Chỉnh hợp không lặp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (735.88 KB, 176 trang )
Chnh hp khụng lp
Ví dụ 1. Tính số n ánh từ tập m phần tử U = {u1, u2, ..., um} vào tập n
phần tử V.
Giải: Mỗi n ánh f cần đếm đợc xác định bởi bộ ảnh (f(u1), f(u2), ...,
f(um)), trong đó f(ui) V, i=1, 2, ..., m, f(ui) f(uj), i j. Từ đó nhận đợc
số cần tìm là n(n-1)...(n-m+1).
Vớ d 2. Cú bao nhiờu cỏch xp 4 hc sinh vo ngi sau mt cỏi bn cú
10 ch ngi vi iu kin khụng c phộp ngi lũng.
Gii. ỏnh s cỏc hc sinh t 1 n 4, cỏc ch ngi t 1 n 10. Mi
cỏch xp hc sinh cn m cú th biu din bi b cú th t (g 1, g2, g3,
g4), trong ú gi {1, 2, ..., 10} l ch ngi ca hc sinh i. T iu kin
u bi gi gj, i j; do ú mi cỏch xp cn m l mt chnh hp khụng
lp chp 4 t 10. Vy s cỏch xp cn m l P 104 = 10.9.8.7 = 5040.
Toỏn ri rc
29
Chnh hp khụng lp
Chỳ ý: gii vớ d 2 cú th lp lun trc tip
theo nguyờn lý nhõn:
Ta ln lt xp cỏc hc sinh vo ch ngi.
Hc sinh th nht cú 10 cỏch xp
Tip n hc sinh th hai cú th
xp vo 1
trong 9 ch cũn li, ...
Theo nguyờn lý nhõn cú 10.9.8.7 cỏch xp
Toỏn ri rc
30
Hoỏn v
nh ngha. Ta gi hoỏn v t n phn t ca X l b cú
th t gm n thnh phn, mi thnh phn u l phn t
ca X, cỏc thnh phn khỏc nhau tng ụi.
Ký hiu s lng hoỏn v t n phn t l Pn.
Theo nh ngha, mt hoỏn v t n phn t ca X cú th
biu din bi
(a1, a2, ..., an), ai X, i = 1, 2, ..., n, ai aj, i j.
Rừ rng Pn = Pnn. Vỡ vy, ta cú
n
P
=
P
nh lý 3. n
n = n ì ( n 1) ì ... ì 2 ì 1 = n !
Toỏn ri rc
31
Hoỏn v
Ví dụ 1. 6 ngời đứng xếp thành một hàng ngang để chụp
ảnh. Hỏi có thể bố trí bao nhiêu kiểu?
Giải: Mỗi kiểu ảnh là một hoán vị của 6 ngời. Từ đó
nhận đợc số kiểu ảnh có thể bố trí là 6! = 720.
Ví dụ 2. Cần bố trí việc thực hiện n chơng trình trên một
máy vi tính. Hỏi có bao nhiêu cách?
Giải: Đánh số các chơng trình bởi 1, 2,..., n. Mỗi cách
bố trí việc thực hiện các chơng trình trên máy có thể
biểu diễn bởi một hoán vị của 1, 2, ..., n. Từ đó suy ra số
cách bố trí cần tìm là n!
Toỏn ri rc
32
Hoỏn v
Vớ d 3. Cú bao nhiờu song ỏnh t tp n phn t X vo
chớnh nú? (Mi song ỏnh nh vy c gi l mt phộp
th).
Gii. Mỗi song ánh f cần đếm đợc xác định bởi bộ ảnh
(f(u1), f(u2), ..., f(un)), trong đó f(ui) V, i=1, 2, ..., n,
f(ui) f(uj), i j. Từ đó nhận đợc số cần tìm là n!
Vớ d 4. Cú bao nhiờu cỏch b trớ n th thc hin n vic
sao cho mi th thc hin mt vic v mi vic do ỳng
mt th thc hin
Gii: n!
Toỏn ri rc
33
T hp
nh ngha. Ta gi t hp chp m t n phn t ca X l b
khụng cú th t gm m thnh phn, mi thnh phn u l
phn t ca X, cỏc thnh phn khỏc nhau tng ụi.
Ký hiu s lng t hp chp m t n phn t l Cnm (ụi khi ta
s s dng ký hiu C(n,m))
Theo nh ngha, mt t hp chp m t n phn t ca X cú th
biu din bi b khụng cú th t
{a1, a2, ..., am}, ai X, i = 1, 2, ..., m, ai aj, i j.
Vi gi thit X={1, 2,...,n}, mt t hp chp m t n phn t ca
X cú th biu din bi b cú th t
(a1, a2, ..., am), ai X, i = 1, 2, ..., m, 1 a1 < a2 < ...
Toỏn ri rc
34
T hp
Việc đếm các tổ hợp có khó khăn hơn so với vic m các cấu hình đã
trình bày, tuy nhiên cách đếm dới đây cho biết cách vận dụng các
nguyên lý cùng với các kết quả đếm đã biết trong việc đếm một cấu
hình mới.
Xét tập hợp tất cả các chỉnh hợp không lặp chập m của n phần tử. Chia
chúng thành những lớp sao cho hai chỉnh hợp thuộc cùng một lớp chỉ
khác nhau về thứ tự. Rõ ràng các lớp này là một phân hoạch trên tập
đang xét và mỗi lớp nh thế là tơng ứng với một tổ hợp chập m của n. Số
chỉnh hợp trong mỗi lớp là bằng nhau và bằng m! (số hoán vị). Số các
lớp là bằng số tổ hợp chập m của n. Theo nguyên lý cộng, tích của m!
với số này là bằng số các chỉnh hợp không lặp chập m của n, nghĩa là
bằng n(n-1)...(n-m+1). Từ đó nhận đợc số tổ hợp chập m của n là
n(n 1)(n 2)...(n m + 1)
m!
Toỏn ri rc
hay
n!
m !(n m )!
35
T hp
nh lý 4.
n!
C =
(còn ký hiệu là C( n, m) hay
m !(n m)!
C(n,m) c gi l h s t hp.
m
n
n
ữ)
m
Khi nhận xét rằng, giá trị của phép chia trong cụng thc
ca nh lý 4 là một số nguyên, ta nhận đợc một kết quả
lý thú trong số học: Tích của k số tự nhiên liên tiếp bao
giờ cũng chia hết cho k!.
Toỏn ri rc
36
T hp
Ví dụ 1. Có n đội bóng thi đấu vòng tròn. Hỏi phải tổ chức
bao nhiêu trận đấu?
Giải: Cứ 2 đội thì có một trận. Từ đó suy ra số trận đấu sẽ
bằng số cách chọn 2 đội từ n đội, nghĩa là bằng
C(n,2) = n(n-1)/2.
Ví dụ 2. Hỏi có bao nhiêu giao điểm của các đờng chéo của
một đa giác lồi n (n 4) đỉnh nằm ở trong đa giác, nếu biết
rằng không có ba đờng chéo nào đồng quy tại điểm ở trong
đa giác?
Giải: Cứ 4 đỉnh của đa giác thì có một giao điểm của hai đ
ờng chéo nằm trong đa giác. Từ đó suy ra số giao điểm cần
đếm là
C(n,4) = n(n-1)(n-2)(n-3)/24.
Toỏn ri rc
37
Bi toỏn chia ko
Gi s k v n l cỏc s nguyờn khụng õm. Hi
phng trỡnh sau õy cú bao nhiờu nghim?
t1 + t2 + t3 + L + tk = n;
t1 , t2 ,L , tk Z+
Ni dung thc t:
Cn chia n cỏi ko cho k em bộ B1, B2, ,Bk. Hi cú
bao nhiờu cỏch chia khỏc nhau?
Toỏn ri rc
38
Bi toỏn chia ko
Cn th n qu búng ging nhau vo k phũng:
Room1, Room2, , Roomk. Hi cú bao nhiờu
cỏch phõn b khỏc nhau?
Nu gi tj l s lng qu búng th vo Roomj, j
= 1, 2, ..., n; thỡ vn t ra dn v bi toỏn: Hi
phng trỡnh sau õy
t1 + t2 + t3 + L + tk = n
cú bao nhiờu nghim nguyờn khụng õm?
Toỏn ri rc
39
