Chương 3: ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬT-ĐƠN ĐIỆU

B 3.1.2



Gi s u0 , v0 K v u0 v0 , toỏn t F : u0 , v0 X l T-n iu vi u0 Fu0 , Fv0 v0 .

Hn na, gi s T tha iu kin :

(H1) T dng

(H2) (0,1) : T , Tx - x x K

Khi ú S ( I T ) 1 ( F T ) l n iu trờn u0 , v0



v u0 Su0 , Sv0 v0



Chng minh

Do gi thit (H1) ta cú ỏnh x ( I T ) dng

Do (T ) I T song ỏnh nờn tn ti ỏnh x ( I T ) 1 v ( I T ) 1 dng

Nu x, y u0 , v0 ; x y ta cú F ( x ) F ( y ) T ( x y) ( do F l T- n iu )

( Fx - Fy ) - (Tx - Ty ) - T ( x - y )

( F T )( x) ( F T )( y )



(3.1.1)



Tỏc ng ( I T ) 1 dng vo bt ng thc (3.1.1) ta c

( F T ) 1 ( F T )( x) ( F T ) 1 ( F T )( y )



Sx Sy

S l toỏn t n iu trờn u0 , v0

u0 Fu0 u0 Tu0 F (u0 ) T (u0 )



(3.1.2)



Fv0 v0 F (v0 ) T (v0 ) v0 T (v0 )



Do



(3.1.3)



Tỏc ng ( I T ) 1 dng vo bt ng thc (3.1.2) v (3.1.3)

u0 S (u0 )

S (v0 ) v0



Ta c



Vy b c chng minh

nh lý 3.1.1



Gi s K l nún chớnh quy, u0 , v0 K v u0 v0 , toỏn t F : u0 , v0 X l T-n iu vi

u0 Fu0 , Fv0 v0 . Hn na, gi s T tha iu kin :



(H1) T dng

(H2) (0,1) : T , Tx - x x K

Khi ú F cú ớt nht mt im bt ng trờn u0 , v0

Chng minh:



t S ( I T ) 1 ( F T ) vi T . Do b 3.1.1 ta ch cn Chng minh S cú ớt nht

mt im bt ng trờn u0 , v0

Theo b 3.1.2 toỏn t S : u0 , v0 u0 , v0 l n iu

K nún chớnh quy, u0 Su0 , Sv0 v0 nờn theo h qu 2.1.2 suy ra S cú im bt ng trờn

u0 , v0



Vy F cú ớt nht mt im bt ng trờn u0 , v0



nh lý 3.1.2



Gi s K l nún chun, u0 , v0 K v u0 v0 . Toỏn t F : u0 , v0 X l T-n iu v

u0 Fu0 , Fv0 v0 . Hn na, gi s T tha iu kin:



(H1) T dng

(H2) (0,1) : T , Tx - x x K .

Khi ú

Nu X l khụng gian phn x thỡ F cú ớt nht mt im bt ng trờn u0 , v0 .

Chng minh :

t S ( I T ) 1 ( F T ) vi T

Do toỏn t F : u0 , v0 X l T- n iu , u0 Fu0 , Fv0 v0 v T tha iu kiờn (H1),(H2)

nờn theo b 3.1.2 thỡ toỏn t S : u0 , v0 u0 , v0 l n iu

Mt khỏc X l khụng gian phn x v K l nún chun nờn theo h qu 2.1.3 thỡ S cú im bt

ng trờn u0 , v0

Vy theo b 3.1.1 thỡ F cú ớt nht mt im bt ng trờn u0 , v0 .



3.2 Nguyờn lý ỏnh x co trờn cỏc phn t so sỏnh c



Cho X l khụng gian Banach thc c sp bi nún K, F l toỏn t trờn X.

Xột phng trỡnh : F(x) = x



(3.2.1)



Nghim ca phng trỡnh (3.2.1) thng c tỡm di dng gii hn ca mt dóy lp:

xn 1 F ( xn )



(n 0,1, 2,...)



(3.2.2)



Vi giỏ tr x0 ban u tựy ý. Kt qu ó bit trong gii tớch hm ú l nguyờn lý ỏnh x co.

Di õy chng minh mt s kt qu tng t nguyờn lý ỏnh x co, song s ỏnh giỏ ch

da trờn cỏc phn t so sỏnh c .

nh lý 3.2.1



Gi s

1. K l nún sinh, nún chun

2. F l toỏn t trờn X tha iu kin :

Nu x y thỡ A( x y ) F ( x) F ( y ) A( x y )



(3.2.3)



õy A l toỏn t tuyn tớnh dng vi bỏn kớnh ph l r(A) < 1

Khi ú F cú trong X im bt ng duy nht , vi khi u x0 tựy ý no ú.

Chng minh:

Ta ó bit vi mi toỏn t tuyn tớnh A trờn X ta cú th xột mt chun tng ng vi

chun ban u sao cho A v r(A) sai khỏc nhau nh.

Vy t r(A) < 1 ta cú th xem A <1

K l nún sinh nờn vi mi x X cú th biu din di dng x = u(x) v(x) vi u(x), v(x) K

Ngha l vi mi x X tng ng vi y K sao cho y x y ( chng hn ta cú th ly y

= u(x) + v(x) vi u(x) , v(x) t khai trin ca x trờn).



Trờn X ta nh ngha chun mi x 0 inf y : y K , y x y



(3.2.4)



D dng ta kim tra c . 0 l chun da trờn tớnh cht ca chun . v nh ngha ca

infimum.

u , v a. x



x u v





Vỡ K l nún sinh nờn vi mi x X cú th chn u, v K sao cho

õy a l hng s khụng ph thuc vo x.

Nh vy



x X , x 0 u v 0 u 0 v 0 u v 2a. x



Mt khỏc K l nún chun nờn cú hng s N sao cho t 0 x y x N . y

Vi y x y 0 x y 2 y

x y 2.N . y



Suy ra x x y y x y y (2 N 1) y

x (2 N 1) x



Vy



.



vi y K , y x y



0



.0



Ta xột x, y tựy ý thuc X. Gi s u x y u , u K

1



x 2 ( x y u)



Rừ rng t õy ta cú

y 1 ( x y u)



2





 x y u

x y u

x y u

F ( x) F

A



A

2

2

2













T gi thit (3.2.3):

A y x u F ( y ) F x y u A y x u













2

2

2















Suy ra



A(u ) F ( x) F ( y ) A(u )



F ( x) F ( y ) 0 A(u ) q. u



F ( x) F ( y ) 0 q. inf



u x y u



F ( x) F ( y ) 0 q. x y



u K vi q 1 ( do A liờn tc v



A 1)



u



0



, q 1



Vy F l ỏnh x co theo chun . 0 . X l khụng gian Banach nờn F cú im bt ng duy nht.

Chỳ ý : nh lý 3.2.1 vn ỳng nu iu kin (3) c thay bi iu kin sau :

A1 ( x y ) F ( x) F ( y ) A2 ( x y ) ; x, y K , x y (3')



õy A1 , A2 l cỏc toỏn t tuyn tớnh liờn tc dng vi r(A1 + A2) < 1

3.3 Phng trỡnh toỏn t ngc dng



(3.3.1)



3.3.1 Xột phng trỡnh F(x) = z



Vi F l toỏn t t khụng gian Banach X1 c sp bi nún K1 vo t khụng gian

Banach X2 c sp bi nún K2 . Phn t z l phn t c nh trong X2

Gi s F tha iu kin

x y, B1 ( x y ) F ( x) F ( y ) B2 ( x y )



(3.3.2)



õy B1, B2 l cỏc toỏn t tuyn tớnh t X1 vo X2 . Ta cú nh lý sau:

nh lý 3.3.1 Gi s



1. K1 l nún sinh, nún chun

2. Toỏn t F : X1 X 2 tha iu kin (3.3.2) , õy B1 v B1+B2 cú cỏc toỏn t

ngc dng .

Khi ú phng trỡnh (3.3.1) cú trong X1 nghim dng duy nht vi mi z ẻ X 2

Chng minh

1

2



t D = ( B1 + B2 ) khi ú cú th a (3.3.1) v dng y = Ay trong X2 vi toỏn t

Ay = y - FD-1 y + z



(3.3.3)



Nghim x* ca (3.3.1) c xỏc nh qua nghim y* ca (3.3.3) bi h thc x* = D-1( y* )

T gi thit ca B1 , B2 v B1+B2 suy ra D-1 l toỏn t tuyn tớnh dng

Vỡ vy vi u, v ẻ X 2 v u v ta cú D-1( u ) D-1( v )



T gi thit (3.3.2) ta cú ỏnh giỏ :

B1 D-1( u - v ) Ê FD-1( u ) - FD-1( v ) Ê B2 D-1( u - v )



Suy ra



( I - B2 D-1 )( u - v ) Ê A( u ) - A( v ) Ê ( I - B1 D-1 )( u - v )



M B2 = 2 D - B1 nờn

( I - B2 D-1 )( u - v ) = ( I - ( 2 D - B1 )D-1 )( u - v )

= ( -I + B1 D-1 )( u - v )

= -( I - B1 D-1 )( u - v )



Suy ra , vi u,v ẻ X 2 , u v

-( I - B1 D-1 )( u - v ) Ê A( u ) - A( v ) Ê ( I - B1 D-1 )( u - v )



(3.3.4)



õy bt ng thc (3.3.4) cú th xem nh bt ng thc (3.2.3) trong nh lý3.2.1. Vỡ vy

hon thnh chng minh ta ch cn ch ra

r( I - B1 D-1 ) < 1



(3.3.5)



Ta cú I - B1 D-1 l toỏn t tuyn tớnh t X 1 vo X 2





I - B1 D-1 l toỏn t dng ( suy ra t (3.3.4))



Nờn suy ra I - B1 D-1 l liờn tc (vỡ K1 l nún sinh v K2 l nún chun m I - B1 D-1 l toỏn t

tuyn tớnh dng t K1 vo K2 )

Khi ú B1 D-1 cú toỏn t ngc l DB1-1 v DB1-1 liờn tc

Biu thc (3.3.5) c chng minh nu ta cú c ỏnh giỏ

r( P ) < 1



Trong ú P = I - B1 D-1 , Q = DB1-1 - I



(3.3.6)

(3.3.7)



Cỏc toỏn t P, Q trong (3.3.7) l dng v chỳng liờn h vi nhau bi h thc :

Q = P( I - P )-1 = ( I - P )-1 P



Gi s e > 0 v r( eQ ) < 1 khi ú ( I -eQ ) cú toỏn t ngc liờn tc .

( I -eQ )-1 = I + eQ + e 2Q 2 + ... + e nQ n + ...



Hn na t tớnh dng ca Q suy ra tớnh dng ca ( I -eQ )-1 .

T ng nht I - ( 1 + e )P = ( I - P )( I -eQ )



(3.3.8)



Suy ra toỏn t ( I - ( 1 + e )P ) cú toỏn t ngc liờn tc v vi mi n 1 cú

ộ n+1

ự

ờ ồ ( 1 + e ) j P j ỳ = ( I - ( 1 + e )P )-1

ờ j =0

ỳ

ở

ỷ



Suy ra



ộ n

ự

ờ ồ ( 1 + e ) j P j ỳ P = ( I -eQ )-1( I - P )-1 P - ( 1 + e )n+1 P n+2

ờ j =0

ỳ

ở

ỷ



= ( I - eQ )-1 Q - ( 1 + e )n+1 P n+2



Qua ú ta thy toỏn t dng P tha iu kin

( 1 + e )n+1 P n+2 ( u ) Ê ( I -eQ )-1 Q( u ) , ( u ẻ K 2 , n 0 )



(3.3.9)



( 1 + e )n P n+1( u ) Ê ( I -eQ )-1 Q( u ) , ( u ẻ K 2 , n 1 )



Hay



Gi s x tựy ý trong X 2 ,

Vỡ K 2 l nún chun nờn $u, v ẻ K 2 sao cho x = u - v

Suy ra



-v Ê x Ê u v t (3.3.9)



Suy ra



-( I -eQ )-1 Q( v ) Ê ( 1 + e )n P n+1( x ) Ê ( I - eQ )-1 Q( u )



( 1 + e )n P n+1( x ) b chn trong nún K 2 m K 2 l nún chun nờn ( 1 + e )n P n+1( x ) b



Nh vy



chn vi "x ẻ X 2

Suy ra ( 1 + e )n P n+1 b chn nờn $M > 0 sao cho ( 1 + e )n P n+1 Ê M

Suy ra



P



1

n +1 n +1



1



ổ M ửn+1

ữ

Êỗ

ữ

ỗ

ỗ ( 1 + e )n ữ

ữ

ố

ứ



r( P ) < 1



Nhn xột: Trong cỏc iu kin ca nh lý 3.3.1 nghim x(z) ca phng trỡnh (3.3.1) ph thuc

n iu vo z. Nu z1 Ê z2 thỡ x( z1 ) Ê x( z2 ) .

3.3.2 Bõy gi ta xột phng trỡnh



(3.3.10)



Tx = Gx



õy T, G l cỏc toỏn t tỏc ng t X1 vo X2 , T l toỏn t tuyn tớnh, G l toỏn t phi tuyn

tha iu kin :

-B( x - y ) Ê G( x ) - G( y ) Ê B( x - y )



"x, y ẻ X 1 ; x y



(3.3.11)



õy B l toỏn t tuyn tớnh. Tng t nh lý 3.3.1 ta chng minh kt qu sau.

nh lý 3.3.2



Gi s



1. K2 nún sinh, nún chun

2. Cỏc toỏn t T, G tha cỏc iu kin (3.3.11) thờm na cỏc toỏn t T,

T-B cú toỏn t ngc dng.

Khi ú phng trỡnh (3.3.10) cú nghim duy nht.

Chng minh

Phng trỡnh (3.3.10) tng ng vi phng trỡnh



Tx - Gx = 0



t F( x ) = Tx - Gx , Do T, G tha iu kin (3.3.11) nờn ta cú

-B( x - y ) Ê T( x ) - T( y ) Ê B( x - y )

-B( x - y ) Ê G( x ) - G( y ) Ê B( x - y )



Suy ra



T( x ) - T( y ) - B( x - y ) Ê T( x ) - T( y ) - G( x ) + G( y ) Ê T( x ) - T( y ) + B( x - y ) Hay

( T - B )( x - y ) Ê F( x ) - F( y ) Ê ( T + B )( x - y )



Vi B1 = T - B; B2 = T + B l cỏc toỏn t tuyn tớnh v T, T-B cú toỏn t ngc dng nờn F

tha iu kin ca nh lý 3.3.1

Vy phng trỡnh Tx - Gx = 0 cú nghim duy nht

3.3.3 Trong phn ny ta vn xột phng trỡnh: Tx = Gx



(3.3.10)



Nu toỏn t T cú toỏn t ngc thỡ phng trỡnh (3.3.10) tng ng vi phng trỡnh sau

trong X2:

y = GT -1 y



(3.3.12)



B 3.3.1



Gi s

1. 0 Ê Gx Ê B1 x + z0 , z0 ẻ K 2 Vi B1 : X 1 X 2 tuyn tớnh dng

2. T , T - B1 cú toỏn t ngc dng

Khi ú phn t u0 = T( T - B1 )-1( z0 ) ẻ K 2 v toỏn t GT -1 bin 0,u0 vo chớnh nú

Chng minh

T ng nht thc T( T - B1 )-1 = T + B1( T - B1 )-1

u0 = T( T - B1 )-1( z0 ) = z0 + B1( T - B1 )-1( z0 )



Ta cú



Vỡ z0 ẻ K 2



( T - B1 )-1( z0 ) ẻ K1

B1( T - B1 )-1( z0 ) ẻ K 2



Vy



u0 ẻ K 2



"y ẻ 0 ,u0



0 Ê T -1 y Ê T -1u0



( do T-1 dng )



0 Ê GT -1 y Ê B1T -1 y + z0

B1T -1 y + z0 Ê B1T -1u0 + z0 ( do B1 dng)



m

Suy ra

Mt khỏc



0 Ê GT -1 y Ê B1T -1 y + z0 Ê B1T -1u0 + z0

B1T -1u0 + z0 = B1T -1( T( T - B1 )-1 )z0 + z0



= B1( T - B1 )-1 z0 + z0 = u0



Vy



GT -1( y ) ẻ 0 ,u0



nh lý 3.3.3



Gi s cỏc toỏn t T, G tha cỏc iu kin 1. v 2. ca b 3.3.1 v tha mt trong cỏc iu kin

sau :

i. K2 l nún chun v GT -1 ( 0,u0



) l tp compact tng i



ii. K2 l nún chớnh quy

iii. K2 l nún chun v X2 l khụng gian phn x

Khi ú phng trỡnh Tx = Gx cú nghim trờn



0,( T - B1 )-1 z0



Chng minh

Vỡ G tha iu kin 1. ca b 3.3.1 nờn vi



x1 Ê x2



ta cú



0 Ê G( x1 ) Ê B1 x1 + z0

0 Ê G( x2 ) Ê B1 x2 + z0



Suy ra G( x2 ) - G( x1 ) G( x2 ) - ( B1 x1 + z0 ) B1 x2 + z0 - ( B1 x1 + z0 )

G( x2 ) - G( x1 ) 0 ( do B1 tuyn tớnh dng nờn x1 Ê x2 B1 x1 Ê B1 x2 )



G( x2 ) G( x1 )



M T-1 tuyn tớnh dng nờn GT-1 tng v bin



0 ,u 0



thnh chớnh nú



Vy

i. Nu

K2 l nún chun, tp GT -1 ( 0,u0





GT -1 : 0 ,u0 0 ,u0



) l tp compact tng i



l toỏn t tng



Thỡ GT-1 cú im bt ng trờn 0 , u 0



tc $y0 ẻ 0,u0 sao cho



GT -1( y0 ) = y0



Gx0 = Tx0 vi x0 = T -1( y0 )

Hay phng trỡnh (3.3.10) cú nghim trờn 0,T -1( u0 ) = 0,( T - B1 )-1( z0 )

ii. Nu





K2 l nún chớnh quy







GT -1 : 0 ,u0 0 ,u0 l toỏn t tng



Thỡ GT-1 cú im bt ng trờn 0 , u 0

Hay phng trỡnh (3.3.10) cú nghim trờn 0,T -1( u0 ) = 0,( T - B1 )-1( z0 )

iii. Nu

K2 l nún chun, X2 l khụng gian phn x





GT -1 : 0 ,u0 0 ,u0 l toỏn t tng



Thỡ GT-1 cú im bt ng trờn 0 , u 0

Hay phng trỡnh (3.3.10) cú nghim trờn 0,T -1( u0 ) = 0,( T - B1 )-1( z0 )



Chng 4: IM BT NG CA TON T HN HP N

IU

Trong chng ny ta vn xột X l khụng gian Banach thc vi quan h th t sinh bi nún K.

4.1 Toỏn t hn hp n iu v im bt ng

Gi s D è K , toỏn t A : D D X c gi l hn hp n iu nu A( x, y ) l



khụng gim theo bin x v khụng tng theo bin y. Ngha l

"u1 ,u2 ,v1 ,v2 ẻ D ; u1 Ê u2 v v2 Ê v1 ta cú A( u1 ,v1 ) Ê A( u2 ,v2 )



im



( x* , y* ) ẻ D 2 c gi l cp im ta bt ng ca toỏn t A



A( x* , y* ) = x* v



nu



A( y* ,x* ) = y*



im x* ẻ D c gi l im bt ng ca toỏn t A nu A( x* ,x* ) = x*

Toỏn t F : D è X X c gi l li nu "x, y ẻ D m x Ê y v "t ẻ [0,1]



Ta cú F( tx + ( 1- t )y ) Ê tF( x ) + ( 1- t )F( y )



(4.1.1)



F c gi l lừm nu -F l li



nh lý 4.1.1



Gi s K l nún chun, A : K K K l toỏn t hn hp n iu, hn na:

i. Vi y c nh, A(., y ) : K K l lừm

Vi x c nh, A( x,.) : K K l li

1

2



ii. $v ẻ K sao cho v > 0 v $ c > tha



0 < A( v, 0 ) < v



(4.1.2)



v A( 0,v ) cA( v,0 )

ỡ x = A( xn-1 , yn-1 )

ù

,

Khi ú A cú duy nht im bt ng x* ẻ 0,v v t cỏc dóy lp ù n

ớ

ù yn = A( yn-1 ,xn-1 )

ù

ợ



n 1 .



Vi



cỏc



(4.1.3)

khi



u



( x0 , y0 ) ẻ 0 ,v 0,v



tựy



xn - x* 0 ; yn - x* 0 khi n Ơ .

n

ỡ

ù

ù x - x* Ê N 2 .ổ1- c ử . v

ữ

ỗ

ù n

ỗ

ù

ữ

ỗ c ữ

ố

ứ

ù

ù

Tc hi t l ớ

n

ù

ổ

ử

ù

ù yn - x* Ê N 2 .ỗ1- c ữ . v

ỗ

ù

ữ

ỗ c ữ

ù

ố

ứ

ù

ợ



Chng minh

a) Chng minh s tn ti im bt ng:



(4.1.4)



ý



,



ta



cú



t u0 = 0,v0 = v ta cú u0 < v0 .

ỡu = A( un-1 ,vn-1 )

ù

Gi s ù n

, n = 1, 2, 3,

ớ



(4.1.5)



ùvn = A( vn-1 ,un-1 )

ù

ợ



Vỡ



A



tng



theo



bin



th



nht



v



gim



theo



0 = u0 < u1 Ê u2 Ê u3 Ê ... Ê un Ê vn Ê vn-1 Ê vn-2 Ê ... Ê v1 Ê v0 = v



bin



th



hai



nờn



(4.1.6)



t gi thit ii) ca nh lý ta thy :

un u1 = A( u0 ,v0 ) m A( u0 ,v0 ) = A( 0 ,v ) cA( v, 0 ) v cA( v, 0 ) = cv1 cvn nờn suy ra



(4.1.7)



un cvn



t



tn = sup {t > 0 : un tvn } ,n = 1, 2 ,3,... suy ra tn Ê 1 ( vỡ un Ê vn )



Khi ú un tn vn v un+1 un tn vn tn vn+1 ( do (4.1.6))



(4.1.8)



T (4.1.7) v (4.1.8) suy ra

(4.1.9)



0 < c Ê t1 Ê t2 Ê ... Ê tn Ê ... Ê 1



Nờn tn ti lim tn = t* v 0 Ê t* Ê 1

xƠ



* Bõy gi ta chng minh t* = 1



Tht vy t gi thit i. ta cú cỏc h thc sau:

"x1 Ê x2 , y1 Ê y2 , t ẻ [0 ,1]

A (tx1 + ( 1- t )x2 , y ) tA( x1 , y ) + ( 1- t )A( x2 , y )



(4.1.10)



( do A(., y ) : K K l lừm )

A ( x,ty1 + ( 1- t )y2 ) Ê tA( x, y1 ) + ( 1- t )A( x, y2 )



(4.1.11)



( do A( x,.) : K K l li)

A( x, y ) = A ( x,t.t -1 y + ( 1- t ).0) Ê tA( x,t -1 y ) + ( 1- t )A( x,0 ) , "t ẻ [0 ,1] (4.1.12)



T (4.1.11) ta suy ra

1

A( x,t -1 y ) A( x, y ) - ( 1- t )A( x, 0 )

t



(4.1.13)



T (4.1.5) n (4.1.12) v gi thit A l toỏn t hn hp n iu tng ta cú

un+1 = A( un ,vn ) A( tvn ,vn )



"n = 1, 2,3,...



tn A( vn ,vn ) + ( 1- tn )A( 0 ,vn )

tn A( vn ,tn 1un ) + ( 1 - tn )A( 0 ,v )



(do A gim theo bin th nht v tng theo bin th hai)

Suy ra



un+1



tn ộờởtn 1 A( vn ,un ) - tn 1( 1- tn )A( vn ,0 )ựỳỷ + ( 1- tn )A( 0 ,v )



A( vn ,un ) - ( 1- tn )A( vn ,0 ) + ( 1- tn )A( 0 ,v )