Dạng 6: Xác định năng lượng của dao động điều hoà

Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.

b) Động năng: Wđ =



1

1

1

mv2 = mω2A2sin2(ωt + ϕ) = kA2sin2(ωt + ϕ);

2

2

2



với k = mω2

1

1

+ Wđmax = k A2 = mω2A2 khi x= 0 khi đi qua VTCB.

2

2

+ Wđmin = 0 khi x = + A khi ở hai biên.

1

1

2

2

c) Cơ năng: W = Wt + Wđ = k A = 2 mω2A2.

+ Wt = W - Wđ

+ Wđ = W - Wt

Wd W

A

=

− 1 = ( )2 − 1

+

Wt Wt

x

A

T

⇒ sau khoảng thời gian Wt = Wđ là: ∆t =

* Khi Wđ = Wt ⇔ x = ±

2

4

A

* Khi Wđ = nWt ⇔ x = ±

n +1

+ Thế năng và động năng của vật biến thiên tuần hoàn với cùng tần số góc ω’ = 2ω,

T

tần số dao động f’ = 2f và chu kì T’ = .

2

Chú ý: Khi tính năng lượng phải đổi khối lượng về kg, vận tốc về m/s, li độ về mét

Ví dụ 1: Một vật khối lượng m = 100 g được gắn vào đầu 1 lò xo nằm ngang. Kéo vật cho lò

xo dãn ra 10cm rồi buông nhẹ cho dao động, vật dao động với chu kì T = 1 s, lấy π 2 = 10 ,

chọn chiều dương ngược chiều lệch vật, gốc thời gian lúc vật bắt đầu dao động.

a) Viết biểu thức dao động điều hòa?

b) Tính cơ năng của con lắc?

c) Tính động năng của vật khi có li độ x = 5cm?

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình dao động: x = Acos( ω.t + ϕ )cm; v = -A. ω .sin( ω.t + ϕ ) cm/s.

2π 2π

=

= 2π (rad/s)

Tần số góc: ω =

T

1

Khi buông nhẹ A = |x| = 10cm

Khi t = 0 thì x = -10 cm ⇔ - 10 = 10 cos ϕ ⇒ cos ϕ = -1 ⇒ ϕ = π rad.

Vậy x = 10cos(2 π t+ π ) cm.

1 2 1

1

2

2

2

2

b) Cơ năng của con lắc: W = kA = mω . A = .0,1.(2π ) .(0,1) = 0,02 J.

2

2

2

c) Ta có W = Wt+Wđ

⇒ Động năng của vật

1

1

1

1

1

mω 2 A2 − kx 2 = mω 2 A2 − mω 2 x 2 = mω 2 ( A2 − x 2 )

2

2

2

2

Wđ = W - Wt = 2

1

2

2

2

= 0,1.(2π ) (0,1 − 0, 05 ) = 0,015 J.

2

Ví dụ 2: Một vật m = 1kg treo vào lò xo có độ cứng k = 400N/m, chiều dài tự nhiên của lò xo

là 32cm. Quả cầu dao động điều hòa với cơ năng 320mJ theo phương thẳng đứng.

a) Tính chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động?

b) Tính vận tốc của quả cầu ở thời điểm mà chiều dài của lò xo là 36,5cm ?

c) Tính động năng của vật khi có li độ x = 2 2 cm?

Hướng dẫn giải:

1

2W

2.320.10−3

a) Ta có W = kA2 ⇒ A =

=

= 0, 04m = 4cm

2

k

400

: Lê Thanh Sơn, : 0905930406



27



Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.

mg 1.10

=

= 0, 025m = 2,5cm

Độ dãn của lò xo khi vật ở VTCB: ∆ l =

k

400

Chiều dài lo xo khi vật dao động: l = l0+∆ l +x

Chiều dài lớn nhất khi vật dao động: lmax = l0 + ∆ l + A = 32 + 2,5 + 4 = 38,5cm

Chiều dài nhỏ nhất khi vật dao động: lmin = l0 + ∆ l - A = 32 + 2,5 - 4 = 30,5cm

b) ta có chiều dài lo xo khi vật ở li độ x: l = l0+∆ l +x

⇒ li độ của vật: x = l - l0 - ∆ l = 36,5 - 32 - 2,5 = 2cm

k

400

Tần số góc: ω =

=

= 20 rad/s

m

1

v 2

2

2

Ta có công thức A = x + ( ) ⇒

ω

vận tốc của vật v = ±ω A2 − x 2 = ±20 42 − 22 = ±40 3 cm/s

c) Ta có W = Wt+Wđ

⇒ Động năng của vật Wđ = W - Wt

1

1

1

1

1

mω 2 A2 − kx 2 = mω 2 A2 − mω 2 x 2 = mω 2 ( A2 − x 2 )

2

2

2

2

=2

2

1

2

2

= 1.(20) (0, 04 − 0, 02. 2 ) = 0,16 J.

2

Bài tập tự giải:

Bài 1: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, vật nặng có khối lượng m = 250g. Chọn trục tọa

độ Ox thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, kéo vật xuống

dưới vị trí lò xo dãn 6,5cm thả nhẹ vật dao động điều hòa với năng lượng là 80mJ. Lấy gốc

thời gian lúc thả, g = 10m / s 2 . Viết phương trình dao động của vật?

ĐÁP SỐ: x = 4co s(20t )cm .

Bài 2: Một con lắc lò xo gồm một lò xo nhẹ có độ cứng k và một vật nhỏ có khối lượng m =

100g, được treo thẳng đứng vào một giá cố định. Tại vị trí cân bằng O của vật, lò xo dãn

2,5cm. Kéo vật dọc theo trục của lò xo xuống dưới cách vị trí cân bằng O một đoạn 2cm rồi

truyền cho nó vận tốc 40 3 cm/s theo phương thẳng đứng hướng xuống dưới. Chọn trục toạ

độ Ox theo phương thẳng đứng, gốc tại O, chiều dương hướng lên trên; gốc thời gian là lúc

vật bắt đầu dao động. Lấy g = 10m/s2.

a) Tính độ cứng của lò xo, viết phương trình dao động của vật?

2

b) Xác định vị trí và tính vận tốc của vật lúc thế năng bằng

lần động năng.

3

c) Tính thế năng, động năng và vận tốc của vật tại vị trí có li độ x = 3cm.

π

ĐÁP SỐ: a) K = 40 N/m; x = 4cos(20t + 2 ) cm.

3

2

2

3

b) x = ± A = ± .4 cm, v = ± .vmax = ± 16 15 cm/s.

5

5

5

c) Wt = 18 mJ; Wđ = 14 mJ; v = ±ω A2 − x 2 = ±20 42 − 32 = ±20 7 cm/s.

Bài 3: Một con lắc lò xo có khối lượng của vật m = 1Kg dao động điều hoà với cơ năng W =

0,125J. Tại thời điểm ban đầu vật có vận tốc v = 0,25m/s và gia tốc a = - 6,25 3 m/s2.

a) Viết phương trình dao động ?

b) Tìm động năng và thế năng tại thời điểm t = 7,25T ( T là chu kì dao động).

π

ĐÁP SỐ: a) x = 2cos(25t - ) cm. b) Wt = 31,25 mJ; Wđ = 93,75 mJ.

6



28



: Lê Thanh Sơn, : 0905930406



Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.



Dạng 7: Xác định thời gian ngắn nhất vật đi qua li độ x1 đến x2

Ta dùng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều để tính.

Khi vật dao động điều hoà từ x1 đến x2 thì tương ứng với vật chuyển động tròn đều từ M đến

N (chú ý x1 và x2 là hình chiếu vuông góc của M(P) và N(Q) lên trục OX

Thời gian ngắn nhất vật dao động đi từ x1 đến x2 khi vật đi qua hai li độ cùng chiều bằng thời

gian vật chuyển động tròn đều từ M đến N (từ Q đến P)

ˆ

MON

ˆ = x MO

ˆ + ONx

ˆ với

Δt = t MN =

T , MON

1

2

360

N

M

ˆ ) = | x1 | , Sin(ONx

ˆ ) = | x2 |

Sin(x1MO

2

A

A

A

T

+ khi vật đi từ: x = 0 ƒ x = ± thì ∆t =

x1

x2

A X

−A

2

12

O

A

T

+ khi vật đi từ: x = ± ƒ x = ± A thì ∆t =

2

6

P

Q



A 2

x = 0 ƒ x = ±

T

2

+ khi vật đi từ: 

thì ∆t =



8

A 2

ƒ x = ±A

x = ±



2

T

A 3 ƒ

+ khi vật đi từ: x = 0 ƒ x = ±

thì ∆t =

6

2

T

A 3ƒ

+ khi vật đi từ: x = ±

x = ± A thì ∆t =

12

2

T

A 2

+ vật 2 lần liên tiếp đi qua x = ±

thì ∆t =

4

2

∆S

Vận tốc trung bình của vật dao động lúc này: v =

; ∆ S được tính như dạng 4.

∆t

Chú ý:

+ Khi vật đi qua x1 theo chiều dương thì vật chuyển động tròn đều qua P.

+ Khi vật đi qua x1 theo chiều âm thì vật chuyển động tròn đều qua M.

+ Khi vật đi qua x2 theo chiều dương thì vật chuyển động tròn đều qua Q.

+ Khi vật đi qua x1 theo chiều âm thì vật chuyển động tròn đều qua N.

Bài toán mẫu

Ví dụ 1: Một con lắc lò xo gồm vật có khối lượng 100g, lò xo có độ cứng 400N/m, người ta

kích thích cho vật dao động điều hòa, Lấy π 2 = 10 . Thời gian ngắn nhất để con lắc dao động

A 2

từ vị trí cân bằng theo chiều dương đến vị trí có li độ x =

là bao nhiêu khi:

2

A 2

a) Vật đi qua x =

theo chiều dương?

2

A 2

b) Vật đi qua x =

theo chiều âm?

2

Hướng dẫn giải:

Chu kì dao động của con lắc lò xo:

m

0,1

T = 2π

= 2π

= 0,1s

A

k

400

2

O

A X

: Lê Thanh Sơn, : 0905930406



M



N



29



Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.

a) Khi vật đi từ VTCB theo chiều dương đến li độ



A 2

theo chiều dương thì tương ứng với

2



vật chuyển động tròn đều từ M đến N như hình vẽ

A 2

Ta có:

ˆ N ) = 2 = 2 ⇒ MO

ˆ N = 450 khi đó thời gian ngắn nhất vật đi từ VTCB

Sin(MO

A

2

A 2

đến

là

2

ˆ

0,1

MON

45

T

= 0, 0125s

Δt = t MN =

T=

T= =

8

360

360

8

b) Khi vật đi từ VTCB theo chiều dương đến li độ



A 2

theo chiều âm thì tương ứng với vật

2



chuyển động tròn đều từ M đến P như hình vẽ

ˆ = 90 + 45 = 1350

ta có MOP

ˆ

MOP

135

3T 3.0,1

= 0, 4125s

=

Δt1 = t MP =

T=

T=

8

360

360

8

Ví dụ 2: Một con lắc dao động ở nơi có gia tốc trọng trường là g = 10m / s 2 chiều dài dây

treo là 100 cm. Lấy π 2 = 10 . Thời gian ngắn nhất để con lắc dao động từ vị trí cân bằng theo

S

chiều âm đến vị trí có li độ S = 0 là bao nhiêu?

2

Hướng dẫn giải:

Chu kì dao động nhỏ của con lắc đơn:

N

l

1

T = 2π

= 2π

= 2s

M

g

10

S

Khi vật đi từ VTCB đến li độ s = 0 thì tương ứng với

2

S0/2

S0 X

O

vật chuyển động tròn đều từ N đến M như hình vẽ

S0

Ta có: Sin(MO

ˆ N ) = 2 = 1 ⇒ MO

ˆ N = 300 khi đó thời

S0 2

ˆ

S

2 1

MON

30

T

= s

gian ngắn nhất vật đi từ VTCB đến 0 là Δt = t MN =

=

T=

T=

2

360

360

12 12 6

Ví dụ 3:(ĐH 2011) Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ 10 cm, chu kì 2

s. Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Trong khoảng thời gian ngắn nhất khi chất điểm đi từ vị trí

1

có động năng bằng 3 lần thế năng đến vị trí có động năng bằng

thế năng. Tính tốc độ trung

3

bình của chất điểm trên?

Hướng dẫn giải:

A

+ Li độ của vật ở vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng là : x = ±

2

A 3

+ Li độ của vật ở vị trí có động năng bằng 1/3 lần thế năng là : x = ±

2

+ khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng đến vị trí có

động năng bằng 1/3 lần thế năng là

t = tOM/ - tOM = T/6 – T/12 = T/12 = 1/6 s

x



Quãng đường chuyển động của vật :

/



P

30



: Lê Thanh Sơn, : 0905930406



O



M M P

/