- con lắc vật lý- chu kì dao động nhỏ

Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.

 T 2g

l = 4π 2

l

⇒

+ Con lắc đơn: T = 2π

2

g

 g = 4π l



T2



T 2 mgd

I

=



I

4π 2

⇒

T

=

2

π

+ Con lắc vật lý:



2

mgd

 g = 4π I



T 2 md

2

2

+ Khi con lắc có chiều dài l 1 ± l 2 thì T2 = T1 ± T2

r r r

Gia tốc toàn phần của con lắc đơn: a = at + an ⇒ a = at2 + an2

+ Gia tốc tiếp tuyến: at = -gsin α = -A ω cos( ω t+ ϕ ) = - ω 2.s

+ Gia tốc hướng tâm: an =2g(cos α -cos α 0) =



v2

l



Bài tập mẫu:

Ví dụ 1: Một con lắc đơn dài 20 cm vật nặng 100 g dao động tại nơi có g = 9,8 m/s 2. Ban

đầu người ta lệch vật khỏi phương thẳng đứng một góc 0,1 rad rồi truyền cho vật một vận

tốc 14 cm/s về vị trí cân bằng(VTCB). Chọn gốc thời gian lúc vật đi qua VTCB lần thứ hai,

chiều dương là chiều lệch vật.

a) Tính chu kì dao động nhỏ của con lắc đơn?

b) Viết phương trình dao động của vật lúc đó?

c) Tính gia tốc toàn phần của con lắc khi đi qua ly độ 0,05rad?

Hướng dẫn giải

l

0, 2 2

= 2π

= π ( s)

a) Chu kì dao động nhỏ của con lắc đơn: T = 2π

g

9,8 7

b) Phương trình li độ dài: s = Acos(ωt + ϕ) m

v = - Aωsin(ωt + ϕ) m/s

2 π 2π

ω=

=

= 7(rad / s)

2π

Tần số góc:

T

7

ïì s0 = α.l = 0,1.0, 2 = 0, 02m

Ta có ïí

ïïî v 0 = 14cm/s = 0,14m/s

v0 2

0,14 2

) = 0, 02 2 + (

) = 0, 02 2m = 2 2 cm.

ω

7

Vì chọn chiều dương là chiều lệch vật, gốc thời gian lúc vật đi qua vị trí cân bằng lần thứ hai

ì

ìïï s = 0

ìïï 0 = A cos ϕ ìïï cosϕ = 0 ïïï ϕ = ± π

π

Û í

Þ í

Þ í

2 Þ ϕ =- rad.

nên khi t = 0 thì í

ïïî v > 0

ïîï sin ϕ < 0

ïîï sin ϕ < 0 ïï

2

ïî sin ϕ < 0

π

Vậy phương trình li độ dài của con lắc đơn là: s = 2 2 cos(7t - )cm.

2

Biên độ dài: A = s 02 + (



π

Phương trình li giác: α = α 0 cos(7t − )(rad )

2

−2

A 2 2.10

= 0,1 2(rad )

Mà α 0 = =

l

0, 2

π

Vậy α = 0,1 2cos(7t − )(rad )

2

r r r

c) Gia tốc toàn phần của con lắc đơn: a = at + an ⇒ a = at2 + an2

: Lê Thanh Sơn, : 0905930406



39



Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.

+ Gia tốc tiếp tuyến: at = -gsin α = -9,8.sin0,05 = - 0,49 m/s2.

+ Gia tốc hướng tâm: an =2g(cos α -cos α 0) = 2.9,8(cos0,05 – cos0,1)= 0,073m/s2.

Vậy a = 0, 492 + 0, 0732 = 0,495 m/s2.

Ví dụ 2: Một thanh hình trụ dài 80cm có khối lượng 1500g có thể quay quanh trục nằm

ngang đi qua một đầu thanh, lấy g = 10m/s2.

a) Tính mômen quán tính của vật đối với trục quay?

b) Chu kì dao động nhỏ của thanh?

c) Ban đầu người ta lệch vật khỏi phương thẳng đứng một góc 10 0 rồi thả nhẹ chọn chiều

dương là chiều lệch vật, góc thời gian lúc thanh đi qua vị trí thanh hợp với phương thẳng

đứng một góc 50 theo chiều âm. Viết phương trình dao động của con lắc?

Hướng dẫn giải:

a) ta có mô men quán tính của thanh đối với trục quay đi qua một đầu thanh

1

l

1

1

I = I G + md 2 = ml 2 + m.( ) 2 = ml 2 = .1,5.0,82 = 0,32 kgm2.

12

2

3

3

I

b) Chu kì dao động nhỏ của thanh là: T = 2π

m.g .d

l

ta có d =

2

1 2

1 2

ml

l

2l

2.0,8

⇒ T = 2π 3

= 2π 3 = 2π

= 2π

= 1,45s.

l

l

3

g

3.10

m.g .

g.

2

2

c) Phương trình li giác của con lắc: α = α 0 cos(ωt + ϕ) rad

v = - Aωsin(ωt + ϕ) m/s

mgd

1,5.10.0, 4

=

-ω=

= 5 0, 75 rad/s.

I

0,32

10

π

π = rad

Vì thả nhẹ nên α 0 = 100 =

180

18

1



α = 50

50 = 100 cos ϕ cos ϕ =

π

⇔

⇒

2 ⇒ ϕ = rad.

Khi t = 0 thì 

3

v < 0

sin ϕ > 0

sin ϕ > 0

π

π

Vậy α =

cos(5 0, 75 t + ) rad.

18

3

Bài tập tự giải:

Bài 1: Ở cùng một nơi trên Trái Đất một con lắc đơn có chiều dài l 1 dao động với chu kì T1

= 2s, có chiều dài l 2 dao động với chu kì T2 = 1,5s. Tính chu kì dao động của con lắc đơn có

chiều dài l 1 + l 2 và con lắc đơn có chiều dài l 1 – l 2.

ĐÁP SỐ: Khi l = l 1+ l 2 => T =

Khi l = l 1- l 2 => T =



T12 + T22 = 22 + 1,52 = 2,5 s.

T12 − T22 = 22 − 1,52 = 1,32 s.



Bài 2: Trong cùng một khoảng thời gian và ở cùng một nơi trên Trái Đất một con lắc đơn

thực hiện được 60 dao động. Tăng chiều dài của nó thêm 44cm thì trong cùng khoảng thời

gian đó, con lắc thực hiện được 50 dao động. Tính chiều dài và chu kì dao động ban đầu của

con lắc.

ĐÁP SỐ: l = 1,44 m, T = 2,38 s.

Bài 3: Một con lắc đơn bằng kim loại có chu kì dao động là 2s tại nơi g = 10m/s2.

a) Tính chiều dài l ?

40



: Lê Thanh Sơn, : 0905930406



Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.

b) Con lắc đang ở vị trí cân bằng người ta truyền cho nó vận tốc 5 cm/s theo phương ngang.

Viết phương trình dao động chọn gốc toạ độ là vị trí cân bằng và chiều dương là chiều vật

bắt đầu dao động t = 0 khi dao động.

c) Tính gia tốc toàn phần khi vật đi qua ly độ 0,01 rad

5

π

ĐÁP SỐ: a) l = 1,013m. b) s = cos( π t - ) cm. c) a = 0,1m/s2

π

2

Bài 4: Một con lắc đơn dài l = 20cm, vật nặng 100g, kéo con lắc lệch một góc 0,1rad về bên

phải rồi truyền cho nó vận tốc 14cm/s theo phương vuông góc với dây treo về phía vị trí cân

bằng, chọn gốc toạ độ là vị trí cân bằng chiều dương là chiều lệch vật, gốc thời gian là lúc nó

qua vị trí cân bằng lần thứ năm. Cho g = 9,8m/s 2. Viết phương trình dao động và tính cơ

năng của cơn lắc đơn?

π

1

2 2

ĐÁP SỐ: s = 2 2 cos(7t + ) cm; W = mω A = 1,96 mJ.

2

2

Dạng 11: Năng lượng con lắc đơn - Xác định vận tốc của vật - Lực căng dây treo khi vật đi

qua li độ góc α

1) Năng lượng con lắc đơn:

Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng O

1

2

+ Động năng: Wđ = mv

2

+ Thế năng hấp dẫn ở li độ α : Wt = mgl (1 - cosα)

1

2 2

+ Cơ năng: W = Wt + Wđ = mω A

2

1

2

Khi góc nhỏ: Wt = mgl (1 − cosα ) = mgl α

2

1

2

N

W = mgl α 0

2

2) Tìm vận tốc của vật khi đi qua li độ α (đi qua

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có:

Cơ năng tại biên = cơ năng tại vị trí ta xét

WA = WN

WtA+WđA = WtN+WđN

1

⇔ mgl (1 − cosα ) + mv A 2 = mgl (1 − cosα 0 ) +0

2

2

⇒ v A = 2gl (cosα − cosα 0 ) ⇒ v A = ± 2gl (cosα - cosα 0 )



α0



O



α

r

P



r

τ



A A):



3) Lực căng dây(phản lực của dây treo) treo khi đi qua li độ α (đi qua A):

r r

r

r

Theo Định luật II Newtơn: P + τ = m a chiếu lên τ ta được

v2

v2

2gl

τ − mgcosα = ma ht = m A

τ = m A + mgcosα = m

(cosα − cosα 0 ) + mgcosα

l ⇔

l

l

⇒ τ = mg(3cosα - 2cosα 0 )

4) Khi góc nhỏ α ≤ 100

 v 2A = gl (α 02 − α 2 )

sin α ≈ α







α 2 khi đó 

1

2

2

cosα ≈ 1 −

τ = mg(1 + 2α 0 − 3α )



2



2

Chú ý:

+ Khi đi qua vị trí cân bằng(VTCB) α = 0

+ Khi ở vị trí biên α = α 0

Bài toán mẫu

Ví dụ 1: Một con lắc đơn có dây dài 20cm, vật nặng có khối lượng 50g. Kéo con lắc khỏi

phương thẳng đứng một góc α0 = 60 rồi thả nhẹ. Coi con lắc dao động điều hoà, Lấy g =

9,8m/s2.

: Lê Thanh Sơn, : 0905930406



41



Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.

a) Viết phương trình li giác của con lắc đơn chọn gốc thời gian lúc vật bắt đầu dao động,

chiều dương là chiều lệch vật, gốc tọa độ tại VTCB?

b) Tính cơ năng của con lắc? Động năng và thế năng khi đi qua ly độ góc 30?

c) Tính vận tốc và lực căng của dây treo khi con lắc qua vị trí cân bằng?

Hướng dẫn giải:

Phương trình li giác: α = α 0 cos(ωt + ϕ) rad.

π

Vì thả nhẹ nên α 0 = 60 =

rad

30

g

9,8

=

= 7 rad/s

Tần số góc ω =

l

0, 2

Chọn gốc thời gian lúc vật bắt đầu dao động nên khi t = 0 thì

α = α 0 ⇔ α 0 = α 0 cosϕ ⇒ ϕ = 0

π

Vậy phương trình li giác của con lắc đơn là: α = cos7t (rad)

30

mg

l

(1

−

cos

α0 )

b) + Cơ năng: W = Wt + Wđ = Wtmax =

1

1

π 2

2

vì góc nhỏ nên W = mgl α 0 = 0, 05.9,8.0, 2( ) = 0,54.10-3J = 0,54 mJ.

2

2

30

- Thế năng: Wt = mgl(1-cos α ) = 0,05.9,8.0,2(1-cos3) = 0,134.10-3 J = 0,134 mJ

Động năng: Wđ = W – Wt = 0,54 – 0,134 = 0,466 mJ.

c) Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có:

WA = WO => WtA = WđO

1

⇔ mgl (1 − cosα 0 ) = m.v 02 + 0

2

2

⇒ v 0 = 2gl (1 − cosα 0 ) = glα 02

π

⇒ v 0 = ± gl α 02 = ±α 0 gl = ± . 9,8.0, 2 = ± 0,15m/s

30

Lực căng dây của dây treo khi đi qua VTCB

r r

r

Xét vật khi đi qua VTCB theo định luật II Newtơn: P + τ = m a chiếu

α0

r

lên τ ta được

v2

v2

τ − mgcosα 0 = ma ht = m 0

τ = m 0 + mgcosα 0

A

l ⇔

l

vì góc nhỏ nên



r

τ



α 02

O

2

gl α 02

1

1

1 π

⇒τ =m

+ mg(1 − α 02 ) = mg(1 + α 02 ) = 0, 05.9,8(1 + ( ) 2 ) =

l

2

2

2 30

0,493N

Bài tập tự giải:

Bài 1: Một con lắc đơn gồm vật có khối lượng 200g, dây treo dài 180cm ban đầu kéo lệch

góc 600 thả nhẹ tại nơi g = 10m/s 2. Tính vận tốc và lực căng dây khi vật đi qua vị trí có dây

treo hợp vơi phương thẳng đứng một góc 300, và lúc đi qua vị trí cân bằng.

ĐÁP SỐ: + Khi đi qua vị trí cân bằng: v0 = ± 2 gl (1 − cosα 0 ) = ± 2.10.1,8(1 − cos60) = ±

4,24 m/s;

τ = mg(3 -2cos α 0 ) = 0,2.10(3 - 2cos60) = 4 N.

cosα 0 = 1 −



r

P



+ Khi đi qua li độ góc 300: v0 = ± 2 gl (cosα − cosα 0 ) = ± 2.10.1,8(cos30 − cos60) = ± 3,63

m/s;

τ = mg(3cos α -2cos α 0 ) = 0,2.10(3cos30 - 2cos60) = 3,2 N.

Bài 2: Một con lắc đơn có dây dài l = 100 cm, vật nặng có khối lượng m = 50g. Kéo con lắc

khỏi phương thẳng đứng một góc α0 = 60 rồi thả nhẹ. Coi con lắc dao động điều hoà, Lấy g =

10m/s2.

42



: Lê Thanh Sơn, : 0905930406