Chương 1 Phương pháp Euler và Euler cải biên giải phương trình, hệ phương trình vi phân thường
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (932.69 KB, 395 trang )
Trong các bài toán thực tế, ta thường chỉ đo được giá trị của hàm số У
tại một số điểm T I ,
Ỉ
=
Ĩ{T)
= 1, , N của T trong khoảng [a, T Í Ị nào đó. Thí dụ, dân số
của nước ta có thể biết được theo điều tra dân số vào các năm 1960, 1980,
1995, 2009. Không có một biểu thức toán học chính xác nào cho phép tính số
dân trong các năm đó. Do đó ta cũng không thể tính số dân của các năm khác
(thí dụ, 2000, 2010, 2020,...) một cách giải tích. Tuy nhiên, sử dụng phép nội
suy, ta có thể tính được (xấp xỉ) số dân trong năm bất kì nào đó.
Có thể, công thức toán học của hàm số У =
F(T)
là đã biết, nhưng khá cồng
kềnh, không thuận tiện (tốn thời gian và bộ nhớ) khi tính toán giá trị (chính
xác) của nó tại các điểm cụ thể. Dùng phép nội suy ta có thể dễ dàng tính được
giá trị (gần đúng) của hàm
У
= F ( T ) tại bất kỳ điểm nào trong đoạn [ A , B ] .
Hơn nữa, phép nội suy còn cho phép ta tính gần đúng đạo hàm, tích phân,... của
hàm số
У
như sau.
=
FIT)
trên đoạn [a, B ] . Bài toán nội suy tổng quát được phát biểu
Giả sử không biết công thức giải tích của hàm số
Y
= F ( T ) nhưng biết bảng
giá trị của Y chỉ tại các điểm T I , I = 1, , N , tức là ta chỉ biết các giá trị Ui = =
1,,n. Ngoài ra ta không có thông tin gì thêm
về hàm Y = F ( T ) .
Bài toán đặt ra là: Tìm giá trị của Y { =
Y
F ( T ))
tại vị trí Ĩ nào đó. Giá trị của
tại Ĩ không có trong bảng nội suy cho trước ( Ĩ ^ T Ị ,
I
— 1,..., T L . ) .
Có nhiều phương pháp để xác định giá trị của
Y
tại Ĩ . Các phương pháp này
đều có chung một cách giải, đó là: “Tìm một hàm theo các giá trị trong bảng
nội suy X Ấ P
XỈ
hàm F ( T Y \
Hàm xấp xỉ thường được chọn sao cho đơn giản và dễ tính toán. Hàm xấp xỉ
có thể là đa thức, hàm mũ, hàm lượng giác, chuỗi Taylor, chuỗi Fourie,....
Khi hàm xấp xỉ
được gọi là
IF(T)
là một đa thức đại số thì phép nội suy tương ứng
NỘI SUY BẰNG ĐA THỨC ĐẠI SỐ.
Dưới đây ta sẽ xem xét
phép nội suy bằng đa thức đại số.
Nội suy bằng đa thức đại số
Đa thức đại số là những hàm khá thuận tiện trong sử dụng (bất biến đối với
phép cộng, nhân, lấy tích phân và đạo hàm, ..., tức là sau các phép toán trên áp
dụng vào đa thức ta được kết quả vẫn là đa thức). Hơn nữa, các hàm liên tục
đều xấp xỉ được (địa phương) bằng đa thức. Thật vậy, ta có
Định lý 1.1.1.
Giả sử hàm f(t ) liên tục trên đoạn [a, 6].Khiấy
mỗi
e > 0 cho trước tồn tại một đa thức P(t ) sao cho
I F ( T ) — P ( T )I < € V Ớ I
MỌI T
G (a, B ).
với
Định lí nói rằng, đa thức nội suy P ( T ) nằm trong
e-ống
có trục là
đường cong F ( T ) .
Bài toán nội suy một hàm số bằng đa thức được phát biểu như sau: Cho các
mốc nội suy A <
T0
<
TI
< ■ ■ ■ <
TN
<
B.
Hãy tìm đa thức bậc N ,
P ( T ) = A Ữ T N + . . . + A N - I T + A N sao cho P ( T Ị ) = Y I : =
Ý nghĩa hình học của phép nội suy đa thức là:
Ỉ
= 0,1,2,...,71.
Xây dựng đường cong đa thức Y = P ( T ) đi qua N điểm (T Ị , Y I ) , I =
0,1,2,..., N . đã cho.
Như vậy, các hệ số D Ị của đa thức cần tìm phải thoả mãn hệ phương trình
đại số tuyến tính
t™a 0 + t™ 1ữi + .... + an_ií0 + ữn = Ho ,
t™ao + t™
yi,
1
dị+ .... +a n -ịti + a n =
(1.1.1)
TMAQ
Nếu 777, <
M
=
N
N
(m >
RÌ)
+ .... + an_iín + A N =
+
thì hệ (ỊTTTTTỊ) nói chung vô nghiệm (vô định). Khi
hệ (Ịl.l.ip có định thức Vandermond khác 0:
t n ữ ... tị t 0 1
A= 1
YN.
í? ... Ị \ Í1 1
1
..................... 1
t n i? t 1 71
■
71
•■
x
nên hệ có duy nhất nghiệm ữj, Ỉ = 0,1,..., N . Các hệ số Ũ Ị có thể tính được theo
công thức nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính.
Đa thức nội suy Lagrange
