1 Không gian Banach có thứ tự

Mệnh đề 1.1.2 Giả sử "  " là thứ tự sinh bởi nón chuẩn K. Khi đó



i.



u  v thì đoạn u , v :  x  X : u  x  v bị chặn theo chuẩn



ii. Nếu xn  yn  zn và

Thì



lim x  a, lim zn  a

n n

n



lim y  a

n n



iii. Nếu dãy  xn  đơn điệu, có dãy con hội tụ về a

Thì



lim x  a

n n



Chứng minh

i. Với x  u , v



 u  x v  0 xu vu



Mà K nón chuẩn nên  N > 0 sao cho x  u  N v  u



 x  u  xu  N vu

 x  N vu  u

 u , v bị chặn theo chuẩn

ii. Ta có 0  yn  xn  zn  xn

Mà K nón chuẩn nên  N > 0 sao cho yn  xn  N zn  xn









iii.



yn  a  xn  a  N zn  a  N a  xn





Vì



yn  xn  N zn  a  N a  xn



yn  a  N zn  a  ( N  1) a  xn



lim x  a, lim zn  a suy ra lim yn  a  0 suy ra lim yn  a

n

n n

n

n



  hội tụ về a



Giả sử dãy  xn  tăng có dãy con xnk

Với n cố định, k đủ lớn ta có xn  xnk

Cho k   ta có xn  a n 

Cho   0 , chọn k0 để



*



xnk  a 

0







thì ta có



N



n  nk0  a  xn  a  xnk



0



 a  xn  a  xnk  

0



Vậy



lim x  a

n n



1.1.3 Nón chính quy (Regular cone)



Định nghĩa 1.1.3: Nón K được gọi là nón chính quy nếu mọi dãy tăng, bị chặn trên thì hội



tụ

Mệnh đề 1.1.3: Nón chính quy là nón chuẩn.



Chứng minh

Giả sử K là nón chính quy nhưng K không là nón chuẩn

Khi đó n  N * xn , yn  X sao cho: 0  xn  yn mà xn  n 2 yn



un 



xn

xn



vn 



Đặt



yn

xn



ta có un  1

ta có



vn 



yn

1

 2

xn

n



Vì





1

hội tụ nên  vn

2

n 1 n

n 1



Đặt



v   vn , sn  u1  u2  u3  ...  un















hội tụ suy ra  vn hội tụ

n 1







n 1



Ta có dãy (sn) tăng và bị chặn trên (vì sn  v n 



)



K là nón chính quy nên dãy (sn) hội tụ

Suy ra

1.1.4







 un hội tụ



n 1



suy ra lim u n  0 điều này là vô lý vì un  1

n 



Nón sinh (Repro ducing cone)



Định nghĩa 1.1.4: Nón K được gọi là nón sinh nếu X= K – K hay x  X, u,v  K sao



cho x  u  v

Mệnh đề 1.1.4: Nếu K là nón sinh thì tồn tại



x  X, u,v  K : x  u  v,



u  M. x ,



M>0



sao cho



v  M. x



Chứng minh:

Đặt C  K  B ( ,1)  K  B ( ,1)





Vì K là nón sinh nên x   nC

n 1







Thật vậy x   nC

n 1



suy ra



n0  N * : x  n0C



Suy ra u, v  B ( ,1)  K mà x  n0u  n0v , x  X (vì K nón sinh và

Ngược lại

Ta có



x  X suy ra

u  B ( ,



1

),

u



u , v  K mà



v  B( ,



1

)

v



x uv



n0u, n0v  K )



u  u B ( ,1),



Suy ra



v  v B ( ,1)



 u , v  n0 B ( ,1) , n0  max  u , v 





 u , v   nB ( ,1)

n 1







 x   nC

n 1



Ta chứng minh : r  0

Vì







X   nC

n 1



sao cho



B( , r )  C



mà X là không gian Banach nên



n0 



*



, G mở trong X sao



cho G  n0 C

Vì C lồi , đối xứng nên



1

1

G 

2n0

2n0



Suy ra



1

1

C  CC

2

2



 C



1

1

G

G 

2n0

2n0



Ta có



B( , r ) 



mở chứa







nên



1

1

G

G 

2n0

2n0



Đặt B  B( ,1)



II,



Ta chứng minh :



r

BC

2



r

2



Lấy a  B ta chứng minh a  C

Ta xây dựng dãy  xn  thoả mãn xn 

Thaät vậy: Vì



r

1

B nC

n

2

2



n

1

r

C , a   xk  n1

n

k 1

2

2



neân y 



r

1

B,   0, x  n C

n

2

2



Sao cho y  x   .

Ta có



1

r

r

a  B nên x1  C sao cho a  x1  2

2

2

2



a  x1 



1

r

r

B nên x2  2 C sao cho a  x1  x2  3

2

2

2

2



a  x1  x 



1

r

B nên x3  3 C sao cho

3

2

2



a  x1  x2  x3 



r

24



r  0



Sao cho



Cứ tiếp tục quá trình trên ta được dãy (xn) thỏa xn 

Vì xn 











1

1

1

K  B ( ,1)  K  B ( ,1) nên un , vn  K : un  n , vn  n

n

2

2

r







1



2



Do



n 1







u



hội tụ nên



n



n 1











n 1



Suy ra



,



n



n 1



u   un , v   vn



Đặt







1

1

C hay xn  n K  B ( ,1)  K  B( ,1)

n

r

r







v

n 1



ta có



mà Ta có xn  un  vn



hội tụ



n











n 1



n 1



u   un  1 , v   vn  1



n

lim (  x )  u  v

n k 1 k



(1.1.1)



n

r

Mặt khác a   x  n

2

k 1 k



Suy ra a   xn



Từ (1.1.1) và (1.1.2)



a uv



suy ra







n 1



u , v  K (do un , vn  K)



nên



u  1, v  1







Mà



(1.1.2)



u, v  K  B( ,1)



III) x  X , x  

Ta có



r x r

 B  C nên u ', v '  K : u '  1, v '  1 và

2 x 2



Suy ra x 



r x

 u ' v '

2 x



2

2

x u ' x v '

r

r



2



u  r x u '





v  2 x v '





r



Đặt





u , v  K



2

2



 u  x . u'  x

r

r



2

2



 v  r x . v'  r x





Ta có



xuv



Đặt M 



2

khi đó ta có điều phải chứng minh

r



1.1.5



và







Nón Minihedral

Định nghĩa 1.1.5



- Nón K được gọi là nón Minihedral nếu x1 , x2  K thì tồn tại a  sup  x1 , x2  .



- Nón K được gọi là nón Minihedral mạnh nếu A  K thì tồn tại a  sup A

1.1.6



Nón liên hợp



Định nghĩa 1.1.6: Nếu K là nón thì ta định nghĩa nón liên hợp của nón K là

K *   f  X * / f ( x)  0 x  K 



K * có các tính chất sau:







K * đóng







K *  K *  K * ,  K *  K *   0



Mệnh đề 1.1.6



x0  K  f ( x0 )  0 f  K *



Chứng minh:

Chiều  ) Hiển nhiên

Chiều  ) Giả sử trái lại tức là f ( x0 )  0 f  K * , x0  K

Suy ra



x0  X \ K nên theo định lý tách tập lồi g  X * : g ( x0 )  g ( y ) y  K



x  K , cố định x ta có g ( x0 )  g (tx) t  0 . Cho t  



 g  K*



ta có g ( x)  0



 g(x0) < 0 điều này là vô lý.



1.2 Ánh xạ tăng

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X, Y là các không gian Banach thực; P và K là các nón tương ứng



trong X và Y.

Ánh xạ F : X  Y gọi là ánh xạ tăng (hay ánh xạ đơn điệu) nếu x1 , x2  X và x1  x2

ta có F ( x1 )  F ( x2 )

Ánh xạ F : X  Y gọi là dương nếu x  X , x   ta có F ( x)  

Chú ý Nếu F là ánh xạ tuyến tính thì :



F là ánh xạ tăng  F dương

Thật vậy : x  X , x   và F tăng nên F ( x)  F ( )   suy ra F dương

x1 , x2  X và x1  x2  x1  x2   mà F dương

 F ( x1  x2 )  

 F ( x1 )  F ( x2 ) . Vậy F tăng



Ñịnh lý 1.2.1



Giả sử P là nón sinh trong X, K là nón chuẩn trong Y và F : X  Y là toán tử tuyến

tính dương. Khi đó F liên tục.

Chứng minh : Vì F là toán tử tuyến tính nên ta chỉ cần chứng minh F bị chặn.



i. Trước tiên ta chứng minh rằng : m  0 sao cho x  P, F ( x)  m x

Giả sử trái lại tức là n 

1

xn

n . xn



Đặt zn 

Vì







2



1



n

n 1



Đặt z =



2



*



, xn  P : F ( xn )  n3 . xn



ta có zn 









hội tụ nên



n 1







 zn và sn =

n 1



zn



1

,

n2



F ( zn )  n



hội tụ suy ra







z

n 1



hội tụ .



n



n



z

k 1



k



Ta có zk  P , z  lim sn và P đóng nên suy ra z  P

n 



n p



n 1



k 1



k 1



Vì sn  p  zn   zk  zn   zk 



n p



z



k  n 1



k



nên sn  p  zn  P



Suy ra zn  sn  p . Cho p   ta được zn  z

Mặt khác F là ánh xạ tăng, tuyến tính nên F là ánh xạ dương nên   F ( zn )  F ( z ) mà K

là nón chuẩn nên N  0 : F ( zn )  N . F ( z )

Suy ra n  F ( zn )  N . F ( z ) . Cho n   ta có F ( z )   , vô lý.

Vậy m  0 để x  P, F ( x)  m x

x  u  v



ii. x  X , vì P là nón sinh nên u, v  P, M  0 :  u  M . x



 v  M. x



Ta có F ( x)  F (u )  F (v)  F (u )  F (v)

 F (u )  m1 u



 F (v)  m2 v





Do u, v  P nên theo chứng minh trên m1 , m2  0 : 

 F (u )  M .m1 x



 F (v)  M .m2 x





Suy ra 



Suy ra F ( x)  F (u )  F (v)  (m1  m2 ).M . x

Vậy F bị chặn mà do F tuyến tính nên F liên tục.

1.3 Nguyên lý Entropi (Brezis, Browder)



Giả sử có :

1. X là một tập sắp thứ tự sao cho mỗi dãy tăng trong X có một cận trên, nghĩa là nếu

un  un 1 n 



*



thì v  X : un  v n 



*



2. Phiếm hàm S : X   ,   là tăng và bị chặn trên , nghĩa là nếu u  v thì s (u )  s(v) và

tồn tại một số thực c sao cho S (u )  c u  X



 v  X :



Thế thì



u  X , v  u   S (u )  S (v)



Chứng minh:

Lấy tùy ý u1  X , rồi xây dựng các phần tử u1  u2  u3  .... như sau:

Giả sử có un , ta đặt M n  u  X : u  un  ,  n  sup S(u)

uM n



i. Nếu  n  S (un )

Với



u  X , un  u  u  M n



Suy ra S (u )  S (un )

Mặt khác un  u  S (un )  S (u )



(do S tăng)



Vậy u  X , un  u  S (un )  S (u ) nên un là phần tử cần tìm

ii.



Nếu



 n  S (un )



ta



tìm



được



un 1  M n





1

2

n

F ( x1 )  F ( x2 )  .....  F ( xn )........, xn  M  S (un 1 )   n  (  n  S (un ))



2



Ta thấy (1.1.3)  S (un 1 ) 



un+1



thỏa



:



(1.1.3)



 n  S (un )

2



* Quá trình trên là hữu hạn thì ta tìm được un+p nào đó mà  n  S (un  p ) và chứng minh như

trên ta được un+p là phần tử cần tìm

* Quá trình trên là vô hạn thì ta có dãy tăng {un} thỏa

2S (un 1 )  S (un )   n 



*



Do {un} là dãy tăng nên theo giả thiết thì dãy {un} có cận trên. Gọi u0 là cận trên của dãy

{un}. Ta chứng minh u0 là giá trị cần tìm

Với u  u0 , Ta có u ³ un "n Î *



 u Î M n "n Î *

 S (u )   n  2.S (un 1 )  S (un )



Do dãy {un} tăng trong X nên dãy {S(un)} tăng trong  ,   và bị chặn trên nên tồn tại

giới hạn.

suy ra S (u )  lim S (un )

n 



 S (u )  S (u0 )

 S (u )  S (u0 )



(vì u ³ u0  S( u ) ³ S( u0 )



Chương 2 : ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ ĐƠN

ĐIỆU LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH COMPACT

Trong chương này ta xét X là không gian Banach thực với quan hệ thứ tự sinh bởi nón K.

2.1 Điểm bất động của toán tử compact đơn điệu

Định nghĩa 2.1.1 Cho M  X



Toán tử F : M  X được gọi là Compact đơn điệu nếu nó biến mỗi dãy tăng trong M

thành dãy hội tụ.

Giả sử :



Định lý 2.1.1



1) M là tập đóng trong X

2) F : M  X là toán tử tăng, compact đơn điệu và F ( M )  M

3) Tồn tại x0  M



sao cho x0  F ( x0 )



Khi đó F có điểm bất động trên M.

Chứng minh:

M 0   x  M : x  F ( x) và



Đặt



Với mỗi x  M 0 , g ( x)  sup  F ( y )  F ( z ) / y, z  M 0 ; y  z  x

Từ giả thiết 2) và 3) ta có M 0   và F ( M 0 )  M 0

Ta sẽ áp dụng nguyên lý Entropy vào tập M0 và phiếm hàm (-g)

i. Trước tiên ta chứng minh: Mỗi dãy tăng  xn   M 0 đều có cận trên

Thật vậy dãy tăng  xn  tăng nên dãy {F(xn)}n hội tụ (vì F là compact đơn điệu)

Đặt x  lim F ( xn ) ta có x  M ( vì M đóng và

n 



 xn  x



F ( xn )  M )



(vì xn  F ( xn )  x )



ii. Phiếm hàm (-g) là tăng và bị chặn trên

Ta có g ( x)  0 x  X   g ( x)  0 x  X nên ( g ) bị chặn trên

x, x '  X , giả sử x  x ' ta chứng minh  g ( x)   g ( x ' )



Xét



y  M



Vì x  x ' nên



0



/ x '  y và



y  M



0



 y  M 0 / x  y



/ x '  y   y  M 0 / x  y



Suy ra

sup  F ( y )  F ( z ) / y, z  M 0 , y  z  x '   sup  F ( y )  F ( z ) / y, z  M 0 , y  z  x

 g ( x ' )  g ( x)   g ( x ' )   g ( x) suy ra (-g) là hàm tăng