1 Bài toán tìm nghiệm tuần hoàn chu kì 2p của phương trình
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (649.85 KB, 56 trang )
-1
u
0
ộ 2 p a( s )ds ự 2p u a( s )ds
t
a( s )ds ũ a( s )ds
ũ
ũ
ũ
ờ ũ
ỳ
-1ỳ .ũ e 0
x( t ) = e 0
. ờe 0
g( u )du + ũ e 0
.e t
g( u )du
ờ
ỳ
0
ờ
ỳ 0
ở
ỷ
-1
u
ộ 2 p a( s )ds ự 2p u a( s )ds
t
ũ
ũ a( s )ds
ờ ũ
ỳ
= ờe 0
-1ỳ .ũ e t
g( u )du + ũ e t
.g( u )du
ờ
ỳ
0
ờ
ỳ 0
ở
ỷ
t
-
Xột
a( s )ds
ỏnh
S : C0 [ 0; 2p ] C0 [ 0; 2p ]
x
c
xỏc
nh
bi
ỡ x (t - h)
ù
neỏu h Ê t Ê 2p
Sx (t ) = ù
ớ
ù x (t + 2p - h) neỏu 0 Ê t Ê h
ù
ợ
Ta cú x = x(t) cú chu kỡ 2p v tha (5.1.1) tng ng vi x = x(t) cú chu kỡ 2p v
x' + a( t )x = f (t,x( t ),Sx( t )) , t ẻ [0; 2p] hay
ỡ x( 0 ) = x( 2p )
ù
ù
ớ '
ù x + a( t )x = f (t,x( t ),Sx( t )) , t ẻ [0; 2p]
ù
ợ
Xột ỏnh x F : C0 [ 0; 2p ] C0 [ 0; 2p ] c xỏc nh bi
-1
ộ 2 p a( s )ds ự 2p u a( s )ds
ũ
ờ ũ
ỳ
Fx( t ) = ờe 0
f (u,x( u ),Sx( u )) du +
-1ỳ .ũ e t
ờ
ỳ
ờ
ỳ 0
ở
ỷ
u
t
ũe
ũ a( s )ds
t
. f (u,x( u ),Sx( u )) du
0
Nu x l im bt ng ca F thỡ ta cú x( 0 ) = x( 2p ) , x' ( 0 ) = x' ( 2p ) nờn t x ta cú th
xõy dng nghim chu kỡ 2p ca (5.1.1)
Bõy gi ta chng minh F cú im bt ng
i. Ta cú F l ỏnh x tng ( do f l ỏnh x tng theo bin x,y)
Do f b chn trờn 3 nờn tn ti m > 0 sao cho f ( t,x, y ) Ê m , "t,x, y
-1
u
u
ỡộ 2 p
ỹ
ù
ù
ùờ ũ a( s )ds ựỳ 2p ũ a( s )ds
t
ũ a( s )ds ù
ù
ù
Fx( t ) Ê m ùờe 0
-1ỳ .ũ e 0
du + ũ e t
duù
ớờ
ỳ
ù
ù
ùờ
ù
0
ỳ 0
ùở
ù
ỷ
ù
ù
ợ
2p
M do a(t) l hm liờn tc , cú chu kỡ 2p v
ũ a( t )dt > 0
0
cho
Fx( t ) Ê b , "t ẻ [0, 2p] , "x ẻ C0 [ 0; 2p ]
- b Ê Fx( t ) Ê b , "x ẻ C0 [ 0; 2p ]
nờn cú s b ln sao
Chn x1 ẻ C0 [ 0; 2p ] sao cho x1( t ) = b "t ẻ [0 , 2p]
suy ra
x1( t ) = b v
tha
ỡ-x1 Ê Fx1
ù
ù
ớ
ù Fx1 Ê x1
ù
ợ
Vy F ( -x1 ,x1 ) è -x1 ,x1
ii. Ta chng minh F ( -x1 ,x1
) l tp compact tng i
Vi x ẻ C0 [ 0; 2p ] cho trc, ta cú
2p
t
Fx( t ) = c.ũ h( t,u )du + ũ k( t,u )du
0
0
2p
t
ảh
ảk
( Fx ) ( t ) = c.ũ
( t,u )du + ũ
( t,u )du + k( t,u )
ảt
ảt
0
0
'
Nờn $M > 0 sao cho ( Fx )' ( t ) Ê M , "t ẻ [0 ,2p] ( do f b chn trờn 3 )
( Fx )' ( t ) Ê M , "t ẻ [0 , 2p] , "x ẻ C0 [ 0; 2p ]
Hay $M > 0 sao cho ( Fx )' ( t ) Ê M , "x ẻ -x1 ,x1 , "t ẻ [0 , 2p]
Nờn theo nh lý Ascoli-Azela ta cú F ( -x1 ,x1
) l tp compact tng i
iii. Mt khỏc nún cỏc hm khụng õm trong C0 [ 0; 2p ] l nún chun
Vy theo h qu 2.1.1 thỡ F cú im bt ng x trong -x1 ,x1
5.2 Xột phng trỡnh
-x" = lf ( t,x )
(5.2.1)
vi x( 0 ) = x( 1 ) = 0
õy l l tham s , f ( t,x )
xỏc nh v liờn tc trờn on ộở 0,1ựỷ ộở 0, Ơ) ,
x = x( t ) 0 v f ( t,0 ) 0 . Rừ rng ta thy xl ( t ) 0 l nghim tm thng ca phng
trinh (5.2.1) vi bt kỡ l . Bõy gi ta gi thit :
i. f(t,x) l hm tng theo bin x. Ngha l
0 Ê t Ê 1,
0 Ê x1 Ê x2 ta cú
f ( t,x1 ) Ê f ( t,x2 )
ii. f ( t ,x ) > 0 " t ẻ (0,1) , x > 0
iii.
f ( t,x )
hi t u n 0 vi t ẻ [0 ,1] khi x +Ơ
x
Khi ú Vi bt kỡ M > 0 thỡ tn ti s R > 0 sao cho khi l R cú ớt nht mt nghim
khụng tm thng xl ( t ) ẻ C 2 [0,1] tha món xl ( t ) Mt( 1- t ) "t ẻ [0 ,1]
Chng minh
Ta cú bi toỏn (5.2.1) tng ng vi vic tỡm nghim thuc C [0 ,1] ca phng trỡnh
1
sau x( t ) = l ũ G( t,s ). f ( s,x( s ))ds
0
õy hm G(t,s) l hm Green ca toỏn t vi phõn
x " vi iu kin biờn
ỡt( 1- s ) , t Ê s
ù
x( 0 ) = x( 1 ) = 0 v c xỏc nh bi G( t,s ) = ù
ớ
ùs( 1- t ) , t > s
ù
ợ
Ta xột toỏn t A : P E c xỏc nh bi
1
Ax( t ) = ũ G( t,s ) f ( s,x( s ))ds
0
t E = C[ 0;1 ] v P = { x ẻ C[ 0;1 ] / x( t ) 0 , "t ẻ [ 0;1 ] }
* Rừ rng P l nún chun ca ca E
* Ta thy A l hm tng do gi thit i.
t
1
t w( t ) = Au0 ( t ) = ũ s( 1- t ) f ( s,u0 ( s ))ds + ũ t( 1- s ) f ( s,u0 ( s ))ds
t
0
Vi u0 ( t ) = Mt( 1- t ) , M > 0
Ta tớnh c
t
1
w' ( t ) = ũ ( -s ) f ( s,u0 ( s ))ds + ũ ( 1- s ) f ( s,u0 ( s ))ds , "t ẻ [ 0;1 ]
0
Do ú
t
w "(t ) = - f (t, u0 (t )) < 0 "t ẻ (0,1)
(5.2.2)
T (5.2.2) v u0 ( 0 ) = u0 ( 1 ) = 0 , tn ti s a nh tha mn
W ( t ) au0 ( t ) "t ẻ [0 ,1]
Hay Au0 ( t ) = W ( t ) mu0 ( t ) "t ẻ [0 ,1]
Ta t R = a -1 . Khi ú vi bt kỡ l R ta cú
lAu0 ( t ) u0 ( t ) "t ẻ [0 ,1]
(5.2.3)
T gi thit (iii) ta chn s c sao cho c > M v
f ( t,c ) 8
Ê , "t ẻ [0 ,1]
c
l
t v0 ( t ) c thỡ u0 ( t ) < v0 ( t ) "t ẻ [0,1]
1
v
1
lAv0 ( t ) = l ũ G( t,s ) f ( s,c )ds Ê 8c ũ G( t,s )ds
0
0
lAv0 ( t ) Ê 4ct( 1 - t ) Ê c = v0 ( t ) "t ẻ [0 ,1]
(5.2.4)
T (5.2.3) v (5.2.4) ta suy ra lA( u0 ,v0 ) è u0 ,v0
* Bõy gi ta chng minh lA( u0 ,v0
) l tp compact tng i
Hm f ( t ,x ) liờn tc trờn [0 ,1][0 ,c ] nờn b chn .
Do ú
$k > 0 : f ( t,x ) Ê k "t ẻ [0 ,1] "x ẻ [0 ,c ]
t
1
Ta cú ( Ax( t ))' = ũ ( -s ) f ( s,x( s ))ds + ũ ( 1- s ) f ( s,x( s ))ds
0
t
t
1
Suy ra ( Ax( t ))' Ê ũ kds + ũ kds =k "t ẻ [0 ,1] , "x ẻ u0 ,v0
0
t
T õy ta thy tp lA( u0 ,v0 ) liờn tc ng bc. p dng nh lý Arzela-Ascoli ta thy
tp lA( u0 ,v0
) l tp compc tng i
Vy ỏp dng h qu 2.1.1 i vi toỏn t lA thỡ cú ớt nht mt im bt ng xl ẻ u0 ,v0
hay
u0 ( t ) Ê xl ( t ) Ê v0 ( t ) , "t ẻ [0 ,1]
xl ( t ) Mt( 1- t ) "t ẻ [0 ,1]
v
xl ( t )
l nghim ca bi toỏn (5.2.1)
tha
KT LUN
Lun vn ó c gng trỡnh by mt cỏch h thng, vi cỏc chng minh y v chi tit cỏc
kt qu v im bt ng mt s lp ỏnh x tng c bn nh ỏnh x compc n iu, compc
n iu ti hn, T-n iu, hn hp n iu. Lun vn cũn cú th phỏt trin theo hng
nghiờn cu cỏc ỏnh x a tr v cỏc ng dng ca ỏnh x tng.
Qua quỏ trỡnh lm lun vn tụi ó bit ỏp dng cỏc phng phỏp nghiờn cu v cỏc kt qu
ó hc trong cỏc hc phn Gii tớch hm, gii tớch phi tuyn, phng trỡnh vi phõn hc tp
v nghiờn cu cỏc vn mi.
TI LIU THAM KHO.
[1] Dajun Guo and V.Lakshmikantham, Fixed point theory on Abtract Cones
[2] K.Deimling, Nonlinear Functional in Analysis Cones, Springer Verlag, NewYork,1985.
[3] M.A.Krasnoselskii and P.P.Zabreiko, Geometrical Methods of
Nonlinear Analysis, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York Tokyo,1984.
[4] E.Zeidler, Nonlinear Functional in Analysis and its Applieations T1,3; Springer Verlag, 1987.
