1 Điểm bất động của toán tử compact đơn điệu
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (649.85 KB, 56 trang )
Vậy theo nguyên lý Entropi tồn tại
u0 M 0
sao cho
x M 0 , x u0 ta có
g ( x) g (u0 ) g ( x) g (u0 )
Ta chứng minh g (u0 ) 0
Giả sử g (u0 ) c 0 ta có
y1 M 0 , y1 >u 0 : F ( y1 ) F (u0 ) >c
Do g ( y1 ) g (u0 ) c nên
y2 M 0 , y 2 y1 u 0 : F ( y2 ) F ( y1 ) >c
Cứ tiếp tục như vậy ta có dãy yn là dãy tăng trong M
Mà F ( y2 n ) F ( y2 n 1 ) c điều này là vô lý (vì F biến dãy tăng thành dãy hội tụ)
Vậy g (u0 ) 0
Đặt b F (u0 ) ta có b u 0 (vì u0 M 0 F(u 0 ) u 0 )
Ta có
F (b) F (u0 ) g(u 0 )=0
F (b) F (u0 ) b vậy F có điểm bất động là b F (u0 )
Hệ quả 2.1.1 Giả sử
1. K là nón chuẩn, u0 A(u0 ) , A(v0 ) v0
2. Toán tử A : u0 , v0 u0 , v0 là toán tử đơn điệu và tập A( u0 , v0 ) là tập compact
tương đối.
Khi đó A có điểm bất động trên u0 , v0
Thật vậy:
1. Do K là nón chuẩn nên tập u0 , v0 là tập đóng
2. Toán tử A là compact đơn điệu vì:
với mọi dãy tăng xn n chứa trong
u0 , v0
Do A là ánh xạ tăng nên dãy A( xn )n là dẫy điệu tăng
Vì A u0 , v0 là tập compact tương đối nên dãy A( xn )n có dãy con ( xn ) k ( xn ) n sao
k
cho lim A xk a
k
Vì u0 , v0 đóng nên a u0 , v0
K là nón chuẩn
Dãy A( xn ) tăng có dãy con A( xn ) hội tụ vì a u0 , v0
k
k
Nên dãy A( xn ) hội tụ
3. A( u0 , v0 ) u0 , v0
Vậy theo định lý 2.1.1 thì A có điểm bất động.
Hệ quả 2.1.2 Giả sử
1. K là nón chính quy, u0 A(u0 ) , A(v0 ) v0
2. A : u0 , v0 u0 , v0 là toán tử đơn điệu.
Khi đó A có điểm bất động.
Thật vậy:
1. Vì K là nón chính quy nên K là nón chuẩn suy ra
Tập u0 , v0 là tập đóng và bị chặn
2. A là oán tử compact đơn điệu vì:
Với mọi dãy xn n tăng trong u0 , v0 suy ra dãy A( xn ) bị chặn trên và dãy tăng
trong u0 , v0
Do K là nón chính quy và A( xn ) dãy tăng, bị chặn trên nên suy ra dãy A( xn )n hội
tụ
Vậy theo định lý 2.1.1 A có điểm bất động trên u0 , v0 .
Hệ quả 2.1.3: Giả sử
1. X là không gian phản xạ, K là nón chuẩn, A(v0 ) v0 , u 0 A(u0 )
2. A : u0 , v0 u0 , v0 là toán tử đơn điệu
Khi đó A có điểm bất động trên u0 , v0 .
Thật vậy:
Do K nón chuẩn nên u0 , v0 là tập đóng, bị chặn, lồi. Nên u0 , v0 là compact yếu
vì X là không gian phản xạ
Với mọi dãy xn đơn điệu tăng trong u0 , v0
Ta có dãy A( xn ) n là dãy đơn điệu tăng tong u0 , v0
Suy ra dãy A( xn ) có dãy con A( xn ) hội tụ yếu, về y trong u0 , v0
k
Đặt yk A( xn ) , ta có dãy
k
k
yk k là dãy tăng trong
f ( ym ) f ( yk ), m k
Cho m ta có f ( yk ) f ( y ) y yk k
Ta chứng minh lim yk y
k
u0 , v0 với mọi f X * ,
Do K nón chuẩn nên N 0 sao cho x, y K , 0 x y
Ta có x N . y
yeáu
vì yk y trong u0 , v0
z t1 yk1 t2 yk2 ... tm ykm C0 ( yk k ) sao cho z y
nên theo định lý Mazur tồn tại
2N 1
Đặt k max k1 , k2 , k3 ,..., km
Khi đó k k Ta có y z k z 0 nên yk z N . y z
Ta có yk y yk z z yk N 1 yk z
Suy ra lim yk y
k
Vậy dãy A( xn ) là dãy tăng nên có dãy con hội tụ về y và K nón chuẩn nên dãy
A( xn ) hội tụ.
Vậy A là đơn điệu compact.
Kết luận: Theo định lý 2.1.1 thì A có điểm bất động.
2.2 Điểm bất động của toán tử đơn điệu tới hạn.
Định nghĩa 2.2.1
Toán tử F : M X X gọi là compact đơn điệu tới hạn nếu mỗi dãy F n ( xn )n thỏa
mãn điều kiện F ( x1 ) F 2 ( x2 ) F 3 ( x3 ) ..., xn M (2.2.1) đều hội tụ
Định lý 2.2.1 Giả sử
1.Tập M đóng, và bị chăn trong X.
2. Toán tử F : M M đơn điệu, compact đơn điệu tới hạn.
3. Tồn tại x0 M sao cho x0 F ( x0 )
Khi đó F có điểm bất động.
Chứng minh
* Đặt M 0 x M / x F ( x)
Ta có M 0 (vì x0 F ( x0 ) )
(Theo giả thiết 3) và F ( M 0 ) M 0
* Trên M 0 ta định nghĩa dãy các phiếm hàm Sn như sau:
Ta đặt M ( x ) (u, v) : u, v M
S n ( x) sup F n (u ) F n (v) / u, v M 0 , x F n (u ) F n (v)
n
0
; x F n (u ) F n ( v )
Ta có M n ( x) vì x F n ( x) F n (u ) và M n ( x) là tập bị chặn trên X X
Vậy Sn được xác định.
Ngoài ra: Nếu x x, thì M n ( x) M n ( x, ) nên Sn ( x) Sn ( x, )
Suy ra Sn là hàm giảm trên M 0
Ta nhận xét thấy
F
(u) Fn1(v) : u, v M0 , x Fn1(u) Fn1(v) Fn1(u, ) Fn1(v) : u, vM0 , x Fn1(u) Fn (v) Nên
n1
Sn 1 ( x ) Sn ( x )
S ( x ) là dãy số giảm và bị chặn dưới nên hội tụ.
n
Đặt S( x ) lim Sn ( x ) Sn ( x ) S( x ) n và S cũng là hàm giảm trên M 0 (do Sn giảm trên
n
M0 )
(Ta sẽ áp dụng nguyên Entropi cho tập M 0 và phiếm hàm (-S))
1.
Xét dãy tăng xn n M 0 ta chứng minh dãy số xn n có cận trên.
Ta lập bảng vô hạn 2 phía sau:
F ( x1 ) F 2 ( x1 ) ... F n ( x1 ) ...
F ( x2 ) F 2 ( x2 ) ... F n ( x2 ) ...
.………………………………….
………………………………….
.………………………………….
F ( xn ) F 2 ( xn ) ... F n ( xn ) ...
………………………………….
Vì ( xn ) là dãy tăng nên các phần tử trên một cột là dãy tăng(do F là toán tử tăng).
Do vậy dãy chéo
F ( x )
n
n
n
là dãy tăng, vì F là toán tử compact đơn điệu tới hạn nên
dãy này hội tụ về x và xn F n ( xn ) x nghĩa là x là cận trên của xn n , Ta kiểm tra
x M0
Thật vậy F n ( xn ) x , n
F n 1 ( xn ) Fx
F n ( xn ) F n 1 ( xn ) F ( x ) , n
Cho n ta được x F ( x ) x M0
2.
Áp dụng nguyên lý Entropi ta tìm được a M 0 sao cho x M 0 , x a
Ta có S (a) S ( x)
Ta chứng minh S (a) 0
Giả sử S (a) 2 0
