CHƯƠNG II. HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA TĨNH HỌC

6



∑X

K =1



K



6



∑Y



K



K =1



6



∑Z

K =1



K



= F1 + F6 = 20N

= ( F5 − F3 )



2

= 0

2



= F4 − F2 + ( F3 − F5 )



r

r

r

r

R0 = 20.i + 0. j + 0.k



2

=0

2



⇒ R0 = 20N



r

2

( FK ) = ( F3 − F5 ) 0 B

=0

0x

2



6



∑m

K =1



r

2

.0 A − F4 .0 A = ( F1 + F5 2 − 2 F4 )0 B = 50 Nm

m0 y ( FK ) = F1.0C + F5 .

∑1

2

K=

6



r

2

0 A − F6 .0 B = ( F5 2 − F6 ).0 B = 0

m0 z ( FK ) = F5

∑1

2

K=

r

r

r

r

M 0 = 0.i + 50. j + 0.k ⇒ M0 = 50Nm.

r r r r r r

Vậy, khi thu gọn hệ lực ( F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , F6 ) về gốc toạ độ 0, ta được véc tơ chính

uu

r

r

R0 có chiều trùng với chiềucủa trục 0x và có trị số 20N, mômen chính M 0 có chiều

6



trùng với chiều của trục 0y và có trị số 50Nm.

r

r

r r

R0 ≠ 0 , M 0 ≠ 0 , R0 .M 0 = 0 suy ra hệ lực đã cho thu về hợp lực.

Hợp lực có trị số và phương chiều trùng với trị số và phương chiều của véc tơ

r

M

50

= 2,5m

chính R0 . Ta cần tìm điểm đặt của hợp lực: 0 K = 0 =

R0 20

r

r r r r r r

Điểm K là điểm đặt của hợp lực: ( F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , F6 ) ∼ R K

Điểm K phải nằm về phía chiều dương của trục 0z, cách gốc toạ độ 0 một đoạn

r

2,5m mới phù hợp với trị số và phương chiều của véc tơ chính R0 và mômen chính

r

M0 .

2. Thí dụ

r r r

Hệ ba lực ( F1 , F2 , F3 ) đặt tại các điểm A, B, C và



F2



có chiều như hình vẽ. Biết 0A=0B=0C = a.

a.



Tìm điều kiện để hệ lực thu về một ngẫu lực.



b.



Tìm điều kiện để hệ lực thu về một lực.



11



z

B



O

xC



F1



y

A



F3



Bài giải



Hình 2

r

r

Trước hết ta cần tìm véc tơ chính R0 và mômen chính M 0 khi thu gọn hệ lực về



gốc toạ độ 0.

⎧3

⎪∑ X K = ( F2 − F3 )

⎪ K =1

⎪ 3

⎪

⎨ ∑ YK = ( F3 − F1 )

⎪ K =1

⎪ 3

⎪ ∑ Z K = ( F1 − F2 )

⎪ K =1

⎩



2

2

2

2



r

r

r

r

2

⎡( F2 − F3 )i + ( F3 − F1 ) j + ( F1 − F2 )k ⎤

suy ra R0 =

⎦

2 ⎣



2

2



Mômen của một lực lấy đối với một trục bằng không khi giá của lực cắt trục nên ta

r r r

dễ dàng tìm thấy tổng mômen của các lực F1 , F2 , F3 đối với các trục tọa độ 0xyz.

r

⎧ 3

2

⎪ ∑ m0 x ( FK ) = F1.a.

2

⎪ K =1

r

⎪3

r

r

r

r

2

a 2

⎪

suy ra

M0 =

F1.i + F2 . j + F3 .k ≠ 0

⎨∑ m0 y ( FK ) = F2 .a.

2

2

⎪ K =1

⎪ 3

r

2

⎪ ∑ m0 z ( FK ) = F3 .a.

2

⎪ K =1

⎩

r r

r

R0 .M 0 = 0 ; M 0 ≠ 0

r r r

Kết quả trên luôn luôn đúng đối với hệ lực đã cho ( F1 , F2 , F3 ).



(



a.



Điều kiện để hệ lực thu về một ngẫu lực:



Để hệ lực thu về một ngẫu lực chỉ cần thêm điều kiện :

r

R0 = 0 suy ra F1 = F2 = F3.

r

Ngẫu lực có véc tơ mômen là M 0 .

b.



Điều kiện để hệ lực thu về một lực:

Để hệ lực đã cho thu về một lực chỉ cần thêm điều kiện:

⎧− F1 ≠ F2 ≠ F3 ;

r

⎪

R0 ≠ 0 ⇒ ⎨− F2 ≠ F3 ≠ F1 ;

⎪−F ≠ F ≠ F .

1

2

⎩ 3



12



)



Z

Z



P2



K



P1



P3

O



P5



A



y



P2



1

P4 P



y



x



P4 P5

A



B



α



x



C



P3



Hình 3

Hình 5

3. Theo các cạnh của lăng trụ tác dụng các lực có trị số P1=40N, P2=P5=10N; P3=15N; P4

= 5N và có chiều như hình vẽ. Biết 0A=2; 0K=20cm, α = 300. Thu gọn hệ lực về dạng tối

giản.

r

Trả lời: Hệ lực thu về hợp lực RK đặt tại điểm K có chiều trùng với chiều trục y,



có trị số RK= 20 3 N .

r

r

r

4. Cho 3 lực P 1, P 2, P 3 đặt tại các

điểm tương ứng A1(0,2,1) ; A2(1,-1,3);

A3(2,3,1) và chiếu của chúng lên các trục

toạ độ cho trong bảng bên.



Lực

r

P1

r

P2

r

P3



X

3



Y

5



Z

4



-2



2



-6



-1



-7



2



Thu gọn hệ lực trên về gốc toạ độ.

r

r r

R0 =0; M0 = 23,4Nm; cos M 0 , i = 0,679

Trả lời:

r r

cos M 0 , j =0,085 ;



(



)

(



)



r r

cos M 0 , k =-



(



)



0,727

r r r r r

5. Cho hệ lực P 1, P 2, P 3, P 4, P 5 đặt ở các đỉnh của hình hộp chữ nhật có chiều như

hình vẽ. Biết P1=60N, P2=P3=10N, P4=10 5 N, P5=20N, 0A=0B=20cm, 0C=10cm.

Thu gọn hệ lực trên về dạng tối giản.

r

Trả lời: R0 có chiều ngược với chiều trục 0y và R=30N,

r

M 0 nằm trong mặt phẳng 0yz và M0=100 5 Nm. Hệ lực thu về xoắn.

r

r

6. Trên hình hộp chữ nhật có lực P và Q tác dụng. Tìm mômen của các lực ấy đối

với các trục toạ độ. Biết 0A = 3cm, 0C = 4cm, 0L=5cm, P= Q = 3N.

r

r

r

Trả lời: m0x ( P ) = 60 Nm ; m0y ( P ) = − 45 Nm ; m0z ( P ) = 36 Nm

34

34

34



13



r

r

r

m0x (Q) = −6 2 Nm ; m0y (Q) = 4,5 2 Nm ; m0z (Q) = 0 Nm

Z



Z

F



P6



K



P5 P1



Q



D



E

y

O



A



x



P2



C



P



x



B



y

O



P4



P3



Hình 6



Hình 7



7. Tại các đỉnh của một lập phương có cạnh bằng a đặt 6 lực cùng có trị số P, có chiều

như hình vẽ. Rút gọn hệ lực về dạng tối giản.



Trả lời: Hệ lực thu về một ngẫu lực với M0 = 20 3 P đơn vị mômen lực

D

A

P2



x



P3



P1



z



z



O



E

B



P1



O



y

x



C



P3



y



P2



Hình 8



Hình 9

r

r

8. Trên một tứ diện đều ABCD đặt các lực P hướng theo AB, P2 hướng theo CD và

1

r

r r

r

P3 có điểm đặt tại trung điểm E của BD. Giá trị của P , P2 tuỳ ý. Chiếu của P3 lên 3

1



trục toạ độ là X3 = 5 3 P2 ; Y3 = − 1 P2; Z3 = − 2 P2. Thu gọn hệ lực trên.

2

6

3

r r

R0 .M 0 = 0 . Hệ lực thu về hợp lực.

Trả lời:

r r r

9. Ba lực P , P2 , P3 đặt tại các điểm A, B, C cách gốc toạ độ 0 tương ứng a, b, c nằm

1

trong các mặt phẳng toạ độ và song song với các trục toạ độ. Hệ lực đã cho phải thoả

mãn điều kiện gì để hệ lực có hợp lực, điều kiện nào để hệ lực đưa về một xoắn có trục

đi qua gốc toạ độ.

Trả lời:

a.



a b c

+ + =0

P P2 P3

1



14



P

P

P

1

= 2 = 3

bP3 cP aP2

1



b.



a

c



P



P



b



F4



F6

F5



P



H



E



P2



A P1



P4



F2



D



F3 F1



Hình 10

Hình 12



F

G



P3



B

C



Hình



11



10. Theo 3 cạnh không cắt nhau và không song song với nhau của một hình hộp tác

r

dụng 3 lực P có trị số bằng nhau. Tìm quan hệ giữa a, b và c để hệ lực đó thu về một

lực.



Trả lời:



b = a+ c



11. Tại các đỉnh của một hình lập phương ta đặt các lực theo phương của cạnh như

r r r r r r

hình vẽ. Tìm điều kiện để hệ lực ( F 1, F 2, F 3, F 4, F 5, F 6) cân bằng.



Trả lời:



F1 = F 2 = F 3 = F 4 = F 5 = F 6



12. Tại 4 đỉnh A, B, D, H của hình lập phương đặt 4 lực có trị số bằng nhau P1 = P2

r

r

r

= P3 = P4 = P, trong đó P hướng theo AC, P2 hướng theo HF, P3 hướng theo BE

1

r

và P4 theo hướng DG. Hãy thu gọn hệ lực về điểm D. Tìm dạng tối giản của hệ lực.

r

r

r r

Trả lời:

R = P 2( j + k ) ; M D = 0 .



Hệ lực thu về một lực.

A



II. Bài toán cân bằng của hệ lực

13. Thí dụ



Vật nặng Q= 9 3 N được treo vào bản lề C. Thanh BC

nằm ngang. Thanh AC và BC bỏ qua trọng lượng được nối

với nhau bằng bản lề C và gắn vào tường thẳng đứng bằng

r r

′

bản lề A, B. Biết β= 600. Xác định ứng lực S ′ , S B trong thanh

A

AC, BC.

Bài giải



15



b

B



SA



y

SB x

C

Q



Hình 13



a) Khảo sát cân bằng bản lề C.

b) Các vật liên kết: Thanh AC và thanh BC. (Hình 13)

c) Hệ lực tác dụng lên vật khảo sát bao gồm : Các lực tác dụng tích cực và phản

lực liên kết:

•



r

Lực tác dụng tích cực là Q



•

Liên kết là hai thanh thẳng bỏ qua trọng lượng hai đầu gắn bản lề nên hai

r r

phản lực có phương dọc theo thanh, ký hiệu là S A , S B và giả sử có chiều như hình vẽ.

r r r

•

Hệ lực cân bằng tác dụng lên vật khảo sát là: (Q, S A , S B ) ∼ 0.



d) Hệ lực trên là hệ ba lực đồng qui phẳng. Ta có thể giải bằng phương pháp hình

học hoặc phương pháp giải tích.

Phương pháp hình học: Dựng tam giác lực khép kín.

r

Lực Q đã biết trước cả trị số và phương chiều nên trước hết ta

dựng

SA

uu

r r

Q

ab = Q . Từ a và b dựng hai nửa đường thẳng song song với hai

β

r r

giá của S A , S B . Chúng cắt nhau tại C. Để được tam giác lực khép b

c

r r

SB

kín ta chọn chiều của S A , S B sao cho phù hợp với chiều (quay)

r r

r

của Q . Vậy ta đã xác định được chiều của S A , S B dựa vào tam giác lực khép kín.

r r

Chiều giả sử của S A , S B ở trên là đúng. Do các cạnh tương ứng song song nên tam giác



lực abc đồng dạng với tam giác hình học ABC. Từ đó trị số SA, SB được xác định theo

định lý hàm số sin trong tam giác lượng:

SA

SB

SC

=

=

0

0

sin 90

sin 30

sin 600



⇒



SA =



Q

= 18 N ;

3

2



SB =



Q 1

= 9N .

32

2



Phương pháp giải tích: Hệ trục toạ độ Cxy được chọn như hình vẽ. Nên chọn gốc toạ

độ trùng với điểm đồng qui của hệ lực và các trục toạ độ hướng sao cho việc lập hệ

phương trình cân bằng đơn giản và dễ giải nhất.



Áp dụng hệ phương trình cân bằng đối với hệ lực phẳng đồng qui ta có:

3



∑X

K =1



K



3



∑Y

K =1



K



= S B − S A cos β = 0



(1)



= S B sin β − Q = 0



(2)



16