km

Khi ú k k Ta cú y z k z 0 nờn yk z N . y z

Ta cú yk y yk z z yk N 1 yk z

Suy ra lim yk y

k



Vy dóy A( xn ) l dóy tng nờn cú dóy con hi t v y v K nún chun nờn dóy



A( xn ) hi t.

Vy A l n iu compact.

Kt lun: Theo nh lý 2.1.1 thỡ A cú im bt ng.

2.2 im bt ng ca toỏn t n iu ti hn.

nh ngha 2.2.1



Toỏn t F : M X X gi l compact n iu ti hn nu mi dóy F n ( xn )n tha

món iu kin F ( x1 ) F 2 ( x2 ) F 3 ( x3 ) ..., xn M (2.2.1) u hi t

nh lý 2.2.1 Gi s



1.Tp M úng, v b chn trong X.

2. Toỏn t F : M M n iu, compact n iu ti hn.

3. Tn ti x0 M sao cho x0 F ( x0 )

Khi ú F cú im bt ng.

Chng minh

* t M 0 x M / x F ( x)

Ta cú M 0 (vỡ x0 F ( x0 ) )



(Theo gi thit 3) v F ( M 0 ) M 0



* Trờn M 0 ta nh ngha dóy cỏc phim hm Sn nh sau:





Ta t M ( x ) (u, v) : u, v M







S n ( x) sup F n (u ) F n (v) / u, v M 0 , x F n (u ) F n (v)

n



0



; x F n (u ) F n ( v )







Ta cú M n ( x) vỡ x F n ( x) F n (u ) v M n ( x) l tp b chn trờn X X

Vy Sn c xỏc nh.



Ngoi ra: Nu x x, thỡ M n ( x) M n ( x, ) nờn Sn ( x) Sn ( x, )

Suy ra Sn l hm gim trờn M 0

Ta nhn xột thy



F











(u) Fn1(v) : u, v M0 , x Fn1(u) Fn1(v) Fn1(u, ) Fn1(v) : u, vM0 , x Fn1(u) Fn (v) Nờn



n1



Sn 1 ( x ) Sn ( x )



S ( x ) l dóy s gim v b chn di nờn hi t.

n



t S( x ) lim Sn ( x ) Sn ( x ) S( x ) n v S cng l hm gim trờn M 0 (do Sn gim trờn

n



M0 )



(Ta s ỏp dng nguyờn Entropi cho tp M 0 v phim hm (-S))

1.



Xột dóy tng xn n M 0 ta chng minh dóy s xn n cú cn trờn.

Ta lp bng vụ hn 2 phớa sau:

F ( x1 ) F 2 ( x1 ) ... F n ( x1 ) ...

F ( x2 ) F 2 ( x2 ) ... F n ( x2 ) ...



..

.

..

F ( xn ) F 2 ( xn ) ... F n ( xn ) ...



.

Vỡ ( xn ) l dóy tng nờn cỏc phn t trờn mt ct l dóy tng(do F l toỏn t tng).

Do vy dóy chộo



F ( x )

n



n



n



l dóy tng, vỡ F l toỏn t compact n iu ti hn nờn



dóy ny hi t v x v xn F n ( xn ) x ngha l x l cn trờn ca xn n , Ta kim tra

x M0



Tht vy F n ( xn ) x , n

F n 1 ( xn ) Fx



F n ( xn ) F n 1 ( xn ) F ( x ) , n



Cho n ta c x F ( x ) x M0

2.



p dng nguyờn lý Entropi ta tỡm c a M 0 sao cho x M 0 , x a

Ta cú S (a) S ( x)

Ta chng minh S (a) 0

Gi s S (a) 2 0



 Ta cú S1 (a) S(a) 2 0 nờn tn ti u1 , v1 M 0 sao cho tha món F 1 (v1 ) F 1 (u1 ) a



ta cú F1 (v1 ) F (u1 )

Do F 1 (v1 ) a nờn S(F 1 (v1 )) S(a)=2 >0 S2 (F 1 (v1 )) S(a) nờn tn ti u2 , v2 M 0



sao cho F 2 (v2 ) F 2 (u2 ) F 1 (v1 ) a v F 2 (v2 ) F 2 (u2 )

Do



F 2 (v2 ) a



nờn



S3 (F 2 (v2 )) S(a) 2 0 nờn tn ti



u3 , v3 M 0



sao cho



F 3 (v3 ) F 3 (u3 ) F 2 (v2 ) v F 3 (v3 ) F 3 (u3 )



C tip tc nh trờn ta s xõy dng c cỏc dóy un , vn M 0



sao cho

F 1 (u1 ) F 1 (v1 ) F 2 (u2 ) F 2 (v2 ) ... F n (un ) F n (vn ) ...



(2.2.2)



Tha món F n (vn ) F n (un )



(2.2.3)



Rừ rng dóy (2.2.2) l dóy hi t theo nh ngha F l toỏn t compact

ti hn m iu ny thỡ mõu thun vi (2.2.3).

Vy s(a) = 0

Bõy gi ta chng minh F cú im bt ng trờn M0



3.



Ta cú



F



n



a F (a ) F 2 (a ) F 3 (a) F 4 (a) ... Do F l toỏn t compact ti hn nờn dóy



(a ) hi t, t b lim F n (a ) m do F n (a ) l dóy tng nờn F n 1 (a ) b

n



F n (a ) F (b) n 1, n



Cho n ta cú b F (b) b M 0

a F n (a ) F n (b)n nờn F n (a ) F n (b) S n (a )



Do lim Sn (a) S (a) 0 nờn lim F n (a) F n (b) 0

n



n



T 0 F (b) b F n (b) F n (a)

Ta cú F (b) b hay F cú im bt ng trong M 0

* Chỳ ý: Trong nh lý 2.2.1 ta gi nguyờn cỏc gi thit1. v 2. cũn gi thit 3 ta thay bng gi



thit 3 l x0 M sao cho F ( x0 ) x0 thỡ ta vn cú kt lut: Khi ú F cú im bt ng trong

M

nh ngha 2.2.2



Cho u0 toỏn t F c gi l u0 - lừm u trờn nu.

1. A n iu trờn



2. x u, v , 0, >0 sao cho u0 F ( x) u0

3. a, b (0,1), (a, b) 0 sao cho x u, v , t (a, b) thỡ F (tx) (1 )tF ( x)

T nh ngha u0 - lừm u ta thy , 0 v ph thuc vo x

Nu F l u0 - lừm thỡ F (tx) tF ( x) t (0,1), x u, v

nh lý 2.2.2



Gi s

1. K l nún chun

2. F l toỏn t u0 - lừm u trờn

3. u Fu, Fv v

Khi ú F cú im bt ng trờn

Tht vy:

Do K l nún chun nờn úng, b chn

Do gi thit 3, m ta cú F ( u, v ) u, v ta chng minh toỏn t F compact n iu



ti hn.

* Gi s , 0 : u0 u, v u0 vaứ





1





Tht vy nu u, v khụng cú tớnh cht trờn thỡ t iu kin 2. trong nh ngha F l u0-lừm u

suy ra 0, 0 sao cho u0 F (u ), F (v) u0

Ta t u1 F (u ), v1 F (v) ta cú u0 u1 , v1 u0 , 0

F (v1 ) v1



F (u1 ) u1





v





1





( do F(v) v v1 v) F (v1 ) F (v) v1 )



Khi ú ta xột F l u0 - lừm u trờn u, v

Do K l nún chun nờn u, v úng, b chn x u, v , M 0 : x M

* F l toỏn t compact n iu ti hn vỡ:

Gi s xn n u, v tha iu kin F x1 F 2 x2 ... F n xn ...



(*)



Ta s ch ra F n xn l dóy cauchy (khi ú s hi t vỡ X l khụng gian Banach)

Ly 0 bộ

Do F l







1

(N l hng s chun ca nún K)

M .N





u0 - lừm u trờn



F tx 1 tF x



u, v







nờn 0 sao cho x u, v , t ,1

ta cú

M .N









N 0 1



1

1

M .N



Chn N 0 l s t nhiờn tha iu kin

1 N0 1



M .N





Bng cỏch gim s , ta cú th coi





N

1 1



0



Ta chng minh n n0 , k N thỡ F n k xn k F n xn

Do F k xn k u, v v xn u, v nờn u0 F k xn k v xn u0





Ta cú



F k xn k







u0



xn







F k xn k





x

n







F k 1 xn k F xn 1 F xn













2

F k 2 xn k F 1 F xn 1

F 2 xn











.

...

...............





N 1

N

F k N0 xn k F 1 0

F N0 1 xn 1 0 F N0 xn













N

F n k xn k F n N0 F k N0 xn k F n N0 1 0 F N0 xn











1



N 0 1



N

n

F xn 1

F n xn





0





n

1

F xn

M .N



Kt hp iu kin: F n k xn k F n xn ta cú 0 F n xn F n k xn k

Do ú F n xn F n k xn k





M .N



.N . F n x n





M





M .N



F n xn



.M (do F n xn u , v )



Vy dóy F n xn l dóy cauchy, m do X l khụng gian Banach nờn dóy F n xn hi t.

Vy theo nh lý 2.2.1 ta cú F cú im bt ng trờn u, v

2.3 im bt ng ca toỏn t n iu trờn khụng gian vi nún Minihedral - mnh

Gi s X l khụng gian Banach thc, sp bi nún Minihedral K. Ta cú kt qu sau:



nh lý 2.3.1: Gi s:



1.



F : u , v u , v l toỏn t n iu



2.



K l nún Minihedral - mnh sao cho F u, v u, v



Khi ú F cú im bt ng trờn u, v .

Chng minh:

t M 0 x u, v : x Fx : khi ú M 0 vỡ u Fu nờn u M 0

nh x F : M 0 M 0 c tha món vỡ x M 0 x Fx Fx F F ( x ) F ( x ) M0

Ta chng minh mi tp con sp tuyn tớnh trong M0 u cú cn trờn thuc M0

Tht vy

Gi s N l tp con sp tuyn tớnh trong M0 ta cú N b chn trờn bi v. Vỡ K l nún

Minihedral mnh nờn N cú cn trờn ỳng c0 sup N u c0 v

x N ta cú x c0 m F n iu nờn F x F c0 x F x F c0 do ú F c0 l cn trờn ỳng



ca N nờn c0 F c0 (do nh ngha supremum) c0 M0

Theo b Zorn trong M 0 cú phn t ti i l x* ta chng minh x* l im bt ng ca

toỏn t F







Tht vy x* M 0 nờn x* F x* m F n iu nờn x* F x* F F x*

F x* M 0 F x* x* (do x* phn t ti i ca M 0 )



Vy F x* x* .







Chng 3: IM BT NG CA TON T

T-N IU

Trong chng ny ta vn xột X l khụng gian Banach thc vi quan h th t sinh bi nún K.

3.1 Toỏn t T-n iu v im bt ng

nh ngha 3.1.1

S thc c gi l im chớnh quy ca toỏn t tuyn tớnh F : X X nu F l



song ỏnh, õy I l toỏn t ng nht trong X.

Ký hiu F l tp tt c cỏc im chớnh quy ca F v



F



\ F c gi



l ph ca toỏn t F.

Toỏn t F c gi l Compact yu nu F bin u0 , v0 thnh mt tp Compact yu

Toỏn t F c gi l liờn tc yu nu F bin mi dóy hi t yu thnh dóy hi t yu



trong X.

Ký hiu L X , X l khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh trong X . Toỏn t T L X , X



gi l dng nu T K K vi K l nún trong X.



nh ngha 3.1.2



Gi s D X toỏn t F : D X X c gi l T-n iu nu

F x F y T x , y , x y õy T L X , X .



Nh vy nu T 0 thỡ khỏi nim T-n iu tr thnh khỏi nim n iu thụng thng ó bit.

B 3.1.1



Nu F L X , X v F Thỡ x ( I F ) 1 ( A F )( x) x Ax

Chng minh:

F



F





I F



l song ỏnh



A( x) x ( I F ) 1 ( A F )( x) ( I F ) 1 ( Ax Fx)

( I F ) 1 ( x Fx)

( I F ) 1 ( I F )( x)

x



Vy b c chng minh



B 3.1.2



Gi s u0 , v0 K v u0 v0 , toỏn t F : u0 , v0 X l T-n iu vi u0 Fu0 , Fv0 v0 .

Hn na, gi s T tha iu kin :

(H1) T dng

(H2) (0,1) : T , Tx - x x K

Khi ú S ( I T ) 1 ( F T ) l n iu trờn u0 , v0



v u0 Su0 , Sv0 v0



Chng minh

Do gi thit (H1) ta cú ỏnh x ( I T ) dng

Do (T ) I T song ỏnh nờn tn ti ỏnh x ( I T ) 1 v ( I T ) 1 dng

Nu x, y u0 , v0 ; x y ta cú F ( x ) F ( y ) T ( x y) ( do F l T- n iu )

( Fx - Fy ) - (Tx - Ty ) - T ( x - y )

( F T )( x) ( F T )( y )



(3.1.1)



Tỏc ng ( I T ) 1 dng vo bt ng thc (3.1.1) ta c

( F T ) 1 ( F T )( x) ( F T ) 1 ( F T )( y )



Sx Sy

S l toỏn t n iu trờn u0 , v0

u0 Fu0 u0 Tu0 F (u0 ) T (u0 )



(3.1.2)



Fv0 v0 F (v0 ) T (v0 ) v0 T (v0 )



Do



(3.1.3)



Tỏc ng ( I T ) 1 dng vo bt ng thc (3.1.2) v (3.1.3)

u0 S (u0 )

S (v0 ) v0



Ta c



Vy b c chng minh

nh lý 3.1.1



Gi s K l nún chớnh quy, u0 , v0 K v u0 v0 , toỏn t F : u0 , v0 X l T-n iu vi

u0 Fu0 , Fv0 v0 . Hn na, gi s T tha iu kin :



(H1) T dng

(H2) (0,1) : T , Tx - x x K

Khi ú F cú ớt nht mt im bt ng trờn u0 , v0

Chng minh: