[> Y(T) := le2T + ^e2Tr + 4 ■ VT

[>



a

r

r

a

y

(

[

s

e

q

(

[

t

(

i

)

,

x

(

i

)

,

e

v

a

l

f

(

s

u

b

s

(

t

=

t

(

i

)

,

X

(

t

)

)

)

,

y

(

i



)

,

e

v

a

l

f

(

s

u

b

s

(

t

=

i(i),

y

(

X

)

)

)

]

,

i

=

0

.

.

1

0

)

]

)

;



.



0 .



.



1 0 0

8 7 8 0

7 9 3 8

2 2 5 7

0 1 2 9

4 0 2 3

1 0 1 5

3 3 8 2



0 . 0 0 5

0 . 0 2 2

0 . 0 5 4

0 . 1 0 3

0 . 1 7 2

0 . 2 6 5

0 . 3 8 6

0 . 5 4 0

0 . 7 3 2



1 .

3 2 4 5

6 9 7 8

4 6 6 9

3 4 5 6

4 6 5 1

4 3 1 7

3 9 1 8

1 0 5 3

0 2 8 5



1 . 2 0

1 . 4 2 7 5

1 4 7 1

1 . 6 8 6 4

7 5 6 3

1 . 9 8 0 8

4 6 9 3

2 . 3 1 5 5

8 2 4 2

2 . 6 9 5 7

4 7 2 8

3 . 1 2 7 5

1 1 9 9

3 . 6 1 7 6

2 6 6 5

4 . 1 7 3 4

8 4 9 0



6

3

4

1

7

8

3

3



0

9

1

9

1

2

1

0

2

4

2

2

2

4

3

7

3

2

4

5



. 9 9 9 9

9 9 9 9 8

. 2 1 4 3

4 7 4 4

. 4 6 0 3

3 7 6 1

. 7 4 2 3

5 4 6 3

. 0 6 5 4

7 3 4 5

. 4 3 5 5

0 5 3 4

. 8 5 9 0

3 4 5 7

. 3 4 3 3

5 7 6 6

. 8 9 6 8

3 6 8 5

. 5 2 8 7

8 2 2 3



9 2 7 0 0 . 9 6 8

3 4 4 3 1 . 2 5 6

8 1 2 1 1 . 6 0 4

3 9 2 4 2 . 0 2 0

0 9 2 7 2 . 5 1 7

9 8 4 2 3 . 1 0 5

3 3 4 6 3 . 7 9 9

7 5 6 1 3 . 6 0 7

3 7 1 8 5 . 5 6 7

0 0 1 7 6 . 6 8 0

3 7 0 3 7 . 9 7 4



4 0 7 9

3 8 5 5

1 1 8 1

9 1 1 4

3 7 1 6

5 7 5 3

2 6 1 7

7 5 6 1

6 7 4 0

2 7 2 7

6 8 0 0



Nếu

d

ù

n

g

b

ằ

n

g

p

h

ư

ơ

n

g

p

h

á

p



4 . 8 0 3 4

8 7 5 8

5 . 5 1 7 0

1 7 5 0

6 . 3 2 4 7

3 7 8 4

7 . 2 3 8 6

2 8 2 4

8 . 2 7 1 7

7 4 1 2

9 . 4 3 9 0

2 6 5 1

1 0 . 7 5 7

9 5 1 6

1 2 . 2 4 4

5 9 1 5

1 3 . 9 2 2

2 5 9 6

1 5 . 8 1 3

6 9 7 4

1 7 . 9 4 4

1 2 1 6



1

1

9

1

3

2

0

5

2

3

0



5

4

6

0

7

6

8

4

9

7

1

5

1

0

1

1

1

1

1

8

2

6



. 2 4 9 7

7 7 5 1

. 0 7 1 7

6 6 3 8

. 0 0 8 0

1 9 2 6

. 0 7 3 9

0 1 1 7

. 2 8 6 3

6 5 2 2

0 . 6 6 4

4 9 8 4

2 . 2 3 0

4 4 8 7

4 . 0 0 7

4 6 8 8

6 . 0 2 3

7 1 2 1

8 . 3 0 8

3 2 1 9

0 . 8 9 8

5 6 3 9



E

u

l

e

r

c

ả

i

ti

ế

n

v

ớ

i

H



=

0

.

0

5

t

a

c

ó

:

[



>

/

:

=

'

F



'

:

G



g

' :

H

R



:

T



t'



:

X

X



'



:

Y



:

=

'

Y



H



:='



'

:



[

>

/

:

=

(

T



,

X



,

Y



)

~

>



X



Y



+



1

;



f



:

=



(

x

,

y

,

t

)

X



y

+

1



3

4

1



[>9 ■= {t, x, y )- > x + 3 *y + exp(-t)-,

g := (x,y,t) ->• x + 3y + e~ l

[ > H : = 0.05;



H



:= 0.05



[>t n— > n*h\



T



:= N —>■ N H



[>x := proc{n)optionremember\x{n — 1) + h /2 * f(x(n — 1 ),y(n —

1) , t(n - 1)) + h/2 * f(x(n - 1) +h* f(x(n - 1 ),y(n 1



) + h* g(x(n — 1), y(n —



1), t(n - 1)), y(n 1),



t(n



—



1)),



t(n))end ;

X



:=proc(n)

option R E M E M B E R ;

X(N



— 1) + H / 2 * F ( X ( N — 1 ) , Y ( N — 1 ) , T ( N — 1)) + 1/2 * H



* /(x(n - 1 ) +

G{X{N



- I),



H*

YIN



F(X(N



- 1), Y ( N - 1), i(n -



1)), Y ( N - L ) +



H



- l),i(n - l)),i(n)) end proc



[>x(0 ) := 0 ; z(0 ) := 0

[>y := proc{n)optionremember\y(n — 1) + h /2* g(x(n — 1), y(n— 1) , t(n —

1)) + h/2 * g(x(n — 1) +h * f(x(n — 1 ),y(n— 1), t(n — 1 )),y(n — 1) + h *

G ( X ( N - 1), Y ( N - 1), T ( N - 1)), T { N ) ) E N D ;

X



:=proc(n)

option remember;

y(n — 1) + h/2 * g(x(n — l),y(n — 1 ),t(n — 1)) +

g(x(n - 1) + h* f{x(n -



1/2 * h



1),2 /(n - 1),t(n -1)),y(n - 1) + h



3

4

2



G(X(N



- 1), Y ( N - 1),í(n - 1)), T ( N ) ) end



proc

[>t/(0 ) — 1 ;

v(0) ■■=



1



[>dsolve{{diff{X(T),T) = X(T) - Y(T) + 1 ,diff{Y{T),T) = X(T)

+3*Y(T) + exp(-T),X(0) = 0,y(0) = 1},X(T), Y(r));



[>array([seq([t(i),x(i),evalf(subs(t =

0 .

0

5

0

0

0

5

0

0

0

5

0

0

0

5

0

0

0

5

0

0

0

5

0

0

0

5

0

0

0

5

0

0

0

5

0

0

0

5

1

0



. 0

. 1

. 1

. 2



0 .



0 . 0 0

0 . 0 2

0 . 0 5



0 . 1 0

. 2 - . 1 6

. 3

. 3

. 4

. 4

. 5

. 5

. 6

. 6

. 7

. 7

. 8

. 8

. 9

. 9

. 0



0 . 2 6

0 . 3 8

0 . 5 3

0 . 7 2

0 . 9 5

1 . 2 4

1 . 5 8

1 . 9 9

2 . 4 9

3 . 0 7

3 . 7 5

4 . 5 6

5 . 5 0

6 . 6 1

7 . 8 9



5 0 0

1 9 4

3 1 6

1 3 4

9 5 9

6 8

1 4 6

1 0 8

3 1 5

3 0 8

7 0 4

2 1 0

6 3 4

8 9 6

0 4 6

2 7 7

9 4 8

6 0 4

9 9 7

1 1 8

2 2 3



0 .



0 0 0 0 . 0

6 9 7 0 . 0

6 4 9 0 . 0

7 0 0 0 . 1

0 1 5 - . 1

7 5 7 0 . 2

5 1 3 0 . 3

5 4 9 0 . 5

0 0 0 0 . 7

1 1 1 0 . 9

6 6 8 1 . 2

7 4 9 1 . 6

9 7 5 2 . 0

4 3 5 2 . 5

4 9 9 3 . 1

7 3 8 3 . 7

2 2 6 4 . 6

5 0 1 5 . 5

5 1 1 6 . 6

9 1 7 7 . 9



0 5 3 2

2 2 6 9

5 4 4 6

0 3 3 4

7 2 4 6

3 0 6

6 5 4 3

8 6 3 9

4 0 1 0

3 2 0 2

6 8 4 0

5 6 3 8

0 4 1 1

2 0 9 1

1 7 3 7

0 5 5 7

9 9 2 6

1 4 0 4

6 7 6 7

8 0 2 7

7 4 6 8



evalf(subs(t =



1 .

4 5

7 8

6 9

5 6

5 1

1 7

1 8

5 3

8 5

7 9

5 5

8 1

1 4

1 6

5 3

1 7

8 3

4 0

2 7

0 0



1 . 2 1 3 7

0 7 3 6

1 . 4 5 8 9

9 4 3 5

1 . 7 3 9 9

2 8 3 6

2 . 0 6 1 8

1 5 5 6

2 . 4 3 0 4

3 8 4 8

2 . 8 5 2 1

8 3 8 3

3 . 3 3 4 2

7 1 3 4

3 . 8 8 5 0

9 5 7 7

4 . 5 1 3 8

9 5 6 2

5 . 2 3 1 0

6 3 6 8

6 . 0 4 8 4

1 6 2 7

6 . 9 7 9 4

4 0 1 8

8 . 0 3 8 9

3 8 2 8

9 . 2 4 3 9

9 7 5 3

1 0 . 6 1 3

3 0 5 6

1 2 . 1 6 8

2 4 5 9

1 3 . 9 3 3

7 0 3 0

1 5 . 9 3 5

1 1 6 4

1 8 . 2 0 4

5 2 2 8

2 0 . 7 7 5

6 3 2 6



8

2

3

6

4

4

7

6

1

0

4

3

7

3

3

5

5

5

7

4



1.7. Ôn định và sai số của phương pháp Euler



0

9

1

9

1

2

1

0

2

4

2

2

2

4

3

7

3

2

4

5

5

4

6

0

7

6

8

4

9

7

1

5

1

0

1

1

1

1

1

8

2

6



. 9 9 9 9

9 9 9 9 8

. 2 1 4 3

4 7 4 4

. 4 6 0 3

3 7 6 1

. 7 4 2 3

5 4 6 3

. 0 6 5 4

7 3 4 5

. 4 3 5 5

0 5 3 4

. 8 5 9 0

3 4 5 7

. 3 4 3 3

5 7 6 6

. 8 9 6 8

3 6 8 5

. 5 2 8 7

8 2 2 3

. 2 4 9 7

7 7 5 1

. 0 7 1 7

6 6 3 8

. 0 0 8 0

1 9 2 6

. 0 7 3 9

0 1 1 7

. 2 8 6 3

6 5 2 2

0 . 6 6 4

4 9 8 4

2 . 2 3 0

4 4 8 7

4 . 0 0 7

4 6 8 8

6 . 0 2 3

7 1 2 1

8 . 3 0 8

3 2 1 9

0 . 8 9 8

5 6 3 9



3

4

3



1.7.1.



Bậc xấp xỉ



Ta nói



B Ậ C X Ấ P xỉ



F(T,X)



của phương trình sai phân đối với phương trình vi phân



X'



=



là bậc xấp xỉ của đạo hàm bậc nhất bằng công thức sai phân tương ứng trong



chương trình sai phân. Theo định nghĩa này thì bậc xấp xỉ của phương pháp Euler

hiển và ẩn đều là bậc một, vì trong các phương pháp đó ta có tương ứng:

/ _ X N + L ~ X N /"V/J \

X N = ------——- + 0(/i),

I ____________



x



n+ 1



—



x



n



x n+1 =--------—-------b 0(h).



ГЛ(1\



Trong đó bậc xấp xỉ của phương pháp Euler cải tiến là bậc hai vì

2



1.7.2.



=



- ĩí

Д



*»+1



+ 0{



tfy



Tính ổn định



Phương pháp sai phân hữu hạn dùng để giải bài toán X ' = F ( T , X ) với X ( T 0) = X Ữ sẽ

được gọi là ổn định, nếu vế phải của bài toán sai phân đối với X ' = F ( T , X ) và X ( T 0 )

= X 0 được cộng thêm vào một đại lượng đủ nhỏ (ta gọi là nhiễu vế phải) thì lời giải

nhận được sẽ khác với lời giải của bài toán không có nhiễu ở mọi nút lưới một đại

lượng theo modun nhỏ hơn một hằng số nào đó nhân với giá trị nhiễu ban đầu.

Kí hiệu lời giải của bài toán sai phân không có nhiễu là X h i nhiễu vế phải là £ H ,

lời giải của bài toán có nhiễu là X H thì định nghĩa trên có thể phát biểu như sau. Nếu

phương pháp là ổn định thì tồn tại các hằng số

với mọi



H



<



H0



ta có \ X H — X H \ <



không phụ thuộc vào bước lưới H .

1.7.3.



Tính hội tụ



С



H0



và Ô sao cho với mọi |e/jỊ <



Ô



và



\ S H \ trong đó С là một hằng số dương



3

4

4



Ta nói nghiệm của bài toán sai phân X h hội tụ đến nghiệm chính xác X



của bài toán vi phân, nếu ta có IX H ( T K ) —



X { T K )I



nếu ta còn có đánh giá IX H ( T K ) — X ( T k)I < C H M với



—> 0 khi —>• 0. Ngoài ra,

С



là một hằng số không phụ



thuộc vào H và M cũng là một hằng số dương thì ta nói rằng tốc độ hội tụ là bậc M .

Mối quan hệ giữa các tính chất xấp xỉ, ổn định và hội tụ được phản ánh trong khẳng

định mang tính chất tổng quát sau. Nếu phương pháp sai phân có bậc xấp xỉ là



M



và



là ổn định thì nghiệm của bài toán sai phân sẽ hội tụ đến nghiệm của bài toán vi phân

với tốc độ hội tụ cùng bậc với bậc xấp xỉ. (Chứng minh xem Ở [3]).

Xét B À I



TOÁN THỬ



tuyến tính sau:

X'



= X X , :r(0) = X q .



(1-7-1)



Chẳng hạn ta xét phương pháp Euler hiển đối với fll.7.ip. Ta có:

x n + 1 = x n + X hx n = (1 + A h)x n = • • • = (1 + \h) n x ữ .

Như vậy, phương pháp ổn định nếu |1 + Ằ H \ < 1. Xét các trường hợp sau:

1) A là số thực. Khi ấy |1 + Ằ H \ < 1 tương đương —2 < AH < 0.

2) À là số thuần ảo (À = Ỉ T với T là số thực khác 0). Khi đó

Ịl + A/iỊ < 1 •<=>■ |1 + i t h ị < 1 y / l + t 2 h 2 < 1

bất đẳng thức cuối không thể xảy ra, chứng tỏ phương pháp Euler không ổn định nếu

À là số thuần ảo.

3) A là số phức (A = A +



IB,



với A ,



|1 + X H \ = |1 + A H +



B



là những số thực). Khi đó



BHIỊ



= \ J { 1 4- A H )2 + B 2 H 2 < 1,



nghĩa là AH nằm trong hình tròn đơn vị tâm (—1; 0) bán kính 1.

Như vậy để nhận được nghiệm số ổn định, bước H phải chọn được sao cho X H

nằm trong hình tròn.

Các phương pháp Euler ẩn và Euler cải tiến cũng không thỏa mãn được điều kiện

ổn định.

Nghiệm chính xác của bài toán fll.7.ip là: