Dạng 19: Tổng hợp hai dao động cùng phương cùng tần số

Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.

- Khi không áp dụng được các công thức trên để đơn giãn ta dùng phương pháp giãn đồ

vectơ Frexnen để giải.

a = b



- tana = tanb ⇒  a = b − π khi b>0

 a = b + π khi b<0

Bài toán mẫu

Ví dụ 1: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà có phương trình:

π

x1 = 4cos(100πt+ )cm, x2 = 4cos(100πt+ π )cm. Xác định phương trình dao động tổng hợp

3

và tốc độ khi vật đi qua vị trí cân bằng?

Hướng dẫn giải:

Ta có A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos (ϕ2 - ϕ1)

⇔ A2 = 42 + 42 + 2.4.4cos (180 -60) ⇒ A = 4cm

A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2

4sin 60 + 4sin180

=− 3

Pha ban đầu: tan ϕ =

=

A1 cos ϕ 2 + A2 cos ϕ2

4 cos 60 + 4 cos180

π



ϕ

=

−



2π

3

⇒

(rad )

vì ϕ1 > 0, ϕ2 > 0 ⇒ ϕ =

3

ϕ = 2π



3

π

Vậy x = 4cos(100πt+2 )cm

3

Tốc độ khi vật đi qua VTCB | Vmax |= A.ω = 0, 02.100π = 2π (m / s )

Ví dụ 2: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hoà cùng phương cùng tần số góc

100 π rad/s, biên độ và pha ban đầu lần lượt là:A1 = 250 3 mm, A2 = 150 mm, A3 = 400 mm,

π

π

ϕ1 = 0, ϕ2 = rad, ϕ3 = - rad.

2

2

a) Viết phương trình dao động tổng hợp của vật?

b) Xác định tốc độ cực đại của vật?

Hướng dẫn giải:

Thành phần theo phương nằm ngang Ox:

Ax = A1cosϕ1 + A2cosϕ2 +A3cosϕ3

= 250 3 cos0 + 150cos90 + 400cos(-90) = 250 3 mm = 25 3 cm.

Thành phần theo phương thẳng đứng Oy:

Ay = A1sinϕ1 + A2sinϕ2 +A3sinϕ3

= 250 3 sin0 + 150sin90 + 400sin(-90) = -250mm =- 25 cm

Ta có A2 = Ax2 + Ay2 ⇔ A2 = (25 3 )2 +252 ⇒ A = 50 cm

π



ϕ = − 6

Ay

−250

1

=

=−

⇒

Pha ban đầu: tan ϕ =

Ax 250 3

3

ϕ = 5π (lo¹i )



6

π

Vậy x = 50cos(100 π t - ) cm.

6

3

b) Tốc độ cực đại của vật | Vmax |= A.ω = 500.100π = 50π .10 mm/s = 50 π m/s.

Ví dụ 3: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà có phương trình:

π

5π

x1 = A1cos(20t+ )cm, x2 = 3cos(20t+

)cm, Biết vận tốc cực đại của vật là 140cm/s.

6

6

a) Xác định biên độ A1 của dao động thứ nhất?

b) Xác định pha ban đầu của vật?

Hướng dẫn giải:

62



: Lê Thanh Sơn, : 0905930406



Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.

a) Ta có ω = 20rad/s

| V | 140

= 7 cm

|Vmax| = A. ω ⇒ Biên độ dao động tổng hợp A = max =

ω

20

A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos (ϕ2 - ϕ1) ⇔ 72 = A12 + 32 + 2A1.3.cos (150-30)

⇒ A12 -3A1+(32-72) = 0

 A = 8cm

⇒ 1

 A1 = −5cm(lo¹i)

Vậy A1 = 8cm

b) Pha ban đầu:

A sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2

8sin 30 + 3sin150

tan ϕ = 1

=

vì ϕ1 > 0, ϕ2 > 0 ⇒ ϕ = 520.

A1 cos ϕ 2 + A2 cos ϕ2

8cos 30 + 3cos150

Ví dụ 4: Hai dao động cùng phương lần lượt có phương trình



π

π

) (cm) và x2 = 6 cos(π t − ) (cm). Dao động tổng hợp của hai dao động này có

6

2

phương trình x = A cos(π t + ϕ ) (cm). Thay đổi A1 cho đến khi biên độ A đạt giá trị cực tiểu thì

x1 = A1 cos(π t +



A. ϕ = −



π

rad .

6



B. ϕ = π rad .



C. ϕ = −



π

rad .

3



u

r

A1



Hướng dẫn giải:

Áp dụng phương pháp véc tơ quay ta có hình vẽ :

Từ hình vẽ xét tam giác OA1A áp dụng định lí

O



hàm sin trong tam giác ta có :



A

A2

π =

sin

sin α

3



π

0,5

sin

→A=

.6

3 .A2 =

sin α

sin α



Vậy để Amin thì (sinα)max = 1 → α =



→ φ = φ1-



D. ϕ = 0 rad .



α

2π/3



π/3



A



A2



π

= φ1- φ

2



π π π

π

= - =2 6 2

3



Bài tập tự giải:

Bài 1: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hoà với các phương trình:

π

x1 = 127cos20πt mm; x2 = 127cos(20πt – ) mm. Viết phương trình dao động tổng hợp và

3

tính vận tốc cực đại của vật

π

ĐÁP SỐ: x = 127 3 cos(20 π - ) mm; |vmax| = 2,54 π 3 m/s.

6

Bài 2: Cho 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số f = 25Hz, với các biên độ A 1 =

π

5π

3

cm, A2 = 3 cm, các pha ban đầu ϕ1 =

và ϕ2 =

. Viết dao động tổng hợp và xác

2

6

2

địn li độ của vật khi t = 2s.

: Lê Thanh Sơn, : 0905930406



63



Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.

131

π ) cm; t = 2s thì x = -1,5 cm.

ĐÁP SỐ: x = 5, 25 cos(50 π t +

180

Bài 3: Cho 2 dao động điều hoà cùng phương cùng tần số: x1 = 6 3 cos(20πt + ϕ1) cm;

π

π

x2 = 8 3 cos(20πt + ) cm. Biết độ lệch pha giữa hai dao động là ∆ϕ = . Tìm ϕ1 và viết

2

3

phương trình dao động tổng hợp.

π

13

π ) cm;

ĐÁP SỐ: ϕ1 = rad thì x = 23,44cos(20 π +

6

180

5π

115

π ) cm

khi ϕ1 =

rad thì x = 21,1cos(20 π +

6

180

Bài 4: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương có biểu thức

π

π

x = 5 3 cos(6πt + ) cm. Nếu dao động thứ nhất có biểu thức là x 1 = 5cos(6πt + ) cm,

2

3

thì dao động thứ hai có biểu thức như thế nào ?

2π

ĐÁP SỐ: x2 = 5cos(6πt +

) cm.

3

Bài 5: Một vật có khối lượng m = 200g thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng

π

phương cùng tần số với các phương trình dao động là x 1 = 4cos(10t +

) cm và x2 =

3

A2cos(10t + π). Biết cơ năng của vật là W = 0,036J. Hãy xác định A 2 và viết phương trình

dao động tổng hợp?

29

π ) cm.

ĐÁP SỐ: A2 = 2(1+ 6 ) cm; x = 6cos(10t +

72

Dạng 20: Bài toán về sự cộng hưởng dao động

Để cho hệ dao động với biên độ cực đại hoặc rung mạnh hoặc nước sóng sánh mạnh nhất thì

xãy ra cộng hưởng dao động.

Khi đó ω = ω0 ( f = f 0 ) ⇒ T = T0

s

Vận tốc khi xảy ra cộng hưởng là: v =

T

k

Lưu ý:+ con lắc lò xo: ω0 =

m

g

+ con lắc đơn: ω0 =

l

mgd

+ con lắc vật lý: ω0 =

I

+ 1m/s = 3,6 km/h

Bài toán mẫu

Ví dụ 1: Một người treo chiếc balô trên tàu bằng sợi đây cao su có độ cứng 450N/m, balô

nặng 8 kg, chiều dài mỗi thanh ray 25m ở chỗ nối hai thanh ray có một khe hở hẹp lấy g =

π 2 m/s2.

a) Tính tần số dao động riêng của balô khi treo trên tàu?

b) Hỏi tàu sẽ chạy với tốc độ bao nhiêu thì ba lô rung mạnh nhất?

Hướng dẫn giải:

a) ta có hệ ba lô và dây cao su được xem như là con lắc lò xo

1 K

1 450

≈ 1,2Hz

tần số dao động riêng của balô khi treo trên tàu f =

=

2π m 2π

8

b) Để cho ba lô rung mạnh nhất thì xãy ra cộng hưởng dao động.

2π

K

⇒ T = T0 =

Khi đó ω = ω0 =

ω

m

64



: Lê Thanh Sơn, : 0905930406



Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.

Vận tốc khi xảy ra cộng hưởng là: v =



s

S

=

T

2π



K

25

=

m

2π



450

≈ 29,8 m/s

8



Bài tập tự giải:

Bài 1: Một người đèo hai thùng nước sau xe đạp, đạp trên đường lát bêtông. Cứ 3m trên

đường thì có một rảnh nhỏ, chu kì dao động riêng của nước trong thùng là 0,6s. Tính vận tốc

xe đạp đi không có lợi?

ĐÁP SỐ: v = 5 m/s = 18 km/h.

Bài 2: Một con lắc đơn có độ dài 60cm được treo vào toa tàu xe lửa, chiều dài mỗi thanh ray

25 m ở chổ nối hai thanh ray có một khe hở hẹp, lấy g = 9,8m/s 2. Tính vận tốc của tàu chạy

để con lắc đơn dao động mạnh nhất ?

ĐÁP SỐ: v = 16,1 m/s = 57,9 km/s.

Dạng 21: Bài toán về dao động tắt dần

a) Tính độ giảm biên độ dao động sau một chu kì: ∆A

ta có: Độ giảm thế năng = công lực ma sát

Gọi A1 là biên độ dao động sau nửa chu kì đầu

A2 là biên độ dao động sau nửa chu kì tiếp theo

+ Xét trong nửa chu kì đầu:

1 2 1 2

1

1

kA1 − kA = Amasát = − Fmasát ( A + A1 ) ⇒ kA2 − kA12 = Fmasát ( A + A1 )

2

2

2

2

F

1

1

⇔ k ( A − A1 )( A + A1 ) = Fmasát ( A + A1 ) ⇒ k ( A − A1 ) = Fmasát ⇒ A − A1 = 2 masát (1)

2

2

k

+ Xét trong nửa chu kì tiếp theo:

1 2 1 2

1

1

kA2 − kA1 = Amasát = − Fmasát ( A1 + A2 ) ⇒ kA12 − kA22 = Fmasát ( A2 + A1 )

2

2

2

2

F

1

1

k ( A1 − A2 )( A1 + A2 ) = Fmasát ( A2 + A1 ) ⇒ k ( A1 − A2 ) = Fmasát ⇒ A1 − A2 = 2 masát (2)

2

2

k

F

4η mg

Từ (1) và (2) ⇒ Độ giảm biên độ sau một chu kì: ∆A = A − A2 = 4 masát =

k

k

F

Độ giảm biên độ sau N chu kì dao động: ∆An = A − An = 4 N masát

k

b) Số chu kì dao động cho đến lúc dừng lại:

A

kA

=

Khi dừng lại An = 0 ⇒ số chu kì: N =

∆An 4 Fmasát

η : là hệ số masát

Lực masát: Fmasát = η .N

N: phản lực vuông góc với mặt phẳng

⇔



c) Để duy trì dao động:

Năng lượng cung cấp = Năng lượng mất đi trong một chu kì = Công của lực masát

d) Quãng đường vật đi được cho đến lúc vật dừng lại: W = |Amasát|

1

kA2

ω 2 A2

⇔ kA2 = η mg.S ⇒ S =

=

2

2η mg 2η g

∆A

)(2N + 1)

- Quãng đường đi được của vật sau N chu kì dao động là: S = (A - N

2

e) Tốc độ lớn nhất của vật đạt dược khi dao động

Vật sẽ đạt vận tốc lớn nhất khi đi qua vị trí cân bằng lần đầu tiên

Vì cơ năng của con lắc giảm dần nên vận tốc của vật sẽ có giá trị lớn nhất tại vị trí nằm trong

đoạn đường từ lúc thả vật đến lúc vật qua VTCB lần thứ nhất ( 0 ≤ x ≤ A ):



: Lê Thanh Sơn, : 0905930406



65