Bài 2: HỆ LỰC PHẲNG ĐỒNG QUY

1.1.Định nghĩa

Hệ lực phẳng đồng quy là hệ lực có đường tác dụng nằm trong một mặt

phẳng và đồng quy tại một điểm (h.2-1a).

Theo hệ quả của tiên đề 2, ta có thể trượt các lực đó trên đường tác dụng của

nó về điểm đồng qui O, nên hệ lực đồng qui có thể thay bằng hệ lực đặt tại một

điểm (h.2-1b).

1.2.Hợp lực của hai lực đồng a)

qui

1.2.1.Qui tắc hình bình hành

lực





F1



b)

F2



A1



A2

O A3

F3







Giả sử có hai lực F1 và F2

đồng qui tại O. Theo tiên đề 3,

hợp lực R là đường chéo của

hình bình hành lực (h.2-2):



F2



F1

O

F3



Hình 2-1









R = F1 + F2





Để xác định R ta phải xác định trị số, phương chiều của nó.

− Về trị số:



R2 = F12 + F22 − 2F1F2 cos(180− α) .

Vì cos(180- α) = - cosα nên cuối cùng ta có: R = F12 + F22 + 2F1F2 cosα

(2-1)

Các trường hợp đặc biệt

− Hai lực cùng phương, cùng chiều (h.2-3a), ta có α = 0, nên R = F1 + F2.

− Hai lực cùng phương, ngược chiều (h.2-3b), ta có α = 180o, nên R = | F1 - F2| .

− Hai lực vuông góc nhau (h.2-3c), ta có α = 90o, nên R =



F12 + F22



− Về phương chiều:



Ap dụng hệ thức trong tam giác, ta có:

F

F

R

R

=

=

=

sinα1 sinα 2 sin(180o − α) sinα



F1



O



C

R



α2

α1

α



F1



a)



A



F2



R



O

b



F2



O



F1

R



F2



B



c)



F1



O



Hình 2-2 và Hình 2-3

7



R

F2



F1

sinα và

R



⇒sinα1 =



sinα2 =



F1

sinα

R





trong đó: góc α1 và α2 xác định phương và chiều của R

1.2.2.Qui tắc tam giác lực













Ta có thể xác định hợp lực R bằng cách: từ mút A của lực F1 đặt lực F2' song





song, cùng chiều và có cùng trị số với lực F2 . Rõ ràng hợp lực R có gốc đặt tại O,



mút trùng với mút C của lực F2' .







R







= F1 + F2'





Ta thấy rằng: hợp lực R đã khép kín tam giác lực tạo bởi hai lực thành phần





F1 và F2 (h.2-4). R .

1.2.3.Quy tắc hình hộp lực

R'



a)



ω

b)

Fx



Fy



Fx



ϕ



F

Fy



Fz



F



R

c)



ω



d)



Fx



ω



Fy

Fz



Fz

R1



R2



Hình 2-7



Ở trên ta đã xét trường hợp các lực phẳng đồng quy tác dụng lên vật. Trong

kỹ thuật, nhiều khi các chi tiết chịu tải trọng là những lực đồng quy không nằm

trong cùng một mặt phẳng như lực cắt gọt khi tiện (h.2-7).

















Fz .

Trong mặt phẳng chứa lực R và trục Z: R là hợp lực của các lực F vaø

  

R = F + Fz



Về trị số



R = F 2 + Fz2



8











Trong mặt phẳng ngang, lực F có thể phân tích thành hai lực thành phần Fx



hướng theo trục chi tiết, thành phần Fy hướng theo bán kính vng góc với trục:

  

F = Fx + Fy



Về trị số



y



F = Fx2 + Fy2



Từcác biểu thức trên cho ta cơng thức tính

lực cắt R theo quy tắc hình hộp lực (h.2-7a):

   

R = Fx + Fy + Fz



Về trị số



R=



F'2



Y2



Ry



R



Fx2 + Fy2 + Fz2



Trong quá trình tiện mặt đầu bằng dao vai

(h.2-7c) có ϕ = 90o, khi đó Fy = 0. Lực cắt sẽ là:



 

R1 = Fx + Fz



Về trị số



F'n



F2



F1



Fn

O



X1



R1 = Fx2 + Fz2



X2

Rx



Xn



x



Hình 2-9



Trong q trình tiện rãnh bằng dao cắt

(h.2-7d) có ϕ = 0o, khi đó lực hướng trục là F x =

0. Lực cắt sẽ là:



 

R 2 = Fy + Fz



Về trị số



R2 = Fy2 + Fz2



Theo tiên đề tương tác, dao sẽ tác dụng lên chi tiết







lực R' có trị số

bằng

lực

, hướng ngược lại và đặt vào y

R



chi tiết. Lực R' cũng được phân tích thành các lực thành



phần theo quy tắc hình hộp lực.



Y



1.3.Hợp lực của hệ lực phẳng đồng qui

Có hai phương pháp để tìm hợp lực của hệ lực O

phẳng đồng quy, đó là phương pháp đa giác lực (còn gọi

là phương pháp hình học) và phương pháp giải tích (còn

gọi là phương pháp chiếu).



F



α

X



x



Hình 2-8



Ở đây ta chỉ nghiên cứu hệ lực bằng phương pháp giải tích.

1.4.Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng

quy

Muốn hệ lực phẳng đồng qui cân bằng thì trò số



của hợp lực R phải bằng không. Khi đó đa giác lực tự

đóng kín, nghóa là đa giác lực có mút của lực cuối

cùng trùng với gốc của lực đầu.

9



Ta có kết luận: “Điều kiện cần và đủ để một hệ

lực phẳng đồng qui cân bằng là đa giác lực tự đóng

kín”.

2. Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng giải tích

2.1.Chiếu một lực lên trục tọa độ





Gọi hình chiếu của lực F lên hai trục

vng góc Oxy là X và Y, ta có (h.2-8):

X = ± F cosα 



Y = ± F sinα 



(2-1)





trong đó: α - góc nhọn hợp bởi lực F với trục x.

Hình chiếu lấy dấu (+) khi chiều từ điểm chiếu của gốc đến điểm chiếu của

mút cùng chiều (+) với trục, lấy dấu (-) trong trường hợp ngược lại.

Đặc biệt



− Nếu F vng góc, chẳnng hạn với trục Ox thì X = 0 và Y = ± F.



− Nếu F song song, chẳng hạn với trục Ox thì X = ± F còn Y = 0.



Ngược lại, khi biết hình chiếu X, Y của lực F trên hai trục vng góc Oxy,



ta hồn tồn xác định được nó:

− Về trị số:



F=



X 2 +Y 2



(2-3)



− Về phương chiều:



cosα =



X

F



và sinα =



hoặc tgα =



Y

F



Y

X



(2-4)



2.2.Xác định hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp giải tích













Cho hệ lực phẳng đồng qui ( F1 , F2 … Fn ) có hình chiếu tương ứng trên các

trục của hệ tọa độ vng góc là (X1, X2,…, Xn) và (Y1, Y2,…, Yn) (h.2-9).

Ta có hợp lực:











R = F1 + F2 + … + Fn = Σ F



Chú ý

n



Đáng lẽ phải viết là









F

∑ k nhưng để cho gọn, ta quy ước viết Σ Fk hoặc Σ F .

k =1



Theo php tính vectơ, thì: “Hình chiếu của vectơ tổng bằng tổng đại số hình

chiếu của của các vectơ thành phần”.

Tổng quát, ta có:

10



R x = X1 + X2 + … + X n = ΣX 



R y = Y1 + Y 2 + … + Y n = ΣY 



(2-5)



− Về trị số:



R = R 2x + R 2y = (ΣX )2 + (ΣY )2



(2-6)



− Về phương chiều:

cosα =



R

Rx

ΣX

ΣY

=

và sinα = y =

R

R

R

R



(2-7)



Ví dụ 2-1

Hệ lực phẳng đồng quy gồm các lực có trị số F 1 = F2 = 100N; F3 = 150N;

F4 = 200N; góc giữa các lực cho trên hình vẽ. Hãy xác định hợp lực của hệ lực

đó

Bài giải

Chọn hệ trục xOy như hình vẽ. Hình chiếu của hợp lực lên các trục là:

Rx = ΣX = F1 + F2 cos50° - F3 cos 60° -F4 cos20°

= 100 + 100.0,6428 – 150.0,5 – 200.0,9397 = -98,7N

Ry = ΣY = -F2 sin50° - F3 sin60° + F4 sin20°

= -100.0,766 – 150.0,866 + 200.0,3420 = -138,1N.



− Trị số của hợp lực R :



R =

170N



R 2x + R 2y



=



2

2

≈

(-98,7)

+ (-138,1)



y

F4





− Phương và chiều của hợp lực R :



F1



O



Ry



− 138,1

=

= 1,4

tgα =

R x − 98,1



α



Suy ra α = 54° 33’.



R



2.3.Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy



o



o



80



o



50



70

F3



Hình ví dụ 2-1



Tương tự như

trên, muốn hệ lực đồng qui cân



bằng thì hợp lực R phải bằng 0.

Mà theo phương pháp giải tích, thì:

R = (ΣX )2 + (ΣY )2

Vì (ΣX )2 vaø(ΣY )2 là những số dương cho nên điều kiện cân bằng là

11



F2



x



ΣX = 0



ΣY = 0



(2-8



Vậy: “điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng đồng quy cân bằng là tổng hình

chiếu của các lực lên hai trục tọa độ đều phải bằng khơng”.

Hệ phương trình cân bằng này dùng để giải các bài toán cân bằng dưới tác

dụng của hệ lực phẳng đồng quy.

Ví dụ

Ong trụ đồng chất có trọng lượng P = 60N đặt trên máng ABC hồn tồn

nhẵn và vng góc ở B. Mặt BC của máng hợp với mặt nằm ngang góc α = 60°.

Hãy xác định các phản lực của máng lên ống ở hai điểm tiếp xúc D và E.

Bài giải

Trọng lượng P của ống trụ có phương thẳng đứng, hướng về tâm của trái đất

và có trị số P = mg = 6.10 = 60N. Mặt khác, ống trụ tựa trên

haimặt nghiêng tại



các điểm tiếp xúc D và E nên có các phản lực tương ứng N D, N E, các phản lực

này vng góc với các mặt nghiêng BD và BE.

Như

vậy, ống trụ được cân bằng



 

dưới tác dụng của ba lực đồng quy tại O: ( P , N D, N E).

Ta có thể giải bài tốn này theo hai phương pháp: hình học và giải tích.

a)Phương pháp hình học

 







Vì hệ lực ( P , N D, N E) cân bằng nên tam giác lực của hệ tự đóng kín. Ta dựng



tam giác lực đó bằng cách: từ một điểm I bất

kỳ

vẽ

vectơ

lực

, từ gốc I và mút K

P







của P kẻ các đường thẳng song song với N D, N E, chúng cắt nhau tại L. Tam giác



IKL chính là tam giác lực cần dựng. Trên tam giác lực, đi theo chiều của P ta xác

định được chiều của N D và N E. Độ dài mỗi cạnh của tam giác lực biểu thị trị số

của các lực tương ứng. Từ đó, ta có:

ND = Pcos30o = 60

NE = Psin30o = 60



3

= 51,96N

2



1

= 30N

2



b)Phương pháp giải tích

Chọn hệ trục x, y như hình vẽ và lập phương trình cân bằng của hệ lực đồng

qui.

ΣFx = ND - Psin60o = 0

(1)



x



ΣFy = -Pcos60 + NE = 0

o



(2)

Giải hệ phương trình này, ta có:

NE = 30N và ND = 51,96N.



y

A



C



O



o



α=60

B



12



o



o



E

P



NE

60



NE



ND

o

30

D

o

30



I



Hình ví dụ 2-2



P



30

K



K

ND



Từ ví dụ trên, ta có thể tóm tắt cách giải một bài toán hệ lực phẳng đồng quy

gồm các bước sau:

Bước 1: Phân tích bài tốn

Đặt các lực tác dụng lên vật cân bằng được chọn, bao gồm lực đã cho và các

phản lực liên kết.

Bước 2: Lập phương trình cân bằng (ở đây chỉ trình bày phương pháp giải tích vì

đó là phương pháp thường gặp nhất)

− Chọn hệ trục tọa độ vng góc thích hợp với bài tốn, có thể chọn tùy ý sao



cho bài tốn được giải

đơn giản nhất (các trục

song song hoặc vng

góc với nhiều lực của hệ

nhất).

− Viết



phương trình



A



O



B

F2



F1



cân bằng



R



Hình 2-10

bài tốn và

nhận định kết quả (cần

thử lại hoặc liên hệ với đầu bài xem kết quả có phù hợp khơng)

− Giải



Trường hợp giải ra lực có trị số âm, cần đổi chiều ngược lại.



Chương 3: Hệ lực phẳng song song - ngẫu lực – Momen của một lực

đối với một điểm.

1. Hệ lực phẳng song song.

13



1.1Định nghĩa

Hệ lực phẳng song song là hệ lực nằm trong cùng một mặt phẳng và có các

đường tác dụng song song.

1.2.Hợp lực hai lực song song cùng chiều









F2 song song cùng chiều đặt tại hai điểm A và B của

Giả sử có hai lực F1 và



vật, ta cần phải tìm hợp lực R của chúng (h.2-10). Ở đây, ta khơng chứng mình

mà hỉ nêu kết luận:



Hợp lực của hai lực song song cùng chiều là một lực, có:

− Phương song song và cùng chiều với hai lực đã cho;

− Trị số bằng tổng trị số của hai lực, tức:



R = F1 + F2

− Điểm đặt chia trong đường nối điểm đặt của hai lực thành hai đoạn tỉ lệ nghịch



với trị số của hai lực ấy, tức là

F

F

R

= 1 = 2

AB OB OA



(2-10)



Chú ý:





Vectơ hợp lực R luôn luôn nằm ở trong đoạn AB và ở gần lực có trị số lớn.

Ví dụ

Ở hai đầu thanh AB dài 0,6m người ta treo hai vật có tải

trọng PA = 60kN và PB = 20kN. Xác đònh điểm đỡ O để thanh

AB nằm ngang.



Bài giải

Để cho thanh AB nằm ngang thì điểm đỡ O chính là

 



điểm đặt hợp lực R của PA , PB .

Theo cơng thức hợp lực của hai lực song song cùng chiều, ta có:

R = PA + PB = 60 + 20 = 80kN

Và



PB

R

=

AB

OA



⇒ OA =



AB x PB

0,6x2

= 0,15m

=

R

80



Ví dụ

Trên dầm AB dài l = 7m treo vật nặng có trong lượng P = 14kN. Hỏi phải treo vật

cách gối A bao nhiêu để áp lực tác dụng lên gối A có trị số là FA = 5kN?

a)



b)

O



A



PA



B



PB14



Hình ví dụ 2-3



B



O



A



PB



PA

R



Bài giải

Nếu áp lực lên gối A là FA = 5kN thì áp lực lên gối B là:

FB = P - FA = 14 – 5 = 9kN

Theo công thức hợp lực của hai lực song song

cùng chiều, ta có:

⇒x=



F

P

= B

AB

x



AB x FB

7x9

=

= 4,5m

P

14



F2



1.3.Hợp lực của hai lực song song ngược chiều









F2 song song ngược

Giả sử có hai lực F1 và

chiều

đặt ở A và B (F1 > F2). Ta phải tìm hợp lực



R của chúng (h.2-11). Ở đây, ta cũng không

chứng minh mà chỉ nêu kết luận:



có:



C



A

B



R

F1



Hình ví dụ 25







Hai lực song song ngược chiều khơng cùng trị số có hợp lực là một lực R ,



− Phương song song và cùng chiều với lực có trị số



lớn;

− Trị số bằng hiệu trị số của hai lực:



R = F1 – F2

− Điểm đặt chia ngoài đường nối điểm đặt



của hai lực đã cho thành hai đoạn tỉ lệ

nghịch với trị số của hai lực đã cho ấy (nằm

phía ngồi lực có trị số lớn)

F

F

R

= 1 = 2

AB OB OA



O



A



B



x

FA



P



FB



Hình ví dụ 2-4



(2-11)



Trường hợp đặc biệt, nếu F1 = F2 thì R

= F1 – F2 = 0, hệ lực thu về ngẫu lực, ta sẽ xét ở phần thứ III.

F2



Ví dụ

O



Hai lực song song ngược chiều có F 1 =

30kN, F2 =20kN, AB = 0,2m. Hãy xác định hợp

lực của 2 lực ấy.



A

B



R



Bài giải

Theo cơng thức hợp lực song song ngược

chiều, ta có:

R = F1 – F2 = 30 – 20 = 10kN.

15



F1

Hình 2-11