Dạng 18: Bài toán con lắc đứt dây - va chạm

Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.

+ Khi vật đứt ở li độ α thì vật sẽ chuyển động ném xiên với vận tốc ban đầu là vận tốc lúc

đứt dây.

Vận tốc vật lúc đứt dây: v 0 = 2gl (cosα − cosα 0 )



Phương trình theo các trục toạ độ:

 theo ox : x = (v 0 cos α ).t





1 2

 theo oy : y = (v 0 sin α ).t − 2 gt



α0

Y



N



X



O



Khi đó phương trình quỹ đạo là:

1

g

y = (tan α ).x −

x2

2

2 (v 0 .cosα )

Hay: y = (tan α ).x −



r

v0



1 g

(1 + tan 2 α )x 2

2

2 v0



1 2

Chú ý: Khi vật đứt dây ở vị trí biên thì vật sẻ rơi tự do theo phương trình: y = gt

2

2) Bài toán va chạm:

+ Trường hợp va chạm mềm: sau khi va chạm hệ chuyển động cùng vận tốc

r r

r

r

r

r

Theo ĐLBT động lượng: PA + PB = PAB ⇔ m A v A + m B v B = (m A + m B )V

Chiếu phương trình này suy ra vận tốc sau va chạm V

+ Trường hợp va chạm đàn hồi: sau va chạm hai vật chuyển động với các vận tốc khác nhau

r

r

v A 2 và v B2 .

Theo định luật bảo toàn động lượng và động năng ta có

r

r

r

r

r

r

r

r

mA vA + mB vB = mA vA 2 + mB vA 2



 PA + PB = PA 2 + PB2



⇔ 1



1

1

1

2

2

2

2

 WdA + WdB =WdA 2 +WdB2

 2 m A v A + 2 m B v B = 2 m A v A 2 + 2 m B v B2

từ đây suy ra các giá trị vận tốc sau khi va chạm v A2 và v B2 .

Bài toán mẫu

Ví dụ 1: Một con lắc đơn gồm vật có khối lượng m1 = 250g, có chiều dài 40cm. Khi kéo dây

treo lệch khỏi phương thẳng đứng một góc 600 rồi thả nhẹ cho vật dao động, lúc vật đi qua

VTCB va chạm mềm với vật m2 = 150g đang đứng yên, lấy g = 10m/s2.

a) Ngay sau khi va chạm tính tốc độ của con lắc lúc đó?

b) Tính biên độ góc sau khi va chạm mềm?

Hướng dẫn giải:

a) Chọn mốc thế năng lại O

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có:

WA = WO ⇔ WtA = WđO

1

⇔ mgl (1 − cosα 0 ) = m.v 02 ⇒ v 02 = 2gl (1 − cosα 0 )

2

tốc độ của vật lúc đi qua vị trí cân bằng trước lúc va chạm

v 0 = 2gl (1 − cosα 0 ) = v 0 = 2.10.0, 4(1 − cos60) = 2 m/s.

+ Vì vật va chạm mềm với m2 nên sau khi va chạm hệ

chuyển

động cùng tốc độ V.

Theo ĐLBT động lượng:

r r r

r

r

r

α0

P1 + P2 = P12 ⇔ m1v 0 + m 2 v 2 = (m1 + m 2 )V

vì m2 đang đứng yên nên v2 = 0

r

τ

A

r

r

m1 r

r

v0

khi đó m1v 0 = (m1 + m 2 )V0 ⇒ V =

m1 + m 2

O



: Lê Thanh Sơn, : 0905930406



57



Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.

Vậy tốc độ của hệ vật sau khi va chạm

m1

250

V=

v0 =

.2 = 1,25m/s.

m1 + m 2

250 + 150

b) Xét hệ ngay sau khi va chạm mềm với m2

gọi β là biên độ góc của con lắc sau khi va chạm mềm.

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho hệ lúc này ta có:

WO = WB ⇔ WđO = WtB

1

⇔ (m1 + m 2 ).V 2 = (m1 + m 2 ) gl (1 − cosβ )

2

α0 β

V2

1, 252

⇒ cosβ = 1 −

⇒ β = 36,420.

= 1−

2 g .l

2.10.0, 4

A

Ví dụ 2: Một con lắc đơn có chiều dài 80cm. Người ta kéo vật sao

cho dây treo lệch khỏi phương thẳng đứng một góc 300 rồi thả nhẹ.

O

Lấy g = 10m/s2. Khi con lắc đi qua VTCB thì dây treo vật bị tuột.

a) Tính tốc độ của vật khi tuột dây?

b) Viết phương trình quỹ đạo của vật khi tuột dây treo?

c) Nếu vật đi qua li độ 150 đang đi lên thì dây treo bị đứt, viết phương trình quỹ đạo của vật

lúc ấy?

Hướng dẫn giải:

a) Chọn mốc thế năng lại O

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có:

WA = WO ⇔ WtA = WđO

1

⇔ mgl (1 − cosα 0 ) = m.v 02 ⇒ v 02 = 2gl (1 − cosα 0 )

2

Tốc độ của vật khi dây treo bị tuột:

v 0 = 2gl (1 − cosα 0 ) = 2.10.0,8(1 − cos30) = 1,46m/s.

b) Khi vật đi qua vị trí cân bằng thì dây treo vật tuột lúc

α0

đó vật chuyển động ném ngang với tốc độ ban đầu là vận

tốc lúc dây tuột.

A

Chọn hệ trục OXY như hình vẽ, gốc thời gian lúc dây

treo vật bị tuột.

X

O r

Phương trình theo các trục toạ độ:

v0

theo

ox

:

x

=

v

.t(1)



0





1 2

Y

 theo oy : y = 2 gt (2)

x

từ (1) ⇒ t =

thay vào (2) ⇒ phương trình quỹ đạo:

v0

1

1

1 x2

g.x 2

=

x2 =

x 2 = 2,33.x2(m)

y= g 2 =

4l (1 − cosα 0 )

4.0,8(1 − cos30)

2 v0 2.2gl (1 − cosα 0 )

c) tương tự ta có tốc độ của vật khi dây đứt

v 0 = 2gl (cosα − cosα 0 ) = 2.10.0,8(cos15 − cos30) = 1,26m/s.

Chọn hệ trục OXY như hình vẽ, gốc thời gian lúc dây

đứt

Phương trình theo các trục toạ độ:

α0 Y

 theo ox : x = (v 0 cos α ).t(3)

r



α

v



1 2

A

0

α

 theo oy : y = (v 0 sin α ).t − 2 gt (4)

o’ 0

x

t

=

từ (3) ⇒

thay vào (4)

v0 cosα

58



: Lê Thanh Sơn, : 0905930406



B



X



Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.

x

1

x

1

g

− g(

) 2 ⇒ y = (tan α ).x −

x2 =

⇒ y = (v 0 sin α ).

2

v 0cosα 2 v 0 cosα

2 (v 0 .cosα )

1

10

(tan15).x −

x2

2

2 (1, 26.cos15)

= 0,27.x - 3,38. x 2 (m)

Vậy phương trình quỹ đạo của vật lúc đứt dây là: y = 0,27.x-3,38. x 2 (m)

Ví dụ 3: Một con lắc đơn có chiều dài 40cm, vật có khối lượng 100g. Người ta kéo vật sao

cho dây treo lệch khỏi phương thẳng đứng một góc 600 rồi thả nhẹ. Lấy g = 10m/s2. Khi con

lắc đi qua VTCB thì vật va chạm mềm với vật m2 = 50g đang đứng yên.

a) Tính vận tốc của hệ sau va chạm?

b) Tính biên độ góc của hệ sau khi va chạm?

c) Nếu va chạm ở trên là va chạm đàn hồi xuyên tâm. Tính vận tốc mỗi vật ngay sau khi va

chạm và biên độ của con lắc sau khi va chạm?

Hướng dẫn giải:

Chọn mốc thế năng lại vị tí cân bằng O(A là vị trí lúc đầy của con lắc)

a) Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có:

WA = WO ⇔ WtA = WđO

1

⇔ mgl (1 − cosα 0 ) = m.v 02 ⇒ v 02 = 2gl (1 − cosα 0 )

2

vận tốc của con lắc trước khi va chạm:

v 0 = 2gl (1 − cosα 0 ) = 2.10.0, 4(1 − cos60) = 2m / s

vì va chạm mềm nên áp dụng định luật bảo toàn động

α0

r r r

β

r

r

r

lượng ta có: P1 + P2 = P ⇔ m.v0 + m2 .v02 = (m + m2 )v

vì m2 đang đứng yên nên v02 = 0

A

⇒ m.v0 = (m+m2).v

B

m

100

4

r

O

.v0 =

.2 = m/s.

⇒v=

v2

m + m2

100 + 50

3

b) Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho hệ ngay sau

khi va chạm

Y

WO = WB ⇔ WđO = WtB

1

⇔ (m + m 2 ).v 2 = ( (m + m 2 )gl (1 − cosβ 0 ) ⇔ v 2 = 2gl (1 − cosβ 0 )

2

4

( )2

v2

7

⇒ cosβ 0 = 1 −

= 1- 3

= ⇒ β 0 = 38056’

2gl

9

2.10.0, 4

Vậy sau khi va chạm biên độ góc của hệ là 38056’

c) Khi hệ va chạm đàn hồi xuyên tâm ta có

r r r r

r

r

r

r

theo định luật bảo toàn động lượng: P1 + P2 = P1 '+ P2 ' ⇔ m.v0 + m2 .v02 = mv1 + m2v2

chọn chiều dương là chiều chuyển động của con lắc lúc đi qua VTCB ta có:

m.v0 = m.v1 + m2.v2 ⇔ 100.2 = 100.v1+50.v2 ⇒ v2 = 4 - 2v1 (1)

1

1

1

1

2

2

2

2

Theo định luật bảo toàn động năng ta có: m. vo + m2. vo 2 = m. v1 + m2. v2

2

2

2

2

⇔ m. vo2 = m. v12 + m2. v22 ⇔ 100.22 = 100. v12 + 50 v22 ⇒ 8 = 2 v12 + v22 (2)

2

2

2

thay (1) vào (2) ta được 8 = 2 v1 + [4 -2v1]2 ⇔ 8 = 2 v1 + 16 -16.v1 + 4 v1



X



v1 = 2 m/s ⇒ v2 = −0 (lo¹i )

⇒ 6 v - 16.v1 + 8 = 0 ⇒ 

v1 = 2 m/s ⇒ v2 = 8 m/s

3

3



2

1



: Lê Thanh Sơn, : 0905930406



59



Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.

Vậy sau khi va chạm con lắc đơn chuyển động theo phương cũ với tốc độ



2

m/s còn vật m2

3



8

m/s.

3

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho con lắc ngay sau khi va chạm ta có

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho hệ ngay sau khi va chạm

1

2

2

WO = WB ⇔ WđO = WtB ⇔ m.v1 = ( mgl (1 − cosβ ) ⇔ v1 = 2gl (1 − cosβ )

2

2

( )2

v2

⇒ cosβ = 1 − 1 = 1- 3

= 0,944 ⇒ β = 19011’

2gl

2.10.0, 4

sẽ chuyển động ném ngang với tốc độ ban đầu là



Ví dụ 4: Một con lắc lò xo dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang với chu kì T = 2π s,

quả cầu nhỏ có khối lượng m1. Khi lò xo có độ dài cực đại và vật m1 có gia tốc -2cm/s2 thì

một vật có khối lượng m2 = 0,5m1 chuyển động dọc theo trục của lò xo đến va chạm đàn hồi

xuyên tâm với m1 có hướng làm cho lò xo bị nén lại. Vận tốc của m2 trước khi va chạm là 3

3 cm/s; bỏ qua ma sát giữa mặt phẳng ngang với các vật m1 và m2.

a) Tính vận tốc của mỗi vật sau va chạm?

b) Tính khoảng cách giữa hai vật kể từ lúc va chạm đến khi m1 đổi chiều chuyển động?

Hướng dẫn giải:

Gọi v1’ và v2’ là vận tốc của m1 và m2 ngay sau khi va chạm.

r r

r' r2

r

r

r1

r2

Theo ĐLBT động lượng p1 + p2 = p1 + p2 ⇔ m1v1 + m2 v2 = m1v1 + m2 v1

r

r1

r2

r

Vì lò xo có chiều lớn nhất khi vật ở biên nên v1 = 0 nên m2 v2 = m1v1 + m2v1 chiếu lên v2 ta

được: m2v2 = m1v1’+m2.v2’ => 2v1’ + v2’ = 3 3 (1)

Theo ĐLBT động năng:



2

m2 v 22 m1v

m v '2

=

+ 2 2 ⇒ m2v22 = m1 v1’2 +m2v2’2

2

2

2



 2v1’2 + v2’2 = ( 3 3 )2 (2)

Từ (1) và (2) => v1’ = 2 3 cm/s; v2’ = - 3 cm/s < 0 Vật m2 chuyển động ngược trở lại sau

khi va chạm với vạn tốc v2’ = 3 cm/s.

Vì v1 = 0 nên gia tốc vật nặng m1 trước khi va chạm |a| = ω2A (3), với A là biên độ dao động

ban đầu của m1.

Tần số góc ω =



2π

= 1 (rad/s), (3) ⇒ 2 = 12.A ⇒ A = 2cm.

T



Gọi A’ là biên độ dao động của con lắc sau va chạm với m2.

Quãng đường vật m1 đi được sau va chạm đến khi đổi chiều S1 = A + A’

v'

(2 3) 2

Sau va chạm với m2; m1 đang ở vị trí có x =A, v = v1’ ⇒ A’2 = A2 + ( 1 ) 2 = 22 +

=16

ω

1

⇒ A’ = 4 cm ⇒ S1 = A + A’ = 6cm.

Thời gian chuyển động của các vật kể từ sau va chạm đến khi m1 đổi chiều chính là khoảng

thời gian vật m1 đi từ vị trí có li độ x1 = - A’/2 về VTCB rồi ra vị trí biên x = A’

t = T/12 + T/4 = T/3 = 2π/3 s.

Khi đó vật m2 đi được quãng đường S2 = v’2 . t = 2π 3 /3 = 3,63 cm.

Do đó khoảng cách giữa hai vật lúc này là: S = S1 + S2 = 9,63 cm

60



: Lê Thanh Sơn, : 0905930406



Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.

Bài tập tự giải:

Bài 1: Một con lắc đơn vật có khối lượng m, dây treo dài 100 cm khối lượng m ban đầu kéo

lệch góc 300 cho g = 9,85 m/s2 = π2.

a) Tính vận tốc của vật tại góc 60 và vận tốc cực đại ?

b) Khi qua vị trí cân bằng vật va chạm với vật m 0 = 4m đang đứng yên cùng độ cao, sau va

chạm hai vật dính vào nhau cùng dao động. Tính vật tốc của vật ngay sau khi va chạm và

biên độ góc sau khi va chạm?

ĐÁP SỐ: a) v = ± 2gl (cosα − cosα 0 ) = ± 2.9,85.1(cos6 − cos30) = ±1,59m/s ;

vận tốc cực đại v max = ± 2gl (1 − cosα 0 ) = ± 2.9,85.1(1 − cos30) = ±1, 62m/s

b) vận tốc ngay sau khi va chạm mềm 0,324 m/s; biên độ góc sau khi va chạm mềm:

v2

0,3242

⇒ β = 5,90.

cosβ = 1 −

= 1−

2gl

2.9,85.1

Bài 2: Một quả cầu A có kích thước nhỏ, khối lượng m = 500g, treo bằng 1 sợi dây mảnh,

không dãn, chiều dài l = 100 cm. Ở VTCB không quả cầu cách mặt đất nằm ngang một

khoảng 0,8m. Đưa quả cầu ra khỏi VTCB sao cho sợi dây lập với phương thẳng đứng 1 góc

α0 = 600 rồi buông cho nó chuyển động không vận tốc ban đầu. Bỏ qua lực cản môi trường.

a) Tính lực căng T khi A ở VTCB.

b) Nếu đi qua 0 thì dây đứt thì mô tả chuyển động của quả cầu và phương trình quỹ đạo

chuyển động của nó sau đó.

c) Xác định vận tốc của quả cầu khi chạm đất và có vị trí chạm đất.

ĐÁP SỐ: a) T0 = 10N; b) Vật chuyển động ném ngang với phương trình qũy đạo

1 2

y = x m; c) vC = 5,1 m/s.

2

Dạng 19: Tổng hợp hai dao động cùng phương cùng tần số

1) Hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số:

Phương trình dao động dạng:

x1 = A1cos(ωt + ϕ1)

x2 = A2cos(ωt + ϕ2)

⇒ x = x1 + x2 = Acos(ωt + ϕ)

a) Biên độ dao động tổng hợp:

A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos (ϕ2 - ϕ1)

Nếu hai dao động thành phần có pha:

cùng pha: ∆ϕ = 2kπ ⇒ Amax = A1 + A2



ngược pha: ∆ϕ = (2k + 1)π ⇒ Amin = A1 − A2





π

⇒ A = A12 + A2 2

2

lệch pha bất kì: A1 − A2 ≤ A ≤ A1 + A2



A sin ϕ1 + A2 sin ϕ2

tan ϕ = 1

⇒ϕ = ?

b) Pha ban đầu:

A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2

2) Nếu có n dao động điều hoà cùng phương cùng tần số:

x1 = A1cos(ωt + ϕ1)

…………………..

xn = Ancos(ωt + ϕn)

Dao động tổng hợp là:

x = x1 + x2 + x3….. = A cos(ωt + ϕ)

Thành phần theo phương nằm ngang Ox:

Ax = A1cosϕ1 + A2cosϕ2 + …….+ Ancosϕn

Thành phần theo phương thẳng đứng Oy:

Ay = A1sinϕ1 + A2sinϕ2 + ……. + Ansinϕn

Ay

2

2

⇒ A = Ax + Ay và tanϕ =

Ax

Chú ý:





vuông pha: ∆ϕ = (2k + 1)



: Lê Thanh Sơn, : 0905930406



61



Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.

- Khi không áp dụng được các công thức trên để đơn giãn ta dùng phương pháp giãn đồ

vectơ Frexnen để giải.

a = b



- tana = tanb ⇒  a = b − π khi b>0

 a = b + π khi b<0

Bài toán mẫu

Ví dụ 1: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà có phương trình:

π

x1 = 4cos(100πt+ )cm, x2 = 4cos(100πt+ π )cm. Xác định phương trình dao động tổng hợp

3

và tốc độ khi vật đi qua vị trí cân bằng?

Hướng dẫn giải:

Ta có A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos (ϕ2 - ϕ1)

⇔ A2 = 42 + 42 + 2.4.4cos (180 -60) ⇒ A = 4cm

A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2

4sin 60 + 4sin180

=− 3

Pha ban đầu: tan ϕ =

=

A1 cos ϕ 2 + A2 cos ϕ2

4 cos 60 + 4 cos180

π



ϕ

=

−



2π

3

⇒

(rad )

vì ϕ1 > 0, ϕ2 > 0 ⇒ ϕ =

3

ϕ = 2π



3

π

Vậy x = 4cos(100πt+2 )cm

3

Tốc độ khi vật đi qua VTCB | Vmax |= A.ω = 0, 02.100π = 2π (m / s )

Ví dụ 2: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hoà cùng phương cùng tần số góc

100 π rad/s, biên độ và pha ban đầu lần lượt là:A1 = 250 3 mm, A2 = 150 mm, A3 = 400 mm,

π

π

ϕ1 = 0, ϕ2 = rad, ϕ3 = - rad.

2

2

a) Viết phương trình dao động tổng hợp của vật?

b) Xác định tốc độ cực đại của vật?

Hướng dẫn giải:

Thành phần theo phương nằm ngang Ox:

Ax = A1cosϕ1 + A2cosϕ2 +A3cosϕ3

= 250 3 cos0 + 150cos90 + 400cos(-90) = 250 3 mm = 25 3 cm.

Thành phần theo phương thẳng đứng Oy:

Ay = A1sinϕ1 + A2sinϕ2 +A3sinϕ3

= 250 3 sin0 + 150sin90 + 400sin(-90) = -250mm =- 25 cm

Ta có A2 = Ax2 + Ay2 ⇔ A2 = (25 3 )2 +252 ⇒ A = 50 cm

π



ϕ = − 6

Ay

−250

1

=

=−

⇒

Pha ban đầu: tan ϕ =

Ax 250 3

3

ϕ = 5π (lo¹i )



6

π

Vậy x = 50cos(100 π t - ) cm.

6

3

b) Tốc độ cực đại của vật | Vmax |= A.ω = 500.100π = 50π .10 mm/s = 50 π m/s.

Ví dụ 3: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà có phương trình:

π

5π

x1 = A1cos(20t+ )cm, x2 = 3cos(20t+

)cm, Biết vận tốc cực đại của vật là 140cm/s.

6

6

a) Xác định biên độ A1 của dao động thứ nhất?

b) Xác định pha ban đầu của vật?

Hướng dẫn giải:

62



: Lê Thanh Sơn, : 0905930406