3 Phương trình toán tử ngược dương

T gi thit (3.3.2) ta cú ỏnh giỏ :

B1 D-1( u - v ) Ê FD-1( u ) - FD-1( v ) Ê B2 D-1( u - v )



Suy ra



( I - B2 D-1 )( u - v ) Ê A( u ) - A( v ) Ê ( I - B1 D-1 )( u - v )



M B2 = 2 D - B1 nờn

( I - B2 D-1 )( u - v ) = ( I - ( 2 D - B1 )D-1 )( u - v )

= ( -I + B1 D-1 )( u - v )

= -( I - B1 D-1 )( u - v )



Suy ra , vi u,v ẻ X 2 , u v

-( I - B1 D-1 )( u - v ) Ê A( u ) - A( v ) Ê ( I - B1 D-1 )( u - v )



(3.3.4)



õy bt ng thc (3.3.4) cú th xem nh bt ng thc (3.2.3) trong nh lý3.2.1. Vỡ vy

hon thnh chng minh ta ch cn ch ra

r( I - B1 D-1 ) < 1



(3.3.5)



Ta cú I - B1 D-1 l toỏn t tuyn tớnh t X 1 vo X 2





I - B1 D-1 l toỏn t dng ( suy ra t (3.3.4))



Nờn suy ra I - B1 D-1 l liờn tc (vỡ K1 l nún sinh v K2 l nún chun m I - B1 D-1 l toỏn t

tuyn tớnh dng t K1 vo K2 )

Khi ú B1 D-1 cú toỏn t ngc l DB1-1 v DB1-1 liờn tc

Biu thc (3.3.5) c chng minh nu ta cú c ỏnh giỏ

r( P ) < 1



Trong ú P = I - B1 D-1 , Q = DB1-1 - I



(3.3.6)

(3.3.7)



Cỏc toỏn t P, Q trong (3.3.7) l dng v chỳng liờn h vi nhau bi h thc :

Q = P( I - P )-1 = ( I - P )-1 P



Gi s e > 0 v r( eQ ) < 1 khi ú ( I -eQ ) cú toỏn t ngc liờn tc .

( I -eQ )-1 = I + eQ + e 2Q 2 + ... + e nQ n + ...



Hn na t tớnh dng ca Q suy ra tớnh dng ca ( I -eQ )-1 .

T ng nht I - ( 1 + e )P = ( I - P )( I -eQ )



(3.3.8)



Suy ra toỏn t ( I - ( 1 + e )P ) cú toỏn t ngc liờn tc v vi mi n 1 cú

ộ n+1

ự

ờ ồ ( 1 + e ) j P j ỳ = ( I - ( 1 + e )P )-1

ờ j =0

ỳ

ở

ỷ



Suy ra



ộ n

ự

ờ ồ ( 1 + e ) j P j ỳ P = ( I -eQ )-1( I - P )-1 P - ( 1 + e )n+1 P n+2

ờ j =0

ỳ

ở

ỷ



= ( I - eQ )-1 Q - ( 1 + e )n+1 P n+2



Qua ú ta thy toỏn t dng P tha iu kin

( 1 + e )n+1 P n+2 ( u ) Ê ( I -eQ )-1 Q( u ) , ( u ẻ K 2 , n 0 )



(3.3.9)



( 1 + e )n P n+1( u ) Ê ( I -eQ )-1 Q( u ) , ( u ẻ K 2 , n 1 )



Hay



Gi s x tựy ý trong X 2 ,

Vỡ K 2 l nún chun nờn $u, v ẻ K 2 sao cho x = u - v

Suy ra



-v Ê x Ê u v t (3.3.9)



Suy ra



-( I -eQ )-1 Q( v ) Ê ( 1 + e )n P n+1( x ) Ê ( I - eQ )-1 Q( u )



( 1 + e )n P n+1( x ) b chn trong nún K 2 m K 2 l nún chun nờn ( 1 + e )n P n+1( x ) b



Nh vy



chn vi "x ẻ X 2

Suy ra ( 1 + e )n P n+1 b chn nờn $M > 0 sao cho ( 1 + e )n P n+1 Ê M

Suy ra



P



1

n +1 n +1



1



ổ M ửn+1

ữ

Êỗ

ữ

ỗ

ỗ ( 1 + e )n ữ

ữ

ố

ứ



r( P ) < 1



Nhn xột: Trong cỏc iu kin ca nh lý 3.3.1 nghim x(z) ca phng trỡnh (3.3.1) ph thuc

n iu vo z. Nu z1 Ê z2 thỡ x( z1 ) Ê x( z2 ) .

3.3.2 Bõy gi ta xột phng trỡnh



(3.3.10)



Tx = Gx



õy T, G l cỏc toỏn t tỏc ng t X1 vo X2 , T l toỏn t tuyn tớnh, G l toỏn t phi tuyn

tha iu kin :

-B( x - y ) Ê G( x ) - G( y ) Ê B( x - y )



"x, y ẻ X 1 ; x y



(3.3.11)



õy B l toỏn t tuyn tớnh. Tng t nh lý 3.3.1 ta chng minh kt qu sau.

nh lý 3.3.2



Gi s



1. K2 nún sinh, nún chun

2. Cỏc toỏn t T, G tha cỏc iu kin (3.3.11) thờm na cỏc toỏn t T,

T-B cú toỏn t ngc dng.

Khi ú phng trỡnh (3.3.10) cú nghim duy nht.

Chng minh

Phng trỡnh (3.3.10) tng ng vi phng trỡnh



Tx - Gx = 0



t F( x ) = Tx - Gx , Do T, G tha iu kin (3.3.11) nờn ta cú

-B( x - y ) Ê T( x ) - T( y ) Ê B( x - y )

-B( x - y ) Ê G( x ) - G( y ) Ê B( x - y )



Suy ra



T( x ) - T( y ) - B( x - y ) Ê T( x ) - T( y ) - G( x ) + G( y ) Ê T( x ) - T( y ) + B( x - y ) Hay

( T - B )( x - y ) Ê F( x ) - F( y ) Ê ( T + B )( x - y )



Vi B1 = T - B; B2 = T + B l cỏc toỏn t tuyn tớnh v T, T-B cú toỏn t ngc dng nờn F

tha iu kin ca nh lý 3.3.1

Vy phng trỡnh Tx - Gx = 0 cú nghim duy nht

3.3.3 Trong phn ny ta vn xột phng trỡnh: Tx = Gx



(3.3.10)



Nu toỏn t T cú toỏn t ngc thỡ phng trỡnh (3.3.10) tng ng vi phng trỡnh sau

trong X2:

y = GT -1 y



(3.3.12)



B 3.3.1



Gi s

1. 0 Ê Gx Ê B1 x + z0 , z0 ẻ K 2 Vi B1 : X 1 X 2 tuyn tớnh dng

2. T , T - B1 cú toỏn t ngc dng

Khi ú phn t u0 = T( T - B1 )-1( z0 ) ẻ K 2 v toỏn t GT -1 bin 0,u0 vo chớnh nú

Chng minh

T ng nht thc T( T - B1 )-1 = T + B1( T - B1 )-1

u0 = T( T - B1 )-1( z0 ) = z0 + B1( T - B1 )-1( z0 )



Ta cú



Vỡ z0 ẻ K 2



( T - B1 )-1( z0 ) ẻ K1

B1( T - B1 )-1( z0 ) ẻ K 2



Vy



u0 ẻ K 2



"y ẻ 0 ,u0



0 Ê T -1 y Ê T -1u0



( do T-1 dng )



0 Ê GT -1 y Ê B1T -1 y + z0

B1T -1 y + z0 Ê B1T -1u0 + z0 ( do B1 dng)



m

Suy ra

Mt khỏc



0 Ê GT -1 y Ê B1T -1 y + z0 Ê B1T -1u0 + z0

B1T -1u0 + z0 = B1T -1( T( T - B1 )-1 )z0 + z0



= B1( T - B1 )-1 z0 + z0 = u0



Vy



GT -1( y ) ẻ 0 ,u0



nh lý 3.3.3



Gi s cỏc toỏn t T, G tha cỏc iu kin 1. v 2. ca b 3.3.1 v tha mt trong cỏc iu kin

sau :

i. K2 l nún chun v GT -1 ( 0,u0



) l tp compact tng i



ii. K2 l nún chớnh quy

iii. K2 l nún chun v X2 l khụng gian phn x

Khi ú phng trỡnh Tx = Gx cú nghim trờn



0,( T - B1 )-1 z0



Chng minh

Vỡ G tha iu kin 1. ca b 3.3.1 nờn vi



x1 Ê x2



ta cú



0 Ê G( x1 ) Ê B1 x1 + z0

0 Ê G( x2 ) Ê B1 x2 + z0



Suy ra G( x2 ) - G( x1 ) G( x2 ) - ( B1 x1 + z0 ) B1 x2 + z0 - ( B1 x1 + z0 )

G( x2 ) - G( x1 ) 0 ( do B1 tuyn tớnh dng nờn x1 Ê x2 B1 x1 Ê B1 x2 )



G( x2 ) G( x1 )



M T-1 tuyn tớnh dng nờn GT-1 tng v bin



0 ,u 0



thnh chớnh nú



Vy

i. Nu

K2 l nún chun, tp GT -1 ( 0,u0





GT -1 : 0 ,u0 0 ,u0



) l tp compact tng i



l toỏn t tng



Thỡ GT-1 cú im bt ng trờn 0 , u 0



tc $y0 ẻ 0,u0 sao cho



GT -1( y0 ) = y0



Gx0 = Tx0 vi x0 = T -1( y0 )

Hay phng trỡnh (3.3.10) cú nghim trờn 0,T -1( u0 ) = 0,( T - B1 )-1( z0 )

ii. Nu





K2 l nún chớnh quy







GT -1 : 0 ,u0 0 ,u0 l toỏn t tng



Thỡ GT-1 cú im bt ng trờn 0 , u 0

Hay phng trỡnh (3.3.10) cú nghim trờn 0,T -1( u0 ) = 0,( T - B1 )-1( z0 )

iii. Nu

K2 l nún chun, X2 l khụng gian phn x





GT -1 : 0 ,u0 0 ,u0 l toỏn t tng



Thỡ GT-1 cú im bt ng trờn 0 , u 0

Hay phng trỡnh (3.3.10) cú nghim trờn 0,T -1( u0 ) = 0,( T - B1 )-1( z0 )



Chng 4: IM BT NG CA TON T HN HP N

IU

Trong chng ny ta vn xột X l khụng gian Banach thc vi quan h th t sinh bi nún K.

4.1 Toỏn t hn hp n iu v im bt ng

Gi s D è K , toỏn t A : D D X c gi l hn hp n iu nu A( x, y ) l



khụng gim theo bin x v khụng tng theo bin y. Ngha l

"u1 ,u2 ,v1 ,v2 ẻ D ; u1 Ê u2 v v2 Ê v1 ta cú A( u1 ,v1 ) Ê A( u2 ,v2 )



im



( x* , y* ) ẻ D 2 c gi l cp im ta bt ng ca toỏn t A



A( x* , y* ) = x* v



nu



A( y* ,x* ) = y*



im x* ẻ D c gi l im bt ng ca toỏn t A nu A( x* ,x* ) = x*

Toỏn t F : D è X X c gi l li nu "x, y ẻ D m x Ê y v "t ẻ [0,1]



Ta cú F( tx + ( 1- t )y ) Ê tF( x ) + ( 1- t )F( y )



(4.1.1)



F c gi l lừm nu -F l li



nh lý 4.1.1



Gi s K l nún chun, A : K K K l toỏn t hn hp n iu, hn na:

i. Vi y c nh, A(., y ) : K K l lừm

Vi x c nh, A( x,.) : K K l li

1

2



ii. $v ẻ K sao cho v > 0 v $ c > tha



0 < A( v, 0 ) < v



(4.1.2)



v A( 0,v ) cA( v,0 )

ỡ x = A( xn-1 , yn-1 )

ù

,

Khi ú A cú duy nht im bt ng x* ẻ 0,v v t cỏc dóy lp ù n

ớ

ù yn = A( yn-1 ,xn-1 )

ù

ợ



n 1 .



Vi



cỏc



(4.1.3)

khi



u



( x0 , y0 ) ẻ 0 ,v 0,v



tựy



xn - x* 0 ; yn - x* 0 khi n Ơ .

n

ỡ

ù

ù x - x* Ê N 2 .ổ1- c ử . v

ữ

ỗ

ù n

ỗ

ù

ữ

ỗ c ữ

ố

ứ

ù

ù

Tc hi t l ớ

n

ù

ổ

ử

ù

ù yn - x* Ê N 2 .ỗ1- c ữ . v

ỗ

ù

ữ

ỗ c ữ

ù

ố

ứ

ù

ợ



Chng minh

a) Chng minh s tn ti im bt ng:



(4.1.4)



ý



,



ta



cú



t u0 = 0,v0 = v ta cú u0 < v0 .

ỡu = A( un-1 ,vn-1 )

ù

Gi s ù n

, n = 1, 2, 3,

ớ



(4.1.5)



ùvn = A( vn-1 ,un-1 )

ù

ợ



Vỡ



A



tng



theo



bin



th



nht



v



gim



theo



0 = u0 < u1 Ê u2 Ê u3 Ê ... Ê un Ê vn Ê vn-1 Ê vn-2 Ê ... Ê v1 Ê v0 = v



bin



th



hai



nờn



(4.1.6)



t gi thit ii) ca nh lý ta thy :

un u1 = A( u0 ,v0 ) m A( u0 ,v0 ) = A( 0 ,v ) cA( v, 0 ) v cA( v, 0 ) = cv1 cvn nờn suy ra



(4.1.7)



un cvn



t



tn = sup {t > 0 : un tvn } ,n = 1, 2 ,3,... suy ra tn Ê 1 ( vỡ un Ê vn )



Khi ú un tn vn v un+1 un tn vn tn vn+1 ( do (4.1.6))



(4.1.8)



T (4.1.7) v (4.1.8) suy ra

(4.1.9)



0 < c Ê t1 Ê t2 Ê ... Ê tn Ê ... Ê 1



Nờn tn ti lim tn = t* v 0 Ê t* Ê 1

xƠ



* Bõy gi ta chng minh t* = 1



Tht vy t gi thit i. ta cú cỏc h thc sau:

"x1 Ê x2 , y1 Ê y2 , t ẻ [0 ,1]

A (tx1 + ( 1- t )x2 , y ) tA( x1 , y ) + ( 1- t )A( x2 , y )



(4.1.10)



( do A(., y ) : K K l lừm )

A ( x,ty1 + ( 1- t )y2 ) Ê tA( x, y1 ) + ( 1- t )A( x, y2 )



(4.1.11)



( do A( x,.) : K K l li)

A( x, y ) = A ( x,t.t -1 y + ( 1- t ).0) Ê tA( x,t -1 y ) + ( 1- t )A( x,0 ) , "t ẻ [0 ,1] (4.1.12)



T (4.1.11) ta suy ra

1

A( x,t -1 y ) A( x, y ) - ( 1- t )A( x, 0 )

t



(4.1.13)



T (4.1.5) n (4.1.12) v gi thit A l toỏn t hn hp n iu tng ta cú

un+1 = A( un ,vn ) A( tvn ,vn )



"n = 1, 2,3,...



tn A( vn ,vn ) + ( 1- tn )A( 0 ,vn )

tn A( vn ,tn 1un ) + ( 1 - tn )A( 0 ,v )



(do A gim theo bin th nht v tng theo bin th hai)

Suy ra



un+1



tn ộờởtn 1 A( vn ,un ) - tn 1( 1- tn )A( vn ,0 )ựỳỷ + ( 1- tn )A( 0 ,v )



A( vn ,un ) - ( 1- tn )A( vn ,0 ) + ( 1- tn )A( 0 ,v )