tnữ ... tị t0 1
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (932.69 KB, 395 trang )
..................... 1
t n i? t 1 71
■
71
•■
x
nên hệ có duy nhất nghiệm ữj, Ỉ = 0,1,..., N . Các hệ số Ũ Ị có thể tính được theo
công thức nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính.
Đa thức nội suy Lagrange
Đa thức nội suy Lagrange cho phép giải quyết bài toán nội
suy mà không cần giải hệ phương trình fll.l.ip. Trước tiên ta
tìm đa thức P Ị ( T ) bậc N
(được gọi là H À M L A G R A N G E ) thỏa mãn
Pi{tj) =
{1, nếu i = j
= 0,
là kí hiệu Kroneker. Vì T J , I Ỷ 3 là nghiệm
1, nếu I ^ J
của phương trình đa thức P Ị ( T ) = 0 nên P Ị ( T ) có dạng
Pịự) = Aị(t -t 0 )---(t- íi_i)(í - ti+i) ■ ■ ■ {t - tn) = A i {t - tj).
3=1
j¥=i
Do P Ị ( T I ) = 1 nên
1 = Pị(tị) = Aị(tị - t Q )...(tị -
- t i + 1) ...(tị- t n ).
Vậy
A=
(tị tữ) • • • {ti
tị+ 1) • • • iỷỉ tn)
Do đó
=
* (TI -
TO)
... (TI
Vl)(t - T I + 1 ) . . . { T - T N ) = -pr ( T - T Ị )
- íi_i)(íi - íi+i) . . . { T I - T N ) ị=-Ịj (íi - íj) '
Đặt P{t) = J2 yịPịự) thì P(tj) = J2 ViPiitj) = Vj (j = 0,... ,n).
I =0 I =0
Do hệ (1.1.1) có duy nhất nghiệm nên
p
".
" (I _ +A
(t) = ^2vi p i(t) = Enr ^
ỉ—0
I—0 7-0 №
”
(1.1.2)
là đa thức nội suy duy nhất cần tìm (trùng với đa thức tìm được bằng cách
giải phương trình đại số (Ịl.l.lỊ)).
Đa thức này được gọi là Đ A
THỨC NỘI SUY
(interpolating polynomial)
Lagrange.
1.1.2. Qui tắc cầu phương cơ bản
Nội dung cơ bản của quy tắc cầu phương là: Để tính tích phân J
ta thay F ( T ) bởi một đa thức nội suy P { T ) .
b
F(T)DT
a
Tích phân của hàm F ( T ) được xấp xỉ bởi tích phân của hàm đa thức P { T )
(tính được chính xác).
Giả sử ta có N + 1 điểm nội suy khác nhau T Ữ ,
TÍỊ.
TI,..., TN
trong khoảng [a,
Đa thức nội suy Lagrange bậc nhỏ hơn N + 1 có dạng :
n
3=0
trong đó
PJ(T)
=
П ( ----------nếu N > 1 và P ( T ) = F ( T 0) nếu N = 0.
Khi ấy
n
«
/
a
ỉ(t)dt
«
J =0
J
Các trọng số L 0 J được tính theo công thức U ) J =
b
F
a
PJ(T)DT.
Nếu N = 0 thì đa thức nội suy P ( T ) = F ( T 0) và ta có:
b
J
f(t)dt « (b - a)f(t 0 ).
a
Ta xét một số trường hợp đặc biệt.
• Nếu chọn N = 0 và T Q = A thì ta có công thức xấp xỉ tích phân bởi diện tích
hình chữ nhật ABCD:
b
J f(t)dt (b - a)f(a).
(1.1.3)
