Số lượng toàn ánh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (735.88 KB, 176 trang )
S lng ton ỏnh
Ta mun tt c bi u thuc min giỏ tr ca f.
Gi Pi l tớnh cht "bi khụng nm trong min
giỏ tr ca f ".
A
f
B
Khi ú ta cn m s ỏnh x khụng cú bt c
tớnh cht no trong s cỏc tớnh cht P1,..., Pn.
Ký hiu:
Pi = tp cỏc ỏnh x t A vo B cú tớnh
cht Pi , i = 1, 2, ..., n.
Khụng tn ti im khụng cú mi tờn i vo
66
Nk =
1 i1 < i2 <...< ik n
N( Ai1 Ai2 ... Aik ), k = 1, 2,..., n
S lng ton ỏnh
Theo nguyờn lý bự tr s lng ton ỏnh cn m l:
N N1 + N2 ... +(1)n Nn.
Ta cú:
N - s ỏnh x t m-tp A vo n-tp B: nm
Do N(Pi) - s ỏnh x khụng cú bi trong min giỏ tr, nờn N(Pi) = (n-1)m,
do ú N1 = C(n,1) (n-1)m
Do N(PiPj) - s ỏnh x khụng cú bi v bj trong min giỏ tr, nờn
N(PiPj) = (n-2)m , do ú N2 = C(n,2) (n-2)m.
N ( Pi1 Pi2 ... Pik ) = (n k )m
Tng quỏt ta cú:
dú ú Nk = C(n,k) (n - k)m.
T ú ta cú s lng ton ỏnh l:
nm C(n,1)(n-1)m + C(n,2)(n-2)m ...+ (-1)n-1C(n,n-1)1m.
67
S lng ton ỏnh
Ta vit gn cụng thc
nm C(n,1)(n-1)m + C(n,2)(n-2)m ...+ (-1)n-1C(n,n-1)1m.
di dng sau õy:
n m Cn1 (n 1) m + Cn2 (n 2) m ... + (1) n 1 Cnn 11m
= Cn0 (n 0) m Cn1 (n 1) m + Cn2 ( n 2) m ... + (1) n 1 Cnn 11m + ( 1) n Cnn 0m
n
= ( 1) k Cnk (n k ) m
k =0
68
Chng 1. BI TON M
1.
Nguyờn lý cng v nguyờn lý nhõn
2.
Cỏc cu hỡnh t hp c bn
3.
Nguyờn lý bự tr
4.
Cụng thc qui
5.
Hm sinh
Toỏn ri rc
69
4. Cụng thc qui
Cụng thc qui l cụng thc cho phộp tớnh giỏ tr ca cỏc i
lng theo tng bc, da vo cỏc giỏ tr tớnh cỏc bc trc v
mt s giỏ tr u.
L mt k thut quan trng cho phộp gii nhiu bi toỏn m
Toỏn ri rc
70
4. Cụng thc qui
4.1. Xõy dng cụng thc qui
4.2. Gii cụng thc qui
Toỏn ri rc
71
4.1 Xõy dng cụng thc qui
Vớ d 1. Xõy dng cụng thc qui cho C(n,k) - s
lng tp con k phn t ca tp n phn t X.
Gii:
Theo nh ngha
C(n,0) = 1 v C(n,n) = 1
(1)
Gi s n > k > 0, ta xõy dng cụng thc qui tớnh
C(n,k). C nh mt phn t x X. Phõn tp cỏc tp
con k phn t ca X ra thnh 2 tp:
A tp cỏc tp con k phn t cú cha x
B tp cỏc tp con k phn t khụng cha x
Toỏn ri rc
72
4.1 Xõy dng cụng thc qui
Rừ rng A v B to thnh phõn hoch ca tp tt c cỏc tp
con k phn t ca X. Do ú, theo nguyờn lý cng:
C(n,k) = |A| + |B|.
Ta cú:
Do mi tp con trong A cú cha x, nờn k-1 phn t cũn li ca
nú l mt tp con k-1 phn t ca tp X \{x}, suy ra
|A| = C(n-1,k-1)
Tng t nh vy,
|B| = C(n-1, k)
Vy,
C(n,k) = C(n-1, k-1) + C(n-1,k), n > k > 0 (2)
Toỏn ri rc
73
4.1 Xõy dng cụng thc qui
Cụng thc qui (2) cựng vi iu kin u (1) cho phộp tớnh
giỏ tr ca C(n,k) vi mi giỏ tr ca n v k.
Cụng thc qui (2) cho phộp vit hm qui sau õy tớnh
giỏ tr ca C(n,k):
function C(n,k: integer): longint;
begin
if (k=0) or (k=n) then C:=1
else C:= C(n-1,k-1) + C(n-1,k);
end;
Toỏn ri rc
74
4.1 Xõy dng cụng thc qui
Hm va xõy dng khụng cho mt cỏch tớnh hiu qu. Thc
vy, nu gi C*(n,k) l s phộp toỏn gỏn giỏ tr phi thc
hin bi lnh gi hm C(n,k), d thy
C*(n,0) =1; C*(n,n) = 1
C*(n,k) = C*(n-1, k-1) + C*(n-1,k)+1, n > k > 0
tc l C*(n,k) tho món cụng thc qui tng t nh h s t
hp C(n, k), do ú:
C*(n,k) n!/[k!(n-k)!]
v giỏ tr ny l rt ln khi n ln v k = n/2.
D dng xõy dng mt hm lp tớnh giỏ tr ca C(n,k) mt
cỏch hiu qu hn.
Toỏn ri rc
75
4.1 Xõy dng cụng thc qui
Ví dụ 2. Trên mặt phẳng, kẻ n đờng thẳng sao cho không có 2
đờng nào song song và 3 đờng nào đồng quy. Hỏi mặt phẳng đ
ợc chia thành mấy phần ?
Giải: Gọi số phần mặt phẳng đợc chia bởi n đờng thẳng là Sn.
Rõ rng
S1 = 2,
(3)
Xét n > 1, ta tìm công thức đệ qui cho Sn.
Toỏn ri rc
76
