Chương 2 Phương pháp số giải phương trình vi phân đại số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (932.69 KB, 395 trang )
t
)
)
=
0
(
2
.
1
.
1
)
trong đó
X : I —>
Mn,
I
= (a;
+oo) c M,
F :I X
Dx R n
->• R n
(t
,x
,y
)
^
F
(t
,x
,y
).
ở đây D là tập mở trong
WL,F e
CỰX
D
XRN,
Mn),-
không gian các hàm liên tục
nhận giá trị trong Mn, F ^ , F Ý
e C Ự X D X Mn,L(Mn)). Nếu |
4 là không suy biến thì theo
định lý hàm ẩn có thể giải
phương trình trên theo
X'
để
được một phương trình vi
phân thường X ' { T )
=
đã
xét trong Chương 1. Tuy
nhiên, nếu |4 suy biến thì nói
chung phương
trình vi phân ẩn không đưa
được về phương trình vi phân
thường và phương trình vi
phân ẩn thường có dạng một
phương trình vi phân thường
và một ràng buộc đại số. Ta
thường gọi những phương
trình như vậy là
PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ.
Nghiệm và chỉ số của
phương trình vi phân đại số
Định nghĩa 2.1.1. Hàm x(t)
được gọi là nghiệm (cổ
điển) của phương trình vi
phân dạng tổng quát
F
(
T
,
x(
í)
,
X
'(
T
)
)
=
0
(2
12)
trên một khoảng trong /,
nếu X là khả vi liên tục
trên I và thỏa mãn
(2.1.2)
với mọi t £ I.
Định nghĩa 2.1.2. số lần nhỏ
nhất mà tất cả hoặc một
phần của phương trình vỉ
phãn đại số (1 2 .1 .2 1 ) phải
lấy đạo hàm toàn phần
theo t để xác
định x' như là một hàm
liên tục của X , t được gọi
là chỉ số vi phẫn của
phương trình (2 .1 .2 ).
2.1.2.
Phương trình vi phân
đại số chỉ số 1
Xét hệ phương trình vi phân
đại số nửa hiện (semi-explicit
DAE)
X
'
=
(
2
.
1
.
3
)
1 =
g(
t,
x,
y)
.
(2.
1.
4)
Đây là trường hợp đặc biệt của
(2.1.2). Lấy đạo hàm hai vế
của (2.1.4) ta được;
1
=
dg{t,x,y )
dg(t,x,y )
+
+
dt
dx
dg(t,x,y)
dy
Thay (Ị2.1.3D vào phương trình này ta được
ru ™ A , dg{t,x,y)
0 = DG { T , X , Y ) +DGỊT , X , Y ) F ( T , X , Y ) +
- - - -Y (í).
dt
dx
dy
ỡg
Nếu ^ là không suy biến
với moi T thì từ
phương trình này ta
có D Y
' D G ( T , X , Y - 1 dg(t,x,y)
dg(t,x,y)
Ỵ
ý [ì) = H------^
DY
dt
dx
Kết hợp với phương trình (2.1.3) ta được một hệ phương trình vi phân thường
í x' = f{t,x,y),
2 - ĩ d 9( t , x , y ) ! d g ( t , x , y ) d g ( t , x , y )
{
y{t) =
-[dT~
ì
l
m^
+
d^-
m t
’x’
v )
-
Như vậy, sau một lần lấy đạo hàm, ta có hệ phương trình vi phân thường. Chứng
tỏ hệ phương trình đã cho có chỉ số 1.
Hệ phương trình vi phân đại số nửa hiện chỉ số 1 có liên quan chặt chẽ tới
phương trình vi phân ẩn. Sử dụng định lý hàm ẩn chúng ta có
thể tìm trong (2.1.4), sau đó thay Y vào (2.1.3) cho ta một phương trình theo X .
2.1.3.
Phương trình vi phân đại số tuyến tính
Tương tự như trong phương trình vi phân thường, hệ phương trình vi phân đại số
tuyến tính
A(t)x'{t) + Bịt) xịt) = f(t),t E/CM,
(2.1.5)
được đặc biệt quan tâm. ở đây A(-), B(-) là các ma trận cấp m X n , f :
I
—»• R là vectơ với các hệ số liên tục và det A(t) = OVí € /,
X
: I
—»• M n , x(-) là hàm khả vi liên tục.
Định lý 2.1.1. Giả sử phương trình vi phẫn đại số tuyến tính với chỉ số
lớn hơn 1 là giải được (có nghiệm). Khi đó, mỗi lần lấy đạo hàm
ràng buộc sẽ được giảm chỉ số đi một đơn vị.
Do đó sau a lần lấy
đạo hàm,
phương trình vi phân đại số sẽ trở thành
phương trình vi phân
thường.
CHỨNG
2.2.
MINH.
Xem, thí dụ, [4].
Một số đặc thù của phương trình vi phân đại số
□
Để hiểu rõ thêm về hệ phương trình vi phân đại số ta xem xét một số ví dụ sau.
Ví dụ 2.2.1. Cho phương trình vi phân:
(ì (
'{t) \ Ịo ì\ (
Xl
(t)
Xl
\
Phương trình này được viết dưới dạng tương đương:
Xị(t) + x 2 {t) = 0.
Vậy X 2 ( T ) = < P ( T ) là hàm khả vi bất kì, còn
xí{t) = -x 2 (t) =
Suy ra X I ( T ) có dạng
t
Xi{t) = - Ị < p { r ) d T + < p ( 0 ).
0
Chọn ụ>i(t) =
= 1,2,...). Khi ấy {<£ị(í)} độc lập tuyến tính. Thật
vậy, giả sử ta có
C l < P l { t ) + c 2 <^2(£) + C ^ l f 3 ( t ) + • • • = 0.
Chọn г = 1 ta có
C Ị T + C2 Í2 + C3 Í3 + • • • = 0.
Do T bất kì nên ta có
C \ + C Y T + C3 Í2 + • • • = 0.
Cho T = 0 ta được Cl = 0 suy ra
C 2 Ì + C3 Í2 + • • • = 0.
Lại có T bất kì cho ta
C -2 + C 3 T +
trình này tiếp tục cho ta
CẠ2
+ ••• = (), cho T = 0 ta được c2 = 0. Quá
C I = c2 = c3 = • • • = 0.
Vậy hệ (<£ị(í)} độc lập tuyến tính.
Ta có bảng nghiệm sau:
Ỉ 1 1
2
3
X2{T) T
T2
T3
*!(*) -T
1
34
T3
í4
Nhận xét 2.2.1. Không gian nghiệm của hệ (2.2.1) là hữu hạn chiều.
Ta đã biết rằng hệ phương trình vi phân tuyến tính
x'{t) = A{t)x{t)
(2.2.2)
với A ( T ) liên tục trên [a, 6 ] có không gian nghiệm là hữu hạn chiều. Thật vậy, ta
có:
I
\ A ( T ) X Ị - A ( T ) X 2 II = ||A(í)|| 11^! - X 2 \ \ < L \ \ X L -
X2\\
, trong đó L
— max m(í)|| . Như vậy, vế phải của hệ phương trình tuyến
íe[a,6]
tính (2.2.1) thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Theo Định lí Picard-Lindelỏf,
nếu A ( T ) liên tục thì phương trình (2.2.2) có nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu
X ( T 0)
= X0.
Với điều kiện ban đầu
X
i{t
x n {to )
v° )
V /
o)
1
phương trình (2 .2 .2 ) có các nghiệm
/
X ị i (t)
Xi(t)
\
tương ứng
,i = 1 ,2 ,n.
V
Xin{t)
/
Hệ
X^(T),...
,
độc lập tuyến
tính. Thật vậy, nếu hệ
là phụ thuộc tuyến tính thì phải tồn tại các số C Ị , I =
1 , 2 k h ô n g
đồng thời bằng 0 sao cho
Ci^i(í) + c 2 x 2 {t) + ... + c n x n (t ) = 0
với mọi T . Cho T =
T0
ta được:
' o
\ /
o N
0
+ C2
v° I
V /
CN 0.
1
0
Ci
\° )
Vậy hệ nghiệm {a:i(í), x2 ( í ) , x n ( í ) } là độc lập
tuyến tính. Hơn nữa,
theo tính chất duy nhất nghiệm, mọi nghiệm x(í) của
(2 .2 .2 ) phải có dạng
X(T)
= Cia:i(í) + ... + C N X N ( T ) .
Chứng tỏ hệ {Xị(t), X 2 ( T ) , ...,xn(t)} là cơ sở của không
gian nghiệm của
(2.2.2)
. Vậy không gian nghiệm của hệ (2.2.2) là nchiều. Ví dụ (2.2.1)
cho thấy không gian nghiệm của phương trình E X ' ( T )
+ A X Ị T ) = 0 có thể là vô hạn chiều. Câu hỏi đặt ra là
khi nào không gian nghiệm của phương trình E X ' ( T )
+ A X ( T ) = 0 là hữu hạn chiều?
Ví dụ 2.2.2. C H O
í
1
)
W’ W‘
A
-
(
Ũ
\
E
Phương trình E X ' ( T ) + A X ( T ) =
đương với:
(1) At)
0
+
(
1
0
V /V /
ì
x{t) =
(ỉí{*]),
\
F(T)
tương
/
(2.2.3)
hay
X'{T)
= /i(í),
= /2 (0 *
Để phương trình có nghiệm thì / 2 ( T ) phải là hàm
khả vi và X ' { T ) = / 2 ( T ) với mọi T . Suy ra
/i(*) = /2(0 /2{ t ) = Ị f i { t ) d t + c .
0
Ví dụ 2.2.3. Xét hệ phương trình
( t ^ ( x\{t) \
+
(ĩ
vi phân
0 ) í x 1( t ) \
A(í)
yj 0 / \ ^-'2 {í) / \f
(
^
1 / \ J-'2 fí) /
/2 (í)
=
\
/
Hệ phương trình trên tươngđương với:
(2.2.5)
tx[(t) + x' 2 (t) +
X ị ( t
) = / 1 (t),
txi{t ) + x 2( í ) = / 2 ( í ) .
Giả sử /2 (í) ẽ ơ1. Lấy đạo hàm (2.2.6) ta được
t x [ ( t ) + X i ( t ) + x ' 2 ( t ) = /2 (í).
Thay vào (2.2.5) ta có
/
2 ^) = /i(*)- Từ hai
(2.2.6
)
