Xác định các đặc trưng của một dao động điều hoà

Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.

x0



cosϕ = A

 x = x0

 x0 = Acosϕ

⇒ϕ = ?

⇔ 

⇒

Khi t = 0 thì 

v

v

=

v

v

=

−

A

ω

sin

ϕ

0



 0

sin ϕ = − 0



ωA

cosϕ = 0

0 = Acosϕ



⇒

v0

+ Nếu lúc vật đi qua VTCB thì 

v0 = − Aω sinϕ

 A = − ω sin ϕ > 0





π



π



ϕ = ± 2

ϕ = − 2 rad

⇒

⇒

 A = − v0

 A = v0

ω sin ϕ



ω



x0



>0

 x0 = Acosϕ

A =

cosϕ

⇒

+ Nếu lúc buông nhẹ vật 

0 = − Aω sinϕ

sin ϕ = 0



 ϕ = 0



ϕ = 0

 ϕ =π

⇒ 

⇒

 A = x0 > 0  A = x0



cosϕ

Chú ý:

 Khi thả nhẹ, buông nhẹ vật v0 = 0, A =| x0|

 Khi vật ở biên dương thì x = A

 Khi vật đi theo chiều dương thì v > 0 (Khi vật đi theo chiều âm thì v < 0)

 Pha dao động là: (ωt + ϕ)

π

 sin(x) = cos(x- )

2

 (-cos(x)) = cos(x+ π )

Bài toán mẫu:

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà với biên độ 4cm, trong khoảng thời gian 20s vật thực

hiện được 40 dao động. Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua li độ 2 3 cm và chuyển động

ngược chiều với chiều dương đã chọn.

a) Tính chu kì và tần số dao động của vật?

b) Hãy viết phương trình dao động của vật ?

Hướng dẫn giải:

∆t 20

=

= 0,5s

a) Chu kì dao động của vật: T =

N 40

1

1

= 2 Hz

Tần số dao động: f = =

T 0,5

a) Phương trình dao động có dạng: x = Acos(ωt+ϕ) cm

v = −ωAsin(ωt+ϕ) (cm/s)

Phương trình vận tốc:

Ta có biên độ dao động: A = 4cm

Tần số góc: ω = 2πf = 4π(rad/s)

 x = 2 3(cm)

Chọn gốc thời gian t = 0 thì 

v < 0 do vËt ®i theo chiÒu ©m



: Lê Thanh Sơn, : 0905930406



19



Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.



π

ϕ=







6

3



π

2 3 = 4 cos ϕ

cosϕ =

⇔

⇔

2 ⇒  ϕ = − π ⇒ ϕ = (rad)

6

− Aω sin ϕ < 0

sin ϕ > 0

 

6





sin ϕ > 0

π

Vậy phương trình dao động của vật là: x = 4co s(4π t + ) cm

6

Ví dụ 2: Một con lắc lò xo gồm vật nặng m = 100g và lò xo có độ cứng k = 100N/m. Từ vị

trí cân bằng kéo vật lệch khỏi vị trí cân bằng một đoạn x 0 = 2cm rồi truyền cho vật một vận

tốc 20.π cm/s hướng về vị trí cân bằng, Chọn trục OX trùng với trục lò xo, gốc tọa độ tại

VTCB O chọn chiều dương là chiều lệch vật lúc đầu, gốc thời gian lúc vật bắt đầu dao động

(lấy π2 = 10).

a) Tính biên độ và chu kì dao động của vật.

b) Viết phương trình dao động của con lắc.

c) Xác định thời điểm vật đi qua li độ 6 cm theo chiều dương.

Hướng dẫn giải:

k

a) ta có ω =

=

m



100

= 10.π (rad/s)

0,1

2π 2π

=

= 0, 2 s

Chu kì dao động của con lắc: T =

ω 10π

v

20π 2

v2

A2 = x 2 + ( ) 2 ⇒ A = x 2 + 2 = 2 2 + (

) = 2 2(cm)

ω

10π

ω

Phương trình dao động có dạng: x = Acos(ωt+ϕ) cm

Phương trình vận tốc: v = −ωAsin(ωt+ϕ) (cm/s)

 2 2cosϕ = 2

 x = 2(cm)

⇔ 

⇔

Khi t = 0 thì 

v = −20π (cm / s )

 −2 2.10π sin ϕ = −20π

Vậy phương trình dao động của con lắc là x = 2 2 cos(10πt +

c) khi vật đi qua li độ





cosϕ =





sin ϕ =





π

) cm.

4



2

π

2 ⇒

φ = (rad).

4

2

2



6 cm theo chiều dương thì ta có

π



 6 = 2 2cos(10π t + 4 )

 x = 6

⇔

⇒



π

v > 0

sin(10π t + ) < 0



4



π

3

π

= cos( ± )

cos(10π t + ) =

4

2

6 ⇒ 10π t + π = − π + k 2π



4

6

sin(10π t + π ) < 0



4

1 k

⇒ t = − + ( s) k ∈ N*

24 5

Ví dụ 3: Một lò xo được treo thẳng đứng, đầu trên của lò xo được giữ cố định đầu dưới theo

vật nặng có khối lượng m, lò xo có độ cứng K, khi vật ở vị trí cân bằng thì lò xo dãn 4cm.

Kéo vật rời khỏi VTCB theo phương thẳng đứng hướng xuống một đoạn 2cm, truyền cho nó

vận tốc 10 3 π cm/s theo phương thẳng đứng hướng lên. Chọn gốc thời gian là lúc vật bắt

đầu dao động, gốc toạ độ là VTCB, chiều dương hướng lên, lấy g = π 2 = 10m/s2 .

a) Viết phương trình dao động của vật ?

b) Xác định vận tốc của vật khi đi qua vị trí mà lò xo dãn 1 cm.

20



: Lê Thanh Sơn, : 0905930406



Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.

Hướng dẫn giải

k

g

10

=

=

= 5π (rad/s)

m

∆l

0, 04

Phương trình dao động có dạng: x = Acos(ωt+ϕ) cm

Phương trình vận tốc: v = −ωAsin(ωt+ϕ) (cm/s)

 x = −2(cm)

 Acosϕ = −2

⇔

Khi t = 0 thì 

v = 10 3.π (cm / s )

 −A.5π sin ϕ = 10. 3π

Ta có k∆l = mg ⇒ ω =



−2



 A = cosϕ > 0

−2





2π



(rad )

A = cosϕ > 0



ϕ = π

⇒

⇔  ϕ=

⇒

3



3

 tan ϕ = 3



 A = 4(cm)





2π

ϕ = −

3



Vậy phương trình dao động của con lắc là x = 4cos(5πt - 2



π

) cm.

3



b) Khi vật bắt đầu dao động vật lò xo dãn 4 + 2 = 6cm

Khi vật ở vị trí cân bằng lò xo dãn 4cm.

Khi lò xo dãn 1cm thì vật đi qua li độ x = 3cm

2

 v1 

2

2

A = x +  ÷ ⇒ v = ±ω A2 − x 2 = ±5π 42 − 32 = ± 5π 7 cm/s

ω 

Bài tập tự giải:

Bài 1: Viết biểu thức li độ của một vật dao động điều hoà trong các trường hợp sau:

a) Biên độ 2cm, chu kì 2,5s. Lấy gốc thời gian là lúc vật qua VTCB theo chiều dương của

trục toạ độ.

b) Biên độ 4cm, tần số 20Hz. Lấy gốc thời gian là lúc vật bắt đầu chuyển động từ vị trí biên

dương.

c) Biên độ 5cm, tần số góc 21rad/s. Lấy gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo

chiều âm.

d) Biên độ 10cm, tần số 20Hz. Lấy gốc thời gian là lúc vật cách VTCB 5cm về phía dương

trục toạ độ và đang chuyển động theo chiều âm.

π

ĐÁP SỐ: a) x = 2cos(0,8 π t - ) cm; b) x = 4cos(40 π t ) cm;

2

π

π

c) x = 5cos(21t + ) cm; d) x = 10cos(40 π t + ) cm;

2

3

Bài 2: Vật dao động điều hòa trên một đoạn đường dài 10cm với tần số f = 2Hz.

a) Viết phương trình dao động của vật, chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua li độ -2,5 3 cm

theo chiều dương.

b) Vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương vào những thời điểm nào ?

π

1 k

ĐÁP SỐ: a) x = 5cos(4 π t - 5 ) cm; b) t = + s, k ∈ N .

6

3 2

Bài 3: Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm một vật có khối lượng 100g và lò xo khối lượng

không đáng kể, có độ cứng 40N/m. Kéo vật nặng theo phương thẳng đứng xuống phía dưới

cách vị trí cân bằng một đoạn 5cm và thả nhẹ cho vật dao động điều hoà. Chọn gốc O trùng

với vị trí cân bằng; trục Ox có phương thẳng đứng, chiều dương là chiều vật bắt đầu chuyển

động; gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm. Lấy g = 10m/s2.

a) Viết phương trình dao động của vật?

b) Tính vận tốc cực đại và vận tốc khi đi qua li độ 2,5cm theo chiều âm?

π

ĐÁP SỐ: a) x = 5cos(20t + ) cm; b) |vmax| = 100 cm/s; v = -50 3 cm/s.

2

Bài 4: Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm một vật có khối lượng 100g và lò xo khối lượng

không đáng kể, khi vật ở vị trí cân bằng lò xo dãn 2,5cm. Kéo vật nặng theo phương thẳng

: Lê Thanh Sơn, : 0905930406



21



Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.

đứng xuống phía dưới cách vị trí cân bằng một đoạn 5cm rồi truyền cho vật một vật tốc

100cm/s hướng về vị trí cân bằng. Chọn gốc O trùng với vị trí cân bằng; trục Ox có phương

thẳng đứng, chiều dương hướng lên; gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều

dương. Lấy g = 10m/s2.

a) Viết phương trình dao động của vật?

b) Tính vận tốc và gia tốc khi vật đi qua li độ 2,5 2 cm?

c) Tính cơ năng, động năng và thế năng khi vật đi qua li độ 5 cm?

d) Vào thời điểm nào lò xo dãn 5 cm?

π

ĐÁP SỐ: a) x = 5 2 cos(20t - ) cm. b) v = ± 50 6 cm/s; a = -10 2 m/s2. c) W = 0,1 J;

2

67

k



t = (1200 + 10 )π ; k ∈ N

Wt = 0,05 J; Wđ = 0,95 J. d) 

 t= (- 7 + k )π ; k ∈ N*



1200 10

Dạng 4: Xác định quãng đường và số lần vật đi qua li độ x0 từ thời điểm t1 đến t2

Phương trình dao động có dạng: x = Acos(ωt + ϕ) cm

Phương trình vận tốc:

v = -Aωsin(ωt + ϕ) cm/s

t −t

m

2π

Tính số chu kì dao động từ thời điểm t1 đến t2: N = 2 1 = n + , với T =

T

T

ω

Trong một chu kì: + vật đi được quãng đường 4A

+ Vật đi qua li độ bất kỳ 2 lần

* Nếu m = 0 thì: + Quãng đường đi được: ST = 4nA

+ Số lần vật đi qua x0 là MT = 2n

* Nếu m ≠ 0 thì:

+ Khi t = t1 ta tính x1 = Acos(ωt1 + ϕ)cm và v1 dương hay âm (không tính v1)

+ Khi t = t2 ta tính x2 = Acos(ωt2 + ϕ)cm và v2 dương hay âm (không tính v2)

m

Sau đó vẽ hình của vật trong phần lẻ

chu kì rồi dựa vào hình vẽ để tính Slẻ và số lần Mlẻ

T

vật đi qua x0 tương ứng.

Khi đó: + Quãng đường vật đi được là: S = ST +Slẻ

+ Số lần vật đi qua x0 là: M = MT+ Mlẻ

 x1 > x0 > x2

* Ví dụ: 

ta có hình vẽ:

v1 > 0, v2 > 0

Khi đó

X

-A x2

x0 O x1

A

+ Số lần vật đi qua x0 là Mlẻ = 1

+ Quãng đường đi được:

Slẻ = 2A+(A-x1)+(A- x2 ) = 4A-x1- x2



+ Quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian Δt



( 0 < Δt < T/2)



- Quãng đường lớn nhất: (hình 17)



S max = 2 Asin(



∆ϕ

)

2



-Quãng đường nhỏ nhất: (hình 18)



S min = 2 A[1 − cos (



∆ϕ

)] ; Với ∆ϕ = ω.∆t

2



- Khi Δt > T/2 ta chia nó thành n.T/2+ Δt1 (Δt1 < T/2) khi đó Hình 17

∆ϕ

Smax = 2 A[n + sin( 1 )]

2

∆ϕ

S min = 2 A[n+1 − cos ( 1 )] ; ∆ϕ1 = ∆t1 .ω

2

Chú ý: có thể dùng máy tính FX570 trở lên để tính S

22



: Lê Thanh Sơn, : 0905930406



Hình 18



Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.

t −t

m

+ Tính N = 2 1 = n + , với n là số nguyên hoặc nguyên nửa

T

T

t2



+ S = 4A.n +



∫



v .dt , với v = x’



t1 + n.T



Bài toán mẫu



π

Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 3co s(5πt − ) (x tính bằng

3

cm và t tính bằng giây).

a) Trong 1s đầu tiên từ thời điểm t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = +1cm mấy lần?

b) Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian trên và tốc độ trung bình của vật đó

lúc ấy?

c) Tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi đi được trong khoảng thời gian 3,65s?

Hướng dẫn giải:

∆t

1

N=

=

= 2,5

2π

+ Số chu kì dao động trong một giây đầu tiên:

T

5π

 x1 = 1,5cm

Khi t = 0 thì 

v1 > 0

X

-1,5

-3

0 1 1,5

3

 x2 = −1,5cm

Khi t = 1s thì 

v2 < 0

Ta có trạng thái chuyển động của vật trong 0,5 chu kì như hình vẽ

a) + Ta có 2 chu kì vật đi qua x = 1cm 4 lần ⇒ trong 0,5 chu kì vật đi qua x = 1cm 1 lần

Vậy trong 1s đầu tiên vật đi qua x = 1cm 5 lần.

b) +Trong 2 chu kì vật đi được quãng đường ST = 2.4A

+ trong 0,5 chu kì vật đi được quãng đường: Slẻ = A+(A-x1)+|x2| = 2A - x1 + |x2|

Vậy quãng đường vật đi được trong 1s đầu tiên là:

S = ST+Slẻ = 8A+2A - x1+|x2| = 10A - x1 + |x2| = 10.3 - 1,5 +1,5 = 30cm.

∆t

1

N=

=

= 18, 25

T

1 2π

c) + Số nữa chu kì dao động trong khoảng thời gian trên:

.

2 2 5π

T T

T

2π

π

⇒ ∆t = 18 + ⇒ ∆ϕ = .ω =

.5π =

2 8

8

8

4

∆ϕ

π

Quãng đường lớn nhất vật đi được: Smax = 18.2A + 2Asin

= 36.3+2.3sin = 110,3cm.

2

8

Quãng đường nhỏ nhất vật đi được:

∆ϕ

π

Smin = 18.2A + 2A[1-cos

]= 36.3+2.3[1-cos ] = 108,5cm.

2

8

Bài tập tự giải:

Bài 1: Một vật dao động có phương trình li độ: x = 4 2 cos(5πt -



3π

)cm.

4



1

s đến t2 = 6s và số lần vật đi qua li độ x = -2 cm?

30

b) Tính tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian trên?

ĐÁP SỐ: a) S = 336,9 cm; N = 29 lần. b) |v| = 56,46 cm/s

Bài 2: Một chất điểm dao động theo phương trình x = 2,5cos10t cm.

a) Xác định số lần vật đi qua li độ 2cm kể từ lúc bắt đầu dao động cho đến lúc t = 5s:

1

b) Tính vận tốc trung bình của dao động trong thời gian

chu kì kể từ lúc vật có li độ cực

8

tiểu (x = 0) và kể từ lúc vật có li độ cực đại (x = A).

a) Tính quãng đường vật đi được từ t1 =



: Lê Thanh Sơn, : 0905930406



23