2 Điểm bất động của toán tử đơn điệu tới hạn.

Ngoài ra: Nếu x  x, thì M n ( x)  M n ( x, ) nên Sn ( x)  Sn ( x, )

Suy ra Sn là hàm giảm trên M 0

Ta nhận xét thấy



F



 







(u)  Fn1(v) : u, v M0 , x  Fn1(u)  Fn1(v)  Fn1(u, )  Fn1(v) : u, vM0 , x  Fn1(u)  Fn (v) Nên



n1



Sn 1 ( x )  Sn ( x ) 



S ( x ) là dãy số giảm và bị chặn dưới nên hội tụ.

n



Đặt S( x )  lim Sn ( x )  Sn ( x )  S( x ) n và S cũng là hàm giảm trên M 0 (do Sn giảm trên

n 



M0 )



(Ta sẽ áp dụng nguyên Entropi cho tập M 0 và phiếm hàm (-S))

1.



Xét dãy tăng  xn n  M 0 ta chứng minh dãy số  xn n có cận trên.

Ta lập bảng vô hạn 2 phía sau:

F ( x1 )  F 2 ( x1 )  ...  F n ( x1 )  ...

F ( x2 )  F 2 ( x2 )  ...  F n ( x2 )  ...



.………………………………….

………………………………….

.………………………………….

F ( xn )  F 2 ( xn )  ...  F n ( xn )  ...



………………………………….

Vì ( xn ) là dãy tăng nên các phần tử trên một cột là dãy tăng(do F là toán tử tăng).

Do vậy dãy chéo



F ( x )

n



n



n



là dãy tăng, vì F là toán tử compact đơn điệu tới hạn nên



dãy này hội tụ về x và xn  F n ( xn )  x nghĩa là x là cận trên của  xn n , Ta kiểm tra

x  M0



Thật vậy F n ( xn )  x , n

 F n 1 ( xn )  Fx



 F n ( xn )  F n 1 ( xn )  F ( x ) , n



Cho n   ta được x  F ( x )  x  M0

2.



Áp dụng nguyên lý Entropi ta tìm được a  M 0 sao cho x  M 0 , x  a

Ta có S (a)  S ( x)

Ta chứng minh S (a)  0

Giả sử S (a)  2  0



 Ta có S1 (a)  S(a)  2  0 nên tồn tại u1 , v1  M 0 sao cho thỏa mãn F 1 (v1 )  F 1 (u1 )  a



ta có F1 (v1 )  F (u1 )  

 Do F 1 (v1 )  a nên S(F 1 (v1 ))  S(a)=2 >0  S2 (F 1 (v1 ))  S(a)   nên tồn tại u2 , v2  M 0



sao cho F 2 (v2 )  F 2 (u2 )  F 1 (v1 )  a và F 2 (v2 )  F 2 (u2 )  

 Do



F 2 (v2 )  a



nên



S3 (F 2 (v2 ))  S(a)  2  0 nên tồn tại



u3 , v3  M 0



sao cho



F 3 (v3 )  F 3 (u3 )  F 2 (v2 ) và F 3 (v3 )  F 3 (u3 )  



 Cứ tiếp tục như trên ta sẽ xây dựng được các dãy un  , vn   M 0



sao cho

F 1 (u1 )  F 1 (v1 )  F 2 (u2 )  F 2 (v2 )  ...  F n (un )  F n (vn )  ...



(2.2.2)



Thỏa mãn F n (vn )  F n (un )  



(2.2.3)



Rõ ràng dãy (2.2.2) là dãy hội tụ theo định nghĩa F là toán tử compact

tới hạn mà điều này thì mâu thuẩn với (2.2.3).

Vậy s(a) = 0

Bây giờ ta chứng minh F có điểm bất động trên M0



3.



Ta có



F



n



a  F (a )  F 2 (a )  F 3 (a)  F 4 (a)  ... Do F là toán tử compact tới hạn nên dãy



(a ) hội tụ, đặt b  lim F n (a ) mà do  F n (a ) là dãy tăng nên F n 1 (a )  b

n 



 F n (a )  F (b) n  1, n 



Cho n   ta có b  F (b)  b  M 0

a  F n (a )  F n (b)n nên F n (a )  F n (b)  S n (a )



Do lim Sn (a)  S (a)  0 nên lim F n (a)  F n (b)  0

n 



n 



Từ 0  F (b)  b  F n (b)  F n (a)

Ta có F (b)  b hay F có điểm bất động trong M 0

* Chú ý: Trong định lý 2.2.1 ta giữ nguyên các giả thiết1. và 2. còn giả thiết 3 ta thay bằng giả



thiết 3’ là x0  M sao cho F ( x0 )  x0 thì ta vẫn có kết luật: “Khi đó F có điểm bất động trong

M”

Định nghĩa 2.2.2



Cho u0   toán tử F được gọi là u0 - lõm đều trên nếu.

1. A đơn điệu trên



2. x  u, v ,   0,  >0 sao cho  u0  F ( x)   u0

3.   a, b   (0,1),    (a, b)  0 sao cho x  u, v , t  (a, b) thì F (tx)  (1   )tF ( x)

Từ định nghĩa u0 - lõm đều ta thấy  ,   0 và phụ thuộc vào x

Nếu F là u0 - lõm thì F (tx)  tF ( x) t  (0,1), x  u, v 

Định lý 2.2.2



Giả sử

1. K là nón chuẩn

2. F là toán tử u0 - lõm đều trên

3. u  Fu, Fv  v

Khi đó F có điểm bất động trên

Thật vậy:

 Do K là nón chuẩn nên đóng, bị chặn

 Do giả thiết 3, mà ta có F ( u, v )  u, v  ta chứng minh toán tử F compact đơn điệu



tới hạn.

* Giả sử  ,   0 :  u0  u, v   u0 vaø





1





Thật vậy nếu u, v không có tính chất trên thì từ điều kiện 2. trong định nghĩa F là u0-lõm đều

suy ra   0,   0 sao cho  u0  F (u ), F (v)   u0

Ta đặt u1  F (u ), v1  F (v) ta có  u0  u1 , v1   u0 , 0 

 F (v1 )  v1



 F (u1 )  u1





và 





1





( do F(v)  v  v1  v)  F (v1 )  F (v)  v1 )



Khi đó ta xét F là u0 - lõm đều trên u, v

Do K là nón chuẩn nên u, v đóng, bị chặn  x  u, v , M  0 : x  M

* F là toán tử compact đơn điệu tới hạn vì:

Giả sử  xn n   u, v  thỏa điều kiện F  x1   F 2  x2   ...  F n  xn   ...



(*)



Ta sẽ chỉ ra F n  xn  là dãy cauchy (khi đó sẽ hội tụ vì X là không gian Banach)

Lấy   0 đủ bé để

Do F là







 1

(N là hằng số chuẩn của nón K)

M .N





u0 - lõm đều trên



F  tx   1    tF  x 



u, v





 

nên   0 sao cho x  u, v , t   ,1 

ta có

M .N 









N 0 1



 1

  1   

M .N



Chọn N 0 là số tự nhiên thỏa điều kiện 

  1    N0  1  



M .N





Bằng cách giảm số  , ta có thể coi





N

1     1



0



Ta chứng minh n  n0 , k  N thì F n  k  xn  k   F n  xn   

Do F k  xn  k   u, v và xn  u, v nên  u0  F k  xn  k  và xn   u0





Ta có



F k  xn  k 







 u0 



xn







 F k  xn  k  





x

 n



 



F k 1  xn  k   F  xn   1    F  xn 

 











2 

F k  2  xn  k   F 1    F  xn    1   

F 2  xn 











………………………………………………….

………………………………………………...

.............…………………………………………..





N 1 

N 

F k  N0  xn  k   F 1    0

F N0 1  xn    1    0 F N0  xn 













N 

F n  k  xn  k   F n  N0  F k  N0  xn  k    F n  N0 1    0 F N0  xn  











 1   



N 0 1



N 

 n

F  xn   1   

F n  xn 





0





  n

 1 

 F  xn 

 M .N 



Kết hợp điều kiện: F n  k  xn  k   F n  xn  ta có 0  F n  xn   F n  k  xn  k  

Do đó F n  xn   F n  k  xn  k  





M .N



.N . F n  x n  





M





M .N



F n  xn 



.M   (do F n  xn   u , v )



Vậy dãy F n  xn  là dãy cauchy, mà do X là không gian Banach nên dãy F n  xn  hội tụ.

Vậy theo định lý 2.2.1 ta có F có điểm bất động trên u, v

2.3 Điểm bất động của toán tử đơn điệu trên không gian với nón Minihedral - mạnh

Giả sử X là không gian Banach thực, sắp bởi nón Minihedral K. Ta có kết quả sau:



Định lý 2.3.1: Giả sử:



1.



F : u , v  u , v là toán tử đơn điệu



2.



K là nón Minihedral - mạnh sao cho F  u, v   u, v



Khi đó F có điểm bất động trên u, v .

Chứng minh:

Đặt M 0   x  u, v : x  Fx : khi đó M 0   vì u  Fu nên u  M 0

Ánh xạ F : M 0  M 0 được thỏa mãn vì x  M 0  x  Fx  Fx  F  F ( x )   F ( x )  M0

Ta chứng minh mỗi tập con sắp tuyến tính trong M0 đều có cận trên thuộc M0

Thật vậy

Giả sử N là tập con sắp tuyến tính trong M0 ta có N bị chặn trên bởi v. Vì K là nón

Minihedral mạnh nên N có cận trên đúng c0  sup N  u  c0  v

x  N ta có x  c0 mà F đơn điệu nên F  x   F  c0   x  F  x   F  c0  do đó F  c0  là cận trên đúng



của N nên c0  F  c0  (do định nghĩa supremum)  c0  M0

Theo bổ đề Zorn trong M 0 có phần tử tối đại là x* ta chứng minh x* là điểm bất động của

toán tử F







Thật vậy x*  M 0 nên x*  F  x*  mà F đơn điệu nên x*  F  x*   F F  x* 

 F  x*   M 0  F  x*   x* (do x* phần tử tối đại của M 0 )



Vậy F  x*   x* .







Chương 3: ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ

T-ĐƠN ĐIỆU

Trong chương này ta vẫn xét X là không gian Banach thực với quan hệ thứ tự sinh bởi nón K.

3.1 Toán tử T-đơn điệu và điểm bất động

Định nghĩa 3.1.1

 Số thực  được gọi là điểm chính quy của toán tử tuyến tính F : X  X nếu   F là



song ánh, ở đây I là toán tử đồng nhất trong X.

 Ký hiệu   F  là tập tất cả các điểm chính quy của F và



 F  



\   F  được gọi



là phổ của toán tử F.

 Toán tử F được gọi là Compact yếu nếu F biến u0 , v0 thành một tập Compact yếu

 Toán tử F được gọi là liên tục yếu nếu F biến mỗi dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ yếu



trong X.

 Ký hiệu L  X , X  là không gian các toán tử tuyến tính trong X . Toán tử T  L  X , X 



gọi là dương nếu T  K   K với K là nón trong X.



Định nghĩa 3.1.2



Giả sử D  X toán tử F : D  X  X được gọi là T-đơn điệu nếu

F  x   F  y   T  x , y  , x  y ở đây T  L  X , X  .



Như vậy nếu T  0 thì khái niệm T-đơn điệu trở thành khái niệm đơn điệu thông thường đã biết.

Bổ đề 3.1.1



Nếu F  L  X , X  và     F  Thì x  ( I  F ) 1 ( A  F )( x)  x  Ax

Chứng minh:

    F 



     F 





I  F



là song ánh



A( x)  x  ( I  F ) 1 ( A  F )( x)  ( I  F ) 1 ( Ax  Fx)

 ( I  F ) 1 ( x  Fx)

 ( I  F ) 1 ( I  F )( x)

 x



Vậy bổ đề được chứng minh