1 Toán tử hỗn hợp đơn điệu và điểm bất động

t u0 = 0,v0 = v ta cú u0 < v0 .

ỡu = A( un-1 ,vn-1 )

ù

Gi s ù n

, n = 1, 2, 3,

ớ



(4.1.5)



ùvn = A( vn-1 ,un-1 )

ù

ợ



Vỡ



A



tng



theo



bin



th



nht



v



gim



theo



0 = u0 < u1 Ê u2 Ê u3 Ê ... Ê un Ê vn Ê vn-1 Ê vn-2 Ê ... Ê v1 Ê v0 = v



bin



th



hai



nờn



(4.1.6)



t gi thit ii) ca nh lý ta thy :

un u1 = A( u0 ,v0 ) m A( u0 ,v0 ) = A( 0 ,v ) cA( v, 0 ) v cA( v, 0 ) = cv1 cvn nờn suy ra



(4.1.7)



un cvn



t



tn = sup {t > 0 : un tvn } ,n = 1, 2 ,3,... suy ra tn Ê 1 ( vỡ un Ê vn )



Khi ú un tn vn v un+1 un tn vn tn vn+1 ( do (4.1.6))



(4.1.8)



T (4.1.7) v (4.1.8) suy ra

(4.1.9)



0 < c Ê t1 Ê t2 Ê ... Ê tn Ê ... Ê 1



Nờn tn ti lim tn = t* v 0 Ê t* Ê 1

xƠ



* Bõy gi ta chng minh t* = 1



Tht vy t gi thit i. ta cú cỏc h thc sau:

"x1 Ê x2 , y1 Ê y2 , t ẻ [0 ,1]

A (tx1 + ( 1- t )x2 , y ) tA( x1 , y ) + ( 1- t )A( x2 , y )



(4.1.10)



( do A(., y ) : K K l lừm )

A ( x,ty1 + ( 1- t )y2 ) Ê tA( x, y1 ) + ( 1- t )A( x, y2 )



(4.1.11)



( do A( x,.) : K K l li)

A( x, y ) = A ( x,t.t -1 y + ( 1- t ).0) Ê tA( x,t -1 y ) + ( 1- t )A( x,0 ) , "t ẻ [0 ,1] (4.1.12)



T (4.1.11) ta suy ra

1

A( x,t -1 y ) A( x, y ) - ( 1- t )A( x, 0 )

t



(4.1.13)



T (4.1.5) n (4.1.12) v gi thit A l toỏn t hn hp n iu tng ta cú

un+1 = A( un ,vn ) A( tvn ,vn )



"n = 1, 2,3,...



tn A( vn ,vn ) + ( 1- tn )A( 0 ,vn )

tn A( vn ,tn 1un ) + ( 1 - tn )A( 0 ,v )



(do A gim theo bin th nht v tng theo bin th hai)

Suy ra



un+1



tn ộờởtn 1 A( vn ,un ) - tn 1( 1- tn )A( vn ,0 )ựỳỷ + ( 1- tn )A( 0 ,v )



A( vn ,un ) - ( 1- tn )A( vn ,0 ) + ( 1- tn )A( 0 ,v )



 vn+1 + ( 1- tn )[u1 - A( v0 ,u0 )]

vn+1 + ( 1- tn )[u1 - v1 ]



1

A( 0 ,v ) cA( v,0 ) nờn u1 cv1 hay v1 Ê u1

c



M



ộ

1 ự

un+1 vn+1 + ( 1- tn ) ờu1 - u1 ỳ

ờở

c ỳỷ



Suy ra



ổ 1ử

ỗ

un+1 vn+1 + ( 1- tn )ỗ1- ữ u1

ữ

ỗ cữ

ố

ứ



Mt khỏc



do



1

< c Ê1

2



1

1

c



1

1- Ê 0

c

ổ 1ử

ổ 1ử

ỗ1- ữ u1 ỗ1- ữ vn+1 ( do u1 Ê vn+1 )

ữ

ỗ

ỗ

ữ

ỗ cữ

ỗ cữ

ố

ứ

ố

ứ



Nờn



ộ

ổ 1 ửự

un+1 ờ1 + ( 1- tn )ỗ1- ữỳ vn+1

ỗ

ữ

ỗ c ữỳ

ờở

ố

ứỷ



Suy ra



ổ 1ử

ữ

ỗ

tn+1 1 + ( 1- tn )ỗ1- ữ

ữ

ỗ cứ

ố



"n = 1, 2,3,...



ổ1 ử

1- c

1- tn+1 Ê ( 1- tn )ỗ -1ữ = ( 1- tn )

"n = 1, 2,3,...

ỗ

ữ

ỗc ữ

ố

ứ

c

Nh vy

ổ1 ử

1- tn+1 Ê ( 1- tn )ỗ -1ữ

ỗ

ữ

ỗc ữ

ố

ứ

ổ1 ử

1- tn Ê ( 1- tn-1 )ỗ -1ữ

ỗ

ữ

ỗc ữ

ố

ứ

ổ1 ử

( 1- tn-1 ) Ê ( 1- tn-2 )ỗ -1ữ

ỗ

ữ

ỗc ữ

ố

ứ

.........................................

ổ1 ử

( 1- t2 ) Ê ( 1- t1 )ỗ -1ữ

ỗ

ữ

ỗc ữ

ố

ứ

n



Nờn suy ra



ổ1 ử

ổ1 ử

1- tn+1 Ê ( 1- tn )ỗ -1ữ Ê ( 1- t1 )ỗ -1ữ

ữ

ỗ

ỗ

ữ

ữ

ỗc ữ

ỗ

ố

ứ

ốc ứ



(4.1.14)



Do u1 cv1 t1 c

1 - t1 Ê 1 - c

1- c

( do 0 < c Ê 1 )

c

n+1

n+1

ổ1 ử

ữ = ổ1- c ử

ữ

ỗ

0 Ê 1- tn+1 Ê ỗ -1ữ

ữ

ỗ

ỗ

ữ

ỗc ứ

ỗ

ố

ố c ữ

ứ

1 - t1 Ê



Suy ra



Mt khỏc

Do



1

1

< c Ê1 1Ê < 2

2

c

1

0 Ê -1 < 1

c

n+1



Nờn



ổ1 ử

lim ỗ -1ữ

ữ

ỗ

ữ

nƠ ỗ c

ố

ứ



lim tn = 1



= 0 suy ra



(4.1.15)



nƠ



T (4.1.6) v (4.1.15) ta cú : "p 0 , p ẻ



0 Ê un+ p - un Ê vn+ p - un Ê vn - un Ê vn - tn vn

0 Ê un+ p - un Ê ( 1- tn )vn Ê ( 1- tn )v

Do K l nún chun, vi N l hng s chun ta cú

n



ổ1- c ử

ữ v

un+ p - un Ê N .( 1- tn ) v Ê N .ỗ

ỗ

ữ

ỗ c ữ

ố

ứ



(4.1.16)



n



ổ1- c ử

ữ v

vn - un Ê N .( 1- tn ) v Ê N .ỗ

ỗ

ữ

ỗ c ữ

ố

ứ



(4.1.17)



T (4.1.16) v X l khụng gian Banach nờn tn ti lim un = u*

nƠ



Ta li cú

0 Ê vn+ p - un+ p Ê ( 1- tn+ p )vn+ p Ê ( 1- tn+ p )v Ê ( 1- tn )v

n



vn+ p - un+ p



ổ1- c ử

ữ v

Ê N .ỗ

ỗ

ữ

ỗ c ữ

ố

ứ



(4.1.18)



V vn+ p - vn Ê vn+ p - un+ p + un+ p - un + un - vn

n



ổ1- c ữ

ử

Nờn vn+ p - vn Ê 3.N .ỗ

ỗ

ữ v

ỗ c ữ

ố

ứ



m X l khụng gian Banach nờn tn ti



(4.1.19)

lim vn = v*



nƠ



Cho p Ơ , t (4.1.15) v (4.1.19) ta c



n



ổ1 - c ử

ữ v

un - u Ê N .ỗ

ữ

ỗ

ữ

ỗ c ứ

ố

*



n



ổ1 - c ử

ữ v

vn - v Ê 3 N .ỗ

ỗ

ữ

ỗ c ữ

ố

ứ

*



un Ê u* Ê v* Ê vn



Vỡ

M



un tn vn nờn



Do vy



Ê ( 1 - tn ) v ,



m ( 1 - tn ) v 0 khi n Ơ



v* = u*



Ly x* = u*

T



vn - un Ê ( 1- tn )vn Ê ( 1- tn )v



0 Ê v* - u* Ê ( 1- tn )v

v* - u*



Do ú



nờn ta cú 0 Ê v* - u* Ê vn - un



thỡ x* ẻ 0 ,v , x* > 0



un Ê x* Ê vn un+1 = A( un ,vn ) Ê A( x* ,vn )

un+1 Ê A( x* ,x* )

un+1 Ê A( vn ,un ) = vn+1



Ly gii hn khi khi n Ơ ta cú u* Ê A( x* ,x* ) Ê v*

x* Ê A( x* ,x* ) Ê x*

A( x* ,x* ) = x*

Ngha l x* l im bt ng ca A

b) S duy nht ca im bt ng

Gi s x l im bt ng no ú ca A trờn 0,v

Khi ú : u0 = 0 Ê x Ê v = v0 suy ra A( x,x ) = x

Nờn



u1 = A( u0 ,v0 ) Ê A( x,x ) = x Ê A( v0 ,u0 ) = v1

u2 = A( u1 ,v1 ) Ê A( x,x ) = x Ê A( v1 ,u1 ) = v2



..

Theo phng phỏp quy np ta chng minh c

un = A( un-1 ,vn-1 ) Ê A( x,x ) = x Ê A( vn-1 ,un-1 ) = vn "n 1



Cho n Ơ ta c x* Ê x Ê x*



hay x* = x



Vy A cú im bt ng duy nht trờn 0 ,v



c) Tc hi t



Vi "x0 , y0 ẻ 0 ,v



ta cú



u0 = 0 Ê x0 Ê v = v0 v u0 = 0 Ê y0 Ê v = v0



Suy ra u1 = A( u0 ,v0 ) Ê A( x0 , y0 ) = x1 Ê A( v0 ,u0 ) = v1

u2 = A( u1 ,v1 ) Ê A( x1 , y1 ) = x2 Ê A( v1 ,u1 ) = v2

Theo phng phỏp quy np ta chng minh c

un = A( un-1 ,vn-1 ) Ê A( xn-1 , yn-1 ) = xn Ê A( vn-1 ,un-1 ) = vn , "n 1



Tng t ta cng cú un Ê yn Ê vn , "n 1

Suy ra 0 Ê xn - un Ê vn - un v 0 Ê yn - un Ê vn - un

n



Suy ra



ổ1- c ử

ữ .v

xn - x* Ê N vn - un Ê N 2 .ỗ

ữ

ỗ

ữ

ỗ c ứ

ố



v



n



ổ

ử

ữ

ỗ1- c ữ . v

yn - x* Ê N vn - un Ê N 2 .ỗ

ỗ c ữ

ố

ứ



nh lý 4.1.2 Gi s

K l nún chun; v ẻ K , v > 0 ; A : 0 ,v 0 ,v 0 ,v l toỏn t hn hp n iu m

1

A( 0,v ) > v v

2

i. Vi y c nh, y ẻ 0 ,v , A(., y ) : 0 ,v 0 ,v



l toỏn t li



Vi x c nh, x ẻ 0,v , A( x,.) : 0,v 0 ,v



l toỏn t lừm



ii. Cú hng s c tha



1

< c Ê1

2



v



A( v,0 ) Ê c.A( 0 ,v ) + ( 1 - v ).v



(4.1.20)



Khi ú A cú duy nht im bt ng x* ẻ 0 ,v . Hn na, vi x0 , y0 ẻ 0 ,v tựy ý cỏc

dóy lp (xn), (yn)

ỡ xn = v - A( v - xn-1 ,v - yn-1 )

ù

ù

; n = 1,2 ,3,...

ớ

ù yn = v - A( v - yn-1 ,v - xn-1 )

ù

ợ

ỡv - xn x*

ù

cú s hi t ù

khi n Ơ

ớ

ùv - yn x*

ù

ợ



(4.1.21)



(4.1.22)



Chng minh

a) S tn ti im bt ng

Bt B( x, y ) = v - A( v - x,v - y ) "x, y ẻ 0 ,v

Do A l toỏn t hn hp n iu nờn toỏn t B cng hn hp n iu.



Ngc li vi toỏn t A, vi y c nh thuc 0 ,v , B(., y ) : 0 ,v 0 ,v



l lừm v



vi x c nh thuc 0,v , B( x,.) : 0 ,v 0 ,v l li.



Nu A( 0 ,v ) = v

0 < v A( 0 ,v ) Ê A( v,0 ) (do A l toỏn t hn hp n iu)



Vỡ



A( v,0 ) Ê c.A( 0 ,v ) + ( 1- v ).v = c.v + ( 1 - v ).v = v



M



A( v,0 ) = A( 0 ,v ) = v



Nờn



A( v,v ) = v ( do A( 0 ,v ) Ê A( v,v ) Ê A( v,0 ))



Suy ra



Vy trong tng hp ny A cú im bt ng



Nu



1

v < A( 0,v ) < v

2



khi ú



ử

1 ổ

1

0 < B( v,0 ) < v ỗdo B( v,0 ) = v - A( 0 ,v ); v < A( 0 ,v ) < vữ

ữ

ỗ

ữ

ỗ

ứ

2 ố

2



Theo ii.



Cú hng s c tha



1

< c Ê1

2



v



A( v,0 ) Ê c.A( 0 ,v ) + ( 1- v ).v



nờn

B( 0 ,v ) = v - A( v,0 ) v - c.A( 0 ,v ) - ( 1- v ).v c.(v - A( 0 ,v )) - ( 1- v ).v

Suy ra



B( 0,v ) cB( v,0 )



Vy theo nh lý 4.1.1 thỡ toỏn t B cú duy nht im bt ng x ẻ 0 ,v



suy



ra x* = v - x l im bt ng ca toỏn t A.

b) S duy nht ca im bt ng

Gi s x0 ẻ 0,v l im bt ng ca A. Ta cn chng minh x0 = x*



Ta cú A( x0 ,x0 ) = x0

B( v - x0 ,v - x0 ) = v - A( x0 ,x0 ) = v - x0



Suy ra



v - x0



l im bt ng ca B m do B cú duy nht im bt ng x nờn



v - x0 = x suy ra x0 = v - x



Vy



x0 = x*



c) Chng minh (4.1.22)

Vi mi x0 , y0 ẻ 0 ,v



ta cú



ỡ x1 = v - A( v - x0 ,v - y0 ) = B( x0 , y0 )

ù

ù

ớ

ù y1 = v - A( v - y0 ,v - x0 ) = B( y0 ,x0 )

ù

ợ



ỡ x2 = v - A( v - x1 ,v - y1 ) = B( x1 , y1 )

ù

ù

ớ

ù y2 = v - A( v - y1 ,v - x1 ) = B( y1 ,x1 )

ù

ợ



..

ỡ xn = v - A( v - xn-1 ,v - yn-1 ) = B( xn-1 , yn-1 )

ù

ù

, n = 1,2 ,3...

ớ

ù yn = v - A( v - yn-1 ,v - xn-1 ) = B( yn-1 ,xn-1 )

ù

ợ



Theo nh lý 4.1.1 thỡ

ỡ

ù

ù xn - x 0

ù

khi n Ơ

ớ

ù y -x 0

ù n

ù

ợ



m



x* = v - x



*

ỡ

ù

ù xn - v + x 0

ù

khi n Ơ hay

Nờn ta cú ớ

ù y - v + x* 0

ù n

ù

ợ



Vy



ỡ v - x - x* 0

ù

n

ù

ù

khi n Ơ

ớ

ù v - y - x* 0

ù

n

ù

ợ



ỡv - xn x*

ù

ù

khi n Ơ

ớ

ùv - yn x*

ù

ợ



nh lý 4.1.3



Gi s cỏc iu kin i. v ii. ca nh lý 4.1.1 c tha mn. khi ú cỏc tn ti s

l 0 1 sao cho l 0 A( v,0 ) Ê v v "l ẻ [0 ,l 0 ] phng trỡnh u = lA( u,u ) cú duy nht



nghim u( l ) .

Gi s u0 ( l ) = 0 , v0 ( l ) = v v

ỡun ( l ) = lA(un-1( l ),vn-1( l ))

ù

ù

, n = 1, 2 ,3,.. khi ú ta c lng

ớ

ùvn ( l ) = lA(vn-1( l ),un-1( l ))

ù

ợ

n

ỡ

ù

ù u ( l ) - u( l ) Ê N .ổ1- c ử 0

ữ

ỗ

ù n

ỗ

ù

ữ

ỗ c ữ

ố

ứ

ù

khi n Ơ

ớ

n

ù

ổ1- c ử

ù

ữ 0

ù vn ( l ) - v( l ) Ê N .ỗ

ữ

ỗ

ù

ữ

ỗ c ứ

ù

ố

ù

ợ



(4.1.23)



Chng minh

iu kin i. v ii. ca nh lý 4.1.1 ú l : Gi s K l nún chun, A : K K K l toỏn t

hn hp n iu, hn na

i. Vi y c nh, A(., y ) : K K l lừm

Vi x c nh, A( x,.) : K K l li

ii. $v ẻ K sao cho v > 0 v $ c >

v A( 0,v ) cA( v,0 )



1

tha 0 < A( v,0 ) < v

2



(4.1.2)



* T gi thit ii. ca nh lý suy ra sup {t > 0 : tA( v,0 ) < v} luụn tn ti

t l 0 = sup {t > 0 : tA( v,0 ) < v} , cng t gi thit ii. Ta suy ra l 0 1

* Vi "l ẻ [0,l 0 ]

Nu



l = 0 ta cú u( 0 ) = 0 l nghim ca phng trỡnh u = lA( u,u ) v tha cỏc



iu kin cũn li

Nu l ẻ (0,l 0 ] ta cú 0 < lA( v,0 ) Ê l 0 A( v,0 ) < v v lA( 0 ,v ) clA( v,0 )

Vy lA tha cỏc iu kin ca nh lý 4.1.1 nờn theo nh lý 4.1.1 thỡ lA cú duy nht

im bt ng u( l ) ẻ 0 ,v



v u( l ) > 0



* Cỏc c lng v tc hi t (4.1.23) d dng suy ra t nh lý 4.1.1



B 4.1.1

Gi s X l khụng gian Banach c sp bi nún dng K1, Y l khụng gian Banach

c sp bi nún chun dng K2 v toỏn t A : D è X Y l lừm hoc li. Vi x0 ẻ D ,

khi ú A liờn tc ti x0 nu v ch nu A b chn a phng ti x0 . Ngha l tn ti s d > 0

sao cho A b chn trong lõn cn N d ( x0 ) ti x0 .

Chng minh

a) iu kin cn : A liờn tc ti x0 nờn "e > 0 , $d > 0

x - x0 < d



A( x ) - A( x0 ) < e



Nu ly N d ( x0 ) = { x ẻ D : x - x0 < d



}



thỡ



A( x ) < A( x0 ) + e , "x ẻ N d ( x0 )



b) iu kin .

Gi s A b chn a phng trờn N d ( x0 ) = B( v,d ) tc l $M > 0 : A( x ) < M trờn

B( v,d ) . Bng cỏch gim d , cú th coi



B( v,d ) è D ,



xột dóy ( xn ), xn ẻ D v



lim xn = x0 . Ta cú th vit xn = x0 + tn yn vi tn > 0 , lim tn = 0 v yn Ê



nƠ



nƠ



Chng hn ly



yn =



d

2



( xn - x0 ) d

2

, tn = xn - x0

xn - x0 2

d



Vi n ln m tn Ê 1 ta vit xn = ( 1 - tn )x0 + tn ( x0 + yn ) v ỏp dng tớnh li ca A

ta cú

A( xn ) Ê ( 1 - tn )A( x0 ) + tn A( x0 + yn )

A( xn ) - A( x0 ) Ê tn [ A( x0 + yn ) - A( x0 )]



Vỡ ta cng cú x0 = xn + tn ( - yn )

x0 = ( 1 - tn )xn + tn ( xn - yn )



(4.1.25)



 A(x0 ) Ê ( 1 - tn )A( xn ) + tn A( xn - yn )

A(x0 ) - A( xn ) Ê tn [ A( xn - yn ) - A( xn )]



(4.1.26)



t (4.1.25) v (4.1.26) ta cú :

- tn [ A( xn - yn ) - A( xn )] Ê A( xn ) - A( x0 ) Ê tn [ A( x0 + yn ) - A( x0 )]



(4.1.27)

Vỡ xn - x0 0 nờn $n0 sao cho "n n0 ta cú

ỡ

d

ù

ù xn - x0 Ê

ù

ù

2

ù

ù

ớ xn - yn - x0 Ê xn - x0 + yn Ê d

ù

ù

ù

ù x + y -x = y Ê d

ù 0

n

0

n

ù

2

ù

ợ



(4.1.28)



T (4.1.28) suy ra xn , xn - yn , x0 + yn ẻ B( x0 ,d )

ỡ A( xn - yn ) - A( xn ) Ê A( xn - yn ) + A( xn ) Ê 2 M

ù

Nờn ù

ớ

ù A( x0 ) - A( x0 + yn ) Ê A( x0 ) + A( x0 + yn ) Ê 2 M

ù

ợ



Suy ra



-tn [ A( xn - yn ) - A( xn )]



v



v lim tn = 0



tn [ A( x0 + yn ) - A( x0 )]



nƠ



hi t v 0



khi n Ơ



Do



K2



l



nún



chun



nờn



A( xn ) - A( x0 ) 0 khi n Ơ



hay A( xn ) A( x0 ) khi n Ơ



Vy A liờn tc ti x0



nh lý 4.1.4

Gi s K l nún chun trong X ; A : K K K l toỏn t hn hp n iu, cỏc gi

thit i. v ii. trong nh lý 4.1.1 c tha v A( v,0 ) 0

Khi ú phng trỡnh lA( u,u ) = u, l ẻ [0,l 0 ]



(4.1.29)



cú ỳng mt nghim u( l ) tha :

i. u(.) : [0 ,l 0 ] 0 ,v



liờn tc



ỡ

l

ù

ùu( l 2 ) 2 cu( l1 )

ù

ù

l1

ii. "l1 ,l 2 ẻ [0,l 0 ] ta cú ù

ớ

ù

ùu( l ) l1 cu( l )

ù

1

2

ù

l2

ù

ợ



õy l 0 = sup {t > 0 : tA( v,0 ) < v}

Chng minh



(4.1.30)



Do iu kin i. v ii. ca nh lý 4.1.1 c tha nờn theo nh lý 4.1.3 thỡ tn ti

l 0 1 sao cho l 0 A( v,0 ) Ê v v phng trỡnh u = lA( u,u ) cú duy nht nghim u( l )



1) Ta chng minh s tn ti nghim

"l ẻ [0 ,l 0 ] ,



t



u0 ( l ) = 0, v0 ( l ) = v



ỡun ( l ) = lA(un-1( l ),vn-1( l ))

ù

ù

, n = 1, 2,3,..

ớ

ùvn ( l ) = lA(vn-1( l ),un-1( l ))

ù

ợ



v



(4.1.31)



T nh lý 4.1.3 ta cú un ( l ) u( l ), vn ( l ) v( l ) l u theo l ẻ [0 ,l 0 ]

* Ta chng minh un , vn liờn tc trờn [0,l 0 ] vi "n 1

0



Vi "x0 , y0 ẻ K ầ 0,v



v "xn , yn ẻ 0,v sao cho xn x0 , yn y0



Ta cú

A( x0 , y0 ) - A( xn , yn ) Ê A( x0 , y0 ) - A( x0 , yn ) + A( x0 , yn ) - A( xn , yn )



(4.1.32)

Theo b 4.1.1 : Nu c nh y thỡ A(., y ) b chn trờn 0,v nờn A(., y ) liờn tc ti

x0 ẻ 0 ,v v tng t nu c nh x thỡ A( x,.) liờn tc ti y0 ẻ 0 ,v



Vy theo (4.1.32) suy ra A(.,.) liờn tc ti ( x0 , y0 )

0



Suy ra A(.,.) liờn tc trờn K ầ 0,v

ỡu1( l ) = lA(u0 ( l ),v0 ( l )) = lA( 0 ,v )

ù

* "l ẻ [0 ,l 0 ] ta cú ù

ớ

ùv1( l ) = lA(v0 ( l ),u0 ( l )) = lA( v,0 )

ù

ợ



D dng ta chng minh c u1 , v1 liờn tc trờn [0,l 0 ]

* Ga s un-1 , vn-1 liờn tc ti l' ẻ [0,l 0 ]

un ( l ) = lA(un-1( l ),vn-1( l ))

0



Vỡ A(.,.) liờn tc trờn K ầ 0,v nờn

lim' A(un-1( l ),vn-1( l )) = A(un-1( l' ),vn-1( l' ))



ll



lim' un ( l ) = lim' lA(un-1( l ),vn-1( l ))

ll



ll



= l' A(un-1( l' ),vn-1( l' )) = un ( l' )

Suy ra un liờn tc ti l' suy ra un liờn tc trờn [0,l 0 ]

Vy theo phng phỏp chng minh quy np ta cú un liờn tc trờn [0,l 0 ]

Tng t ta cng chng minh c vn liờn tc trờn [0 ,l 0 ]



"n = 1, 2 ,3...



"n = 1, 2,3...



Kt lun : un ( l ) u( l ), vn ( l ) v( l ) l u theo l ẻ [0 ,l 0 ] v un , vn liờn tc trờn



[0,l 0 ] , "n = 1,2,3... nờn suy ra u(.), v(.) liờn tc trờn [0,l 0 ] .

2) Chng minh (4.1.30)

Vỡ "l1 ,l 2 ẻ [0,l 0 ] u( l1 ), u( l 2 ) ẻ 0,v



nờn



u( l1 ) = l1 A(u( l1 ),u( l1 )) l1 A( 0 ,v )

l1cA( v,0 )



Suy ra u( l1 )



l1

c.l 2 A( v,0 )

l2



l1

c.l 2 A(u( l 2 ),u( l 2 )) ( do u( l 2 ),u( l 2 ) ẻ 0,v )

l2



u( l1 )



l1

c.u( l 2 )

l2



Tng t ta chng minh c u( l 2 )



l2

c.u( l1 )

l1



H qu 4.1.1

Gi s K l nún chun trong X ; A : K K K l toỏn t hn hp n iu, tha cỏc iu

kin sau:

i. Vi y c nh, A(., y ) : K K l lừm

Vi x c nh, A( x,.) : K K l li

ii. $c, $u,v ẻ K sao cho



1

< c Ê 1, A( u,v u,v ) è u,v v

2



A( u,v ) cA( v,u ) + ( 1- c )u



(4.1.33)



Khi ú A cú ỳng mt im bt ng x ẻ u,v

Chng minh

t B( x, y ) = A( x + u, y + u ) - u "x, y ẻ K

Khi ú ta cú B ( 0 ,v - u 0 ,v - u ) è 0 ,v - u



(4.1.34)

v B l toỏn t hn hp n iu tha iu



kin i. ca nh lý 4.1.1



ỡ B( v - u,0 ) = A( v,u ) - u

ù

Hn na ù

ớ

ù B( 0,v - u ) = A( u,v ) - u

ù

ợ

T cỏc h thc (4.1.33), (4.1.34) v (4.1.35) ta cú



(4.1.35)