Nguyên lý bù trừ: Bài toán bỏ thư
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (735.88 KB, 176 trang )
Nguyờn lý bự tr: Bi toỏn b th
Vấn đề còn lại là đếm số cách bỏ th sao cho không có lá
th nào đúng địa chỉ.
Gọi X là tập hợp tất cả các cách bỏ th và Ak là tính chất
lá th thứ k bỏ đúng địa chỉ. Khi đó, theo nguyên lý bù
trừ ta có:
N = N(X ) N1 + N2 ...+( 1)nNn
trong đó N là số cần tìm, N(X) = n!, còn Nk là số tất cả
các cách bỏ th sao cho có k lá th đúng địa chỉ.
Toỏn ri rc
62
Nguyờn lý bự tr: Bi toỏn b th
Chú ý là
Nk =
1i1
N ( Ai1 Ai2 ... Aik ), k = 1, 2,..., n
nghĩa là, Nk là tổng theo mọi cách lấy k lá th từ n lá, với mỗi
cách lấy k lá th, có (n-k)! cách bỏ trong đó k lá này đúng địa
chỉ, ta nhận đợc:
Nk = C(n, k).(n-k)! = n! / k!
Do đó
(1)n
1 1
N = n! (1 + ... +
)
1! 2!
n!
Vậy xác suất cần tìm là:
(1)n
1 1
1 + ... +
1! 2!
n!
Toỏn ri rc
63
Nguyờn lý bự tr
Một điều lý thú là xác suất này dần đến e-1 (nghĩa là còn
lớn hơn 1/3) khi n khá lớn. Số trong bài toán trên đợc gọi
là số mất thứ tự và đợc ký hiệu là Dn. Dới đây là một vài giá
trị của Dn, cho ta thấy Dn tăng nhanh thế nào so với n:
n
2
3
4
5
6
7
Dn
1
2
9 44 265 1854
8
9
10
11
14833 133496 1334961 4890741
Toỏn ri rc
64
S lng ton ỏnh
Gi s A={a1, a2, ..., am } v B={b1, b2, ..., bn }.
Trong cỏc phn trc ta ó chng minh:
S lng ỏnh x t A vo B l nm
S lng n ỏnh t A vo B l n(n-1)...(n-m+1) (n m).
S lng song ỏnh t A vo B l n! (n=m).
Bõy gi gi s mn, ta cn m s lng ton ỏnh t A vo B.
Nhc li: nh x f t A vo B l ton ỏnh nu vi mi phn t b thuc B u
tỡm c a thuc A sao cho f(a)=b. (Do mi phn t ca A qua ỏnh x f c
t tng ng vi ỳng mt phn t ca B, nờn mun cú ton ỏnh t A vo B
thỡ rừ rng ta phi cú m n.)
65
S lng ton ỏnh
Ta mun tt c bi u thuc min giỏ tr ca f.
Gi Pi l tớnh cht "bi khụng nm trong min
giỏ tr ca f ".
A
f
B
Khi ú ta cn m s ỏnh x khụng cú bt c
tớnh cht no trong s cỏc tớnh cht P1,..., Pn.
Ký hiu:
Pi = tp cỏc ỏnh x t A vo B cú tớnh
cht Pi , i = 1, 2, ..., n.
Khụng tn ti im khụng cú mi tờn i vo
66
