Hệ số tổ hợp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (735.88 KB, 176 trang )
T hp
T b) v c), ta cú th tớnh tt c cỏc h s t hp ch bng phộp cng.
Cỏc h s ny c tớnh v vit ln lt theo tng dũng (mi dũng
ng vi mt giỏ tr n=0, 1, ...), trờn mi dũng chỳng c tớnh v vit
ln lt theo tng ct (mi ct ng vi mt giỏ tr m = 0, 1, ..., n) theo
bng tam giỏc di õy:
Bảng này đợc gọi là tam giác Pascal.
Toỏn ri rc
45
T hp
Tam giỏc Pascal, n=8
Toỏn ri rc
46
T hp
Các hệ số tổ hợp có liên quan chặt chẽ với việc khai triển
luỹ thừa của một nhị thức. Thật vậy, trong tích
(x+y)n = (x+y) (x+y) . . . (x+y)
hệ số của xm yn-m sẽ là số cách chọn m nhân tử (x + y) mà
từ đó ta lấy ra x và đồng thời trong n-m nhân tử còn lại ta
lấy ra y, nghĩa là
n
n
( x + y ) = C 0n y + ... + C nm x m y
=
nm
+ ... + C nn x n
n
i i n i
C
nx y
i=0
Công thức trờn đợc gọi là khai triển nhị thức Newton và các hệ
số tổ hợp còn đợc gọi là các hệ số nhị thức.
Toỏn ri rc
47
T hp
Trong công thức Niuton t y=1 ta cú:
n
n 1
n 1
n n
(1 + x ) = C 0n + C1n x + ... +(*)
C n x + C nx
Rất nhiều đẳng thức về hệ số tổ hợp đợc suy từ (*). Chẳng hạn, trong
(*) chọn x =1 ta đợc:
C(n,0) + C(n,1) + ...+ C(n,n) = 2n,
tức là nhận đợc kết quả đã biết: số các tập con của một n-tập bằng 2n,
còn nếu chọn x = -1 ta đợc:
C(n,0) C(n,1) + C(n,2) - ...+(-1)nC(n,n) = 0,
tức là số các tập con chẵn (có số phần tử là số chẵn) bằng các số tập
con lẻ và bằng 2n-1.
Nhiều tính chất của hệ số tổ hợp có thể thu đợc từ (*) bằng cách lấy
đạo hàm hoặc tích phân theo x hai vế của đẳng thức này một số hữu
hạn lần, sau đó gán cho x những giá trị cụ thể.
Toỏn ri rc
48
Chng 1. BI TON M
1.
Nguyờn lý cng v nguyờn lý nhõn
2.
Cỏc cu hỡnh t hp c bn
3.
Nguyờn lý bự tr
4.
Cụng thc qui
5.
Hm sinh
Toỏn ri rc
49
3. Nguyờn lý bự tr
(The inclusion-exclusion principle)
3.1. Phỏt biu nguyờn lý
3.2. Cỏc vớ d ỏp dng
Toỏn ri rc
50
3.1. Phỏt biu nguyờn lý
Nguyờn lý bự tr trong trng hp hai tp:
|A B| = |A| + |B| - |A B|
(1)
Gi s A cú 5 phn t, B cú 3 phn t v cú 1 phn t
thuc vo c A ln B
Khi ú s phn t ca hp hai tp l 5+3-1 = 7, ch
khụng phi l 8
CM:
Toỏn ri rc
51
Nguyờn lý bự tr
M rng cho trng hp 3 tp: Gi s A, B, C l ba tp bt
k. Khi ú:
|A B C|
= |(A B) C)|
= |A B | + |C| |(A B) C|
= |A| +|B | + |C| |A B| |(A C) (B C)|
= |A| +|B| + |C| |A B| |A C| |B C)|+ |A B C)|
Vy
|A B C| = |A|+|B|+ |C| |A B| |A C| |B C)|+ |A B C)|
(2)
Cú th chng minh bng lp lun trc tip!
Toỏn ri rc
52
Nguyờn lý bự tr
|A B C| = |A|+|B|+ |C| |A B| |A C| |B C)|+ |A B C)|
(2)
Cú th chng minh bng lp lun trc tip:
Trong tng ca ba s hng u tiờn cỏc phn t chung ca A
v B c tớnh hai ln, vỡ vy phi tr bt i mt ln. Tng
t nh vy i vi cỏc phn t chung ca A v C v cỏc phn
t chung ca B v C.
Th nhng, tr nh vy l hi quỏ, bi vỡ nhng phn t
chung ca c ba tp A, B v C cha c tớnh n trong tng
ca 6 s hng u tiờn. Vỡ vy phi cng bự li.
Toỏn ri rc
53
