2 Điểm tựa bất động của toán tử hỗn hợp đơn điệu

3. Nu u0 Ê A( u0 ,..,u0 ,v0 ...,v0 ), A( v0 ,..,v0 ,u0 ...,u0 ) Ê v0



Thỡ v'0 a B( u'0 ) , B( u'0 )a u' 0 trong ú u' 0 = ( u0 ,v0 ) , u' 0 = ( v0 ,u0 ) .

Chng minh:

1. Gi s A tng vi m bin u v gim vi k-m cũn li (x,y) l cp im ta bt ng ca A khi



ỡ x = A( x,x,...,x, y,..., y )

ù

v ch khi ù

ớ

ù y = A( y, y,..., y,x,x,...,x )

ù

ợ

ỡ A' ( x, y ) = x

ù

Tng ng vi ù '

ớ

ù A ( y,x ) = y

ù

ợ



hay B(x,y) = (x,y)



Vy (x,y) l im ta bt ng ca B

2. B l ỏnh x n iu tng i vi quan h a .



Thy vy ( x1 , y1 ) ,( x2 , y2 ) ẻ D' ta cú

'

ỡ '

ỡ x1 Ê x2

ù

ù

ù

ù A ( x1 , y1 ) Ê A ( x2 , y2 )

ớ

( x ( x1 , y1 )a( x2 , y2 ) ớ

ù y2 Ê y1 ù A' ( y2 ,x2 ) Ê A' ( y1 ,x1 )

ù

ù

ợ

ợ

B( y1 ,x1 )a B( y1 ,x2 )



3.Do

'

ổ

ử

ổ

ử

ỗ x , x ,...x , y,..., y ữ - A ỗ y, y,..., y , x ,..., x ữ Ê a. x - y , u0 Ê A( u0 ,u0 ,...,u0 ,v0 ,...,v0 ) = A ( u0 ,v0 )

ữ

ữ

ỗ

A ỗ ữ

ỗ

ỗ ữ

ữ

ỗ m

ỗ ữ

ữ

ữ

ố

ứ

ố m

k -m ứ

k -m



v0 A( v0 ,...,v0 ,u0 ,...,u0 , ) = A' ( v0 ,u0 )



Nờn ( u0 ,v0 ) a A' ( u0 ,v0 ), A' ( v0 ,u0 ) u' 0 a B( u0 ,v0 ) = B( u' 0 )

Tng t ta chng minh c B( v' 0 ) a ( v' 0 ) .

4.2.2. Trng hp toỏn t liờn tc.

nh lý 4.2.1



Gi s Di = D "i = 1,k , A: D1 D 2 ... D k X l toỏn t hn hp n iu cú tớnh cht:

ỡu0 Ê A( x1 ,x2 ,...xm ,xm+1 ,xm+2 ,...,xk )

ù

ù

ớ

ùv0 A( x'1 ,x' 2 ,...x' m ,x' m+1 ,x' m+2 ,...,x' k )

ù

ợ



(4.2.1)



õy xi = u0 , x' i = v0 v x j = v0 , x' j = u0 vi 1 Ê i Ê m, m+1 Ê j Ê k . Gi s mt trong cỏc iu

kin sau c tha món:

(H1) K l nún chun v A hon ton liờn tc

(H2)



K l nún chớnh quy v A l ta liờn tc yu, tc l nu xn x, yn y thỡ



yeỏu

A( xn ,..., xn , yn , yn ,..., yn ) A( x ,..., x , y, y,..., y )





khi ú A cú cp im ta bt ng



( u* ,v* ) ngha l A( u* ,...,u* ,v* ,...,v* ) = u* v A( v* ,...,v* ,v* ,u* ,...,u* ) = v* , hn na u* Ê v* v vi



cp im ta bt ng bt k (x,y) ca A ta cú

u* Ê y Ê v*



u* Ê x Ê v* ,



vi



un = A( un-1 ,...,un-1 ,vn-1 ,...,vn-1 )



;



vn = A( vn-1 ,vn-1 ,...,vn-1 ,un-1 ,un-1 ,...,un-1 ) "n 1



V u0 Ê u1 Ê ... Ê un Ê vn Ê ...v1 Ê v0



(4.2.2)



Ta cú u* = lim un , v* = lim v n

nƠ



nƠ



Chng minh: Xột ỏnh x A' :

A' : D D D xỏc nh bi A' ( x, y ) = A( x,...,x, y,..., y )



t u1 = A' ( u0 ,v0 ), v1 = A' ( v0 ,u0 )

T gi thit A hn hp iu, u0 Ê v0 nờn u0 Ê u1 Ê v1 Ê v0

Ta xỏc nh : un+1 = A' ( un ,vn )

vn+1 = A' ( vn ,un )



T gi thit un-1 Ê un Ê vn Ê vn-1 v A hn hp n iu nờn un Ê un+1 Ê vn

do ú ta cú



(4.2.4)



* Ta s chng minh: un u* ,vn v* ẻ X



trong 2 trng hp:



a) Nu cú (H1)

Vỡ K l nún chun nờn dóy {xn} b chn m A hon ton liờn tc nờn tp {u1 ,u2 ,u3 ,...,un ,...} l

tp compact tng i .

Do ú tn ti dóy {unk } è {un }n sao cho unk u* ,u* ẻ X khi khi k Ơ

k



Suy ra un u* khi n Ơ (do K l nún chun v dóy {xn} n iu )

Suy ra un Ê u* , "n 1

Chng minh tng t ta cú c vn v* ,v* ẻ X khi n Ơ

Vy ta cú un Ê u* Ê v* Ê vn , "n 1

b) Nu cú (H2)

T gi thit (4.2.4) v K l nún chớnh quy nờn suy ra un u* , vn v* khi n +Ơ

Vỡ A ta liờn tc nờn :

yeỏu

un+1 = A' (un , vn ) A' (u* , v* ) khi n Ơ



yeỏu

vn+1 = A' (vn , un ) A' (v* , u* ) khi n Ơ





ỡu* = A' ( u* ,v* )

ù

Cho n Ơ , ỏp dng (4.2.5) ta c ù *

ớ

ùv = A' ( v* ,u* )

ù

ợ



Nh vy ( u* ,v* ) l cp im ta bt ng ca A' v rừ rng u* Ê v*

ỡu* Ê x Ê v*

ù

* Bõy gi ta gi s ( x, y ) l mt cp im ta bt ng bt kỡ ca A ta chng minh ù

ớ *

ùu Ê y Ê v*

ù

ợ

'



ỡ x = A' ( x, y )

ù

Tht vy ù

ớ

ù y = A' ( y,x )

ù

ợ

ỡu Ê x Ê v

ỡ A' ( u ,v ) Ê A' ( x, y ) Ê A' ( v ,u )

ù 0

ù

0

0 0

0

0

vỡ ù

ù

ớ

ớ '

ùu Ê y Ê v

ù A ( u ,v ) Ê A' ( y,x ) Ê A' ( v ,u )

ù 0

ù

0

0 0

0

0

ợ

ợ



ỡu Ê x Ê v

ù

1

hay ù 1

ớ

ùu Ê y Ê v

ù 1

1

ợ



ỡu Ê x Ê v

ù n

n

Bng phng phỏp chng minh quy np ta c: ù

ớ

ùu Ê y Ê v

ù n

n

ợ

ỡu* Ê x Ê v*

ù

Cho n Ơ ta cú ù

ớ *

ùu Ê y Ê v*

ù

ợ



nh lý 4.2.2



Gi s cỏc iu kin ca nh lý 4.2.1 c tha mn, hn na $a : 0 < a < 1 sao cho

ổ

ử

ổ

ử

ỗ x , x ,...x y,..., y ữ

ỗ y, y y x ,..., x ữ

ữ

ữ

ỗ

ỗ

A ỗ , ữ - A ỗ ,..., , ữ Ê a. x - y ; "x , y ẻ D

ữ

ỗ m bieỏn k -n ữ

ỗ ữ

ố

ố m bieỏn k -m bieỏn ữ

ứ

m bieỏ ứ



(4.2.3)



Khi ú A cú duy nht im bt ng x ẻ D

Chng minh:

ổ

ử

ỗ x,x,...x y,..., yữ

Ta cng gi s A' ( x, y ) = Aỗ , ữ

ữ

ỗ

ỗ m ữ

ố

k -m ứ



Do toỏn t A hn hp n iu nờn A' cng l toỏn t hn hp n iu

T (4.2.6) ta cú

vn+1 - un+1 Ê A' (vn ,un ) - A' (un ,vn ) Ê a . vn - un , n = 1, 2 ,...



Lp li lp lun trờn ta cú

vn+1 - un+1 Ê a n . v1 - u1

Cho n Ơ , ta c vn+1 - un+1 0 ( do 0 < a < 1 )



T kt lun ca nh lý 4.2.1 ta cú x = u* = v*

Vy x l im bt ng duy nht ca A

Nhn xột:



Rừ rng vi k = 1 thỡ iu kin (4.2.6) l iu kin Lipschits truyn thng ó bit cho ỏnh x

co.

4.2.3 Trng hp toỏn t khụng liờn tc

nh lý 4.2.3



Gi s u0 ,v0 ẻ X , K l nún Minihedral mnh . Toỏn t A : u0 ,v0



k



X l toỏn t hn hp



ỡ

ổ

ử

ù

ù

ữ

ùu Ê A ỗu , u ,...u , v ,..., v ữ

ỗ

ữ

ỗ 0 0

ù

0

0

0ữ

ỗ ữ

ù 0

ỗ m bieỏn

ù

ố

ứ

k -m bieỏn

n iu sao cho tha ù

.

ớ

ù

ổ

ử

ù

ữ

ỗ

ù

ữ

ỗ

ữ

ùv0 A ỗv0 , v0 ,...v0 , u0 ,..., u0 ữ

ù

ỗ ữ

ỗ m bieỏn

ù

ố

k -m bieỏn ứ

ù

ợ



Khi ú A cú cp im ta bt ng (u* ,v* ) vi u* Ê v* . Hn na vi cp im ta bt ng

ỡu* Ê x Ê v*

ù

bt kỡ ( x, y ) ca toỏn t A ta luụn cú ù *

.

ớ

ùu Ê y Ê v*

ù

ợ



Chng minh

Vi D' = D D, X' = X X , trong X ' xột nún K ' = K ( -K ) .

Xột toỏn t B : D' X ' sao cho B( x, y ) = ( A' ( x, y ), A' ( y,x ))



Vỡ



ỡ

ổ

ử

ù

ù

ữ

ùu Ê A ỗu , u ,...u , v ,..., v ữ

ỗ

ữ

ỗ 0 0

ù

0

0

0ữ

ỗ ữ

ù 0

ỗ m bieỏn

ù

ố

k -m bieỏn ứ

ù

ớ

ù

ổ

ử

ù

ữ

ùv A ỗv , v ,...v , u ,..., u ữ

ữ

ỗ

ù 0

ỗ ữ

0

0

0

0

0

ù

ỗ

ữ

ỗ m bieỏn

ù

ố

k -m bieỏn ứ

ù

ợ



nờn theo b 4.2.1



thỡ



(v0 ,u0 ) a B (u0 ,v0 ) m



ỡv0 Ê A' ( u0 ,v0 )

ù

B (u0 ,v0 ) = ( A ( u0 ,v0 ), A ( v0 ,u0 )) nờn ta cú ù

ớ

ùu0 A' ( v0 ,u0 )

ù

ợ

'



'



Ta chng minh B l toỏn t n iu t D' vo X '



Ta cú B( D' ) è X ' v theo b 4.2.1 thỡ B l ỏnh x n iu

Chng minh B cú im bt ng



Do K l nún Minihdral mnh nờn K ' cng l nún Minihdral mnh .

p dng nh lý 2.3.1 i vi toỏn t B ta suy ra B cú im bt ng u = (u* ,v* )

Vy theo b 4.2.1 thỡ A cng cú im ta bt ng l (u* ,v* )

Chng minh u* Ê v*



ỡu* Ê x' Ê v*

ù

Gi s (u ,v ) l cp im ta bt ng bt kỡ ca A' , Ta chng minh ù *

ớ

ùu Ê y' Ê v*

ù

ợ

'



'



Chỳ ý :

Cp im ta bt ng (u* ,v* ) trong nh lý 4.2.2 cú th c xỏc nh rừ hn . Chng hn ta t



{



D = ( x,...,x, y,..., y ) ẻ u0 ,v0



k



: A( x,...,x, y,..., y ) x & A( y,..., y,x,...,x ) Ê y



}



T gi thit (4.2.1) ta suy ra D ạ f

Gi s D1 = { x : ( x,...,x, y,..., y ) ẻ D}

D2 = { y : ( y,..., y,x,...,x ) ẻ D}



Vy v* = sup D1 , u* = infD2

nh lý 4.2.4



Gi s u0 ,v0 ẻ X , u0 < v0 v A : u0 ,v0



(



trong nh lý (4.2.1) v A u0 ,v0



k



k



X l toỏn t hn hp n iu tha (4.2.1)



) l tp compact tng i trong X.



Khi ú A cú cp im ta bt ng.

Chng minh:

t D' = u0 ,v0 u0 ,v0 , X ' = X X v

B : D' X '

u' B( u' ) = B( u,v ) = ( A' ( u,v ), A' ( v,u ))



Do A tha iu kin (4.2.1) trong nh lý 4.2.1 v A l toỏn t hn hp n iu nờn suy ra



(



B l toỏn t tng . Mt khỏc do A u0 ,v0



k



) l tp compact tng i trong X nờn suy ra



B(D)



compact tng i trong X v K l nún chun nờn theo h qu 2.1.1 thỡ B cú im bt ng



(u* ,v* ) trờn D nờn suy ra A cú cp im ta bt ng (u* ,v* )

nh lý 4.2.5



Gi s u0 ,v0 ẻ X , u0 < v0 v A : u0 ,v0



k



X l toỏn t hn hp n iu tha (4.2.1)



trong nh lý (4.2.1) v K l nún chớnh quy.

Khi ú A cú cp im ta bt ng (u* ,v* ) vi u* Ê v* . Hn na nu



( x, y ) l im ta bt



ng no ú ca A thỡ u* Ê x , y Ê v*

Chng minh

Kt qu suy c khi s dng b 4.2.1 , h qu 2.2.1 v toỏn t B c xỏc nh trong b

4.2.1



Chng 5: NG DNG

5.1 Bi toỏn tỡm nghim tun hon chu kỡ 2p ca phng trỡnh

x' + a( t ).x = f (t ,x( t ),x( t - h ))



(5.1.1)



Ta tỡm nghim ca phng trỡnh (5.1.1) l tỡm hm x = x(t) cú chu kỡ 2p liờn tc tuyt

i v tha (5.1.1) hu khp ni.

Gi s

2p



a(t) liờn tc, cú chu kỡ 2p ,



ũ a( t )dt > 0

0



f(t,x,y) b chn trờn 3 , liờn tc theo t, cú chu kỡ 2p theo t v tng theo x, y.



Ta chng minh rng vi cỏc gi thit trờn thỡ phng trỡnh (5.1.1) cú ớt nht mt nghim

tun hon vi chu kỡ 2p .

Chng minh

ỡ x' + a( t ).x = g( t )

ù

, t ẻ l

Cụng thc nghim ca phng trỡnh ù

ớ

ù x( t0 ) = x0

ù

ợ

t

u

ộ

ự

t

ũ a( s )ds ờ

ũ a( s )ds

ỳ

x( t ) = e t0

. ờờ x0 + ũ e t0

g( u )du ỳỳ

ờ

ỳ

t0

ờở

ỳỷ



-



Xột t0 = 0 v ta mun tỡm nghim tha x( 0 ) = x( 2p )

2p

u

ộ

ự

2p

ũ a( s )ds ờ

ũ a( s )ds

ỳ

Ta cú x0 = x( 2p ) = e 0

. ờ x0 + ũ e 0

g( u )du ỳ

ờ

ỳ

0

ờ

ỳ

ở

ỷ



-



2p



ũ

x0 .e 0



u



a( s )ds



ũ a( s )ds

g( u )du

- x0 = ũ e 0

2p



0



-1



ộ a( s )ds ự 2p u a( s )ds

ũ

ờ ũ

ỳ

g( u )du

x0 = ờe 0

-1ỳ .ũ e 0

ờ

ỳ

ờ

ỳ 0

ở

ỷ

2p



Khi ú (5.1.2) tr thnh



(5.1.2)



-1



u

0

ộ 2 p a( s )ds ự 2p u a( s )ds

t

a( s )ds ũ a( s )ds

ũ

ũ

ũ

ờ ũ

ỳ

-1ỳ .ũ e 0

x( t ) = e 0

. ờe 0

g( u )du + ũ e 0

.e t

g( u )du

ờ

ỳ

0

ờ

ỳ 0

ở

ỷ

-1

u

ộ 2 p a( s )ds ự 2p u a( s )ds

t

ũ

ũ a( s )ds

ờ ũ

ỳ

= ờe 0

-1ỳ .ũ e t

g( u )du + ũ e t

.g( u )du

ờ

ỳ

0

ờ

ỳ 0

ở

ỷ

t



-



Xột



a( s )ds



ỏnh



S : C0 [ 0; 2p ] C0 [ 0; 2p ]



x



c



xỏc



nh



bi



ỡ x (t - h)

ù

neỏu h Ê t Ê 2p

Sx (t ) = ù

ớ

ù x (t + 2p - h) neỏu 0 Ê t Ê h

ù

ợ



Ta cú x = x(t) cú chu kỡ 2p v tha (5.1.1) tng ng vi x = x(t) cú chu kỡ 2p v

x' + a( t )x = f (t,x( t ),Sx( t )) , t ẻ [0; 2p] hay

ỡ x( 0 ) = x( 2p )

ù

ù

ớ '

ù x + a( t )x = f (t,x( t ),Sx( t )) , t ẻ [0; 2p]

ù

ợ



Xột ỏnh x F : C0 [ 0; 2p ] C0 [ 0; 2p ] c xỏc nh bi

-1



ộ 2 p a( s )ds ự 2p u a( s )ds

ũ

ờ ũ

ỳ

Fx( t ) = ờe 0

f (u,x( u ),Sx( u )) du +

-1ỳ .ũ e t

ờ

ỳ

ờ

ỳ 0

ở

ỷ



u



t



ũe



ũ a( s )ds

t



. f (u,x( u ),Sx( u )) du



0



Nu x l im bt ng ca F thỡ ta cú x( 0 ) = x( 2p ) , x' ( 0 ) = x' ( 2p ) nờn t x ta cú th

xõy dng nghim chu kỡ 2p ca (5.1.1)

Bõy gi ta chng minh F cú im bt ng



i. Ta cú F l ỏnh x tng ( do f l ỏnh x tng theo bin x,y)

Do f b chn trờn 3 nờn tn ti m > 0 sao cho f ( t,x, y ) Ê m , "t,x, y

-1

u

u

ỡộ 2 p

ỹ

ù

ù

ùờ ũ a( s )ds ựỳ 2p ũ a( s )ds

t

ũ a( s )ds ù

ù

ù

Fx( t ) Ê m ùờe 0

-1ỳ .ũ e 0

du + ũ e t

duù

ớờ



ỳ

ù

ù

ùờ

ù

0

ỳ 0

ùở

ù

ỷ

ù

ù

ợ



2p



M do a(t) l hm liờn tc , cú chu kỡ 2p v



ũ a( t )dt > 0

0



cho

Fx( t ) Ê b , "t ẻ [0, 2p] , "x ẻ C0 [ 0; 2p ]



- b Ê Fx( t ) Ê b , "x ẻ C0 [ 0; 2p ]



nờn cú s b ln sao