V0 / V1 / /
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (932.69 KB, 395 trang )
ví dụ trên ta đi đến
kết luận:
1) Sự tồn tại của phương trình vi phân (2.2.4) phụ
thuộc vào vế phải
Để (2.2.4) có nghiệm thì vế phải phải là một hàm khả
vi. Điều này làkhông cần thiết đối với phương trình vi
phân thường.
2) Vế phải không thể tùy ý mà phải thỏa mãn điều
kiện
í
ì{t) = Ị ỉi{t)dt 0
/2 (í)= / Mt)dt + C.
hay vế phải không bất kì mà chỉ có /i (í) là bất kì.
3) Không cần phải giải phương trình vi phân
(2.2.4) hay nghiệm của phương trình vi phân
là X ( T ) = /2 (í)Ví dụ 2.2.4.
* )*'(*)+ V(í)
1
0 / \t 1
7
(2.2.7)
0
( D Ạ N G E ( T ) X ' ( T ) + A ( T ) X ( T ) = 0, detE(t) = 0 Vt).
Phương trình (2.2.7) tương đương với
tx\{t)
0,
+ x ’ 2 { t ) + 7 X1 (í) =
(2.2.8)
txi{t) + x 2 {t) = 0 .
Trường hợp 1: Nếu 7 = 0 hệ (2.2.8) trở thành
tx'i(t ) + x' 2 {t)
= 0 , txi(t) +
x 2 (t) = 0 .
Lấy đạo hàm (2.2.10) ta có
TX[(T)
0.
+X
i ( t
) + X'2 (T) =
Khi đó, phương trình (2.2.9)-(2.2.10) tương đương
(2.2.9)
(2.2.10)
Xị
( T ) = 0,
x 2 (t) — 0 .
Vậy hệ (2.2.9)-(2.2.10) có duy nhất nghiệm
Xị(t) = 0 x
2
( t )
—
0
không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu. Tức là phương trình (2.2.9) (2.2.10) có
duy nhất nghiệm
( t ) = 0,
X ị
x
( t )
2
—
0.
thỏa mãn
Zi(0 ) = 0 ,
z (0 ) = 0 .
2
Nếu x(0) Ỷ tức là Xi(o) 7^ 0 và £2 (0 ) Ỷ 0 thì hệ (2.2.7) vô nghiệm.
Trường hợp 2: 7 = 1 , hệ (Ị2 .2 .8 D tương đương
tx'i(t) + x' 2 (t) + Xị(t) = 0, tai (í) + x 2 {t) = 0 .
Từ (2.2.12) lấy đạo hàm ta có
(2.2.11)
(2.2.12)
tx[(t ) + X \ (t) + x' 2 (t) = 0.
Khi đó, (2.2.12) trở thành (2.2.11) hay
TXI(T)
+
X2(T)
= 0 ^ X 2 ( T ) = — T X Ị ( T ) và X ị ( T ) là hàm khả vi bất kì. Vậy
không gian nghiệm là vô hạn chiều.
Trường hợp 3: 7 Ỷ 0 Từ (Ị2.2.12D ta có
t x i ( t ) + x 2 ( t ) = 0 =>■ x ' 2 ( t ) =
Thay vào (Ị2 .2 .1 1 D ta có
(A — l)xi(í) = 0.
Suy ra X I ( T ) = 0 ( 7 Ỷ 1)? khi đó X 2 ( T ) = 0.
Như vậy không gian nghiệm thay đổi theo tham số 7 .
Ví dụ 2.2.5. Xét phương trình:
( t + ơ 1^
oJ 0
{
Ị
0Ị
x'2{t)
x\ (t) ^ 0
+
\ x^ịt) Ị \ t + £ 1
7
0
Xị(t)
0
x 2 {t)
0
. (2.2.13)
Phương trình tương đương:
(t + ơ)x'iit) + x' 2 {t) + 7 X1 (í) = 0 ,
(2.2.14)
(t +
(2.2.15)
e)xi{t)
+ x 2 {t) = 0 .
Nếu ơ = £ = 0 đã xét trong Ví dụ 2.2.4
Trường hợp 1: ơ Ỷ 0j £ Ỷ 0)ơ Ỷ e- Từ (2.2.15) ta có
Xi{t)
= -(t + e)x 1 (t).
Lấy đạo hàm phương trình trên ta được
x ' 2 ( t ) = — { t + e)x / 1 (t) - X i ( t ) .
Thay vào (2.2.14) ta có
(T +
Ơ ) X [( T )
— ( T 4-
— X I ( T ) 4- 7 X1 (í) = 0.
Phương trình trên tương đương với:
(ơ -
+
(7
- l)xi(t) = 0 .
Giải phương trình này ta được:
Xị (t)
1-7 ,
e ,e°
C]_
e
1-7 ,
Khi đó
£2
(t) =
1 =1
+ e)Cie°(
với
£1 (0 ) = Ơ1 ,X2 (0 ) = — E C Ị = —££1 (0 ).
(2.2.16)
Như vậy x2 (0) không thể là bất kì mà được tính theo Xi(o). Khi cho Ơ — >
+0,£ —»■ +0 thì X i ( t ) — > o o , x 2 ( t ) — > 0 0 .
Trong khi đó Ơ — 0 , £ — 0 thì phương trình (Ị2.2.13D có nghiệm duy
nhất
Xị (t) — x 2 {t) — 0.
Vậy phương trình đại số là
BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH,
nghĩa là khi
tham số Ơ — > +0,£ —> +0 thì nghiệm X I ( T , E ) —»■ oo, X 2 { T , E ) —>• 0 0 ,
không tiến tới nghiệm
Xiịt) = x 2 (t) = 0
ứng với Ơ = € = 0 .
Trường hợp 2: ơ = £, ơ Ỷ E 7^ 0- Khi đó (Ị2.2.16D trở thành
( 1 - I ) X I [t) = 0 suy ra X i ( t )
= 0 (nếu 7 7 ^ 1) do đó x 2 { t ) = 0, như vậy
X\(t) — 0
x 2 (t) = 0
là nghiệm duy nhất và không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu. Ví dụ
2.2.6. C H O
PHƯƠNG TRÌNH:
x ' 2 ( t ) + Xi(t) = /i(í), t X i ( t ) +
(2.2.17)
x 2 ( t ) = /2 (í).
Nếu F ( T ) = Ị Ị thì (Ị2.2.19Ị) tương đương
M«.,
0
V /
(2.2.18)
(2.2.19)
Lấy đạo hàm hai vế phương trình này ta được
x' 2 (t) =
—
X ị (t).
Thay vào (2.2.18) ta có
t x [ ( t ) = 0 (Ví =>- x [ ( t ) = 0 =>- X ị ( t ) = c , x 2 { t ) = — t c . Nếu Xị (ío) = x01,x2{t0) =
x02: thì x 0 2 = ~t 0X 0 1 .
Lấy đạo hàm hai vế (2.2.19) ta được:
x'2(t) =
- Xi(t) +
thay vào (2.2.18) ta có
w=
/
/2 {t) - fl{t)
0
dt +
c.
Suy ra
/2 { T ) - /i(í)
x 2 (í) = - T ( Ị
dt + C) + /2 (t).
0
Qua các ví dụ trên ta thấy, phương trình vi phân đại số thuộc lớp bài toán đặt
không chỉnh, có những đặc thù khác hẳn với phương trình vi phân thường
(nghiệm phụ thuộc vào tính khả vi của vế phải, không gian nghiệm có thể là vô
hạn chiều, tồn tại nghiệm phụ thuộc vào điều kiện ban đầu,...). “DAE is not
ODE” (Linda Petrolz, 1982). Điều này khiến việc nghiên cứu các phương trình vi
phân đại số gặp nhiều khó khăn, kể cả lí thuyết cũng như trong phương pháp giải
số.
2.3.
Phương pháp Euler giải phương trình vi phân đại
số
Xét phương trình vi phân ẩn
F(t, x : x') = 0,trong đó F : (t,x,x') —> F(t,x,x') G ]Rm.
(2.3.1)
Áp dụng phương pháp Euler lùi cho phương trình vi phân đại số
(2.3.1) ta có:
F{t,x n ì X n
h
Xn
~ 1 ) = 0.
(2.3.2)
ỉln
Điều này cho ta một hệ M phương trình phi tuyến đối với X N tại mỗi bước.
Ví dụ 2.3.1. Xét phương trình
M^+í1
\o 0 )
\0
1
*>L=(,(t)y
+ ^/
\o
(2.3.3)
Ị
Nghiệm của hệ phương trình là:
Xi(t) = q{t) +
ritq'{t), x 2 {t) =
Với 7 7 = —1 ta chỉ ra dưới đây không xác định được nghiệm
XN
khi sử dụng
Ị1
- Ự \ fu)
phương pháp Euler lùi.
Đặt
u = Xị+ rjtx 2,
V
= x2.
Khi ấy,
lo
X=
Suy ra:
u' + V = 0, u
= q(t).
Phương pháp Euler lùi cho:
u
q(tn) - u n - 1
h
Ta có:
= -q'(tn ) + 0 (h).
Vn
Áp dụng trực tiếp phương pháp Euler lùi cho (2.3.3Ị) ta được:
(o o\ x n - QCn-i Ịl T f t n \
\l ĩjt n J
h
\o ĩ +
U
{ v
^
TỊJ ^ 0 J
Xác định
[
(
=
n
n
^
j - { o i ị
ta có:
Un =
(1
,
+ K=
q(tn),
ĨM^Ủ.
Ịt
Chúng ta thấy ở đây trong khi
Ĩ]
UN
xác định chính xác thì
VN
không xác định khi
= —Ĩ.
Ví dụ 2.3.2. Xét hệ phương trình vi phẫn đại số tuyến tính
(À - l)x[ + Xtx' 2 = 0,
(A - 1 )0 1 ! + (ÀT -
(2.3.4)
= 0.
L)X2
(2.3.5)
Hệ trên có thể viết dưới dạng tương đương sau:
(A — L ) X [ + (A T X 2 Ỵ — Ằ X 2 = 0,
(2.3.6)
(A - L ) X I + ( X T -
(2.3.7)
L)X2
= 0.
hay dưới dạng ma trận:
(
y0Ị
([A - ìxt] x(t)) +
/ 0 -A \
\x
-1
xt- 1J
x(t) = 0.
