CHƯƠNG III. MỘT VÀI BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC

113. Thí dụ



Một xà đồng chất AB trọng lượng P = 100N gắn vào

tường bằng bản lề A và lập với phương thẳng đứng một

góc 450. Đầu B được buộc vào sợi dây không dãn luồn qua

ròng rọc không ma sát có treo vật nặng G. Biết đoạn dây BC

lập với phương thẳng đứng một góc 300. Tại điểm D trên xà

1

với BD= AB treo một vật nặng 200N. Tìm trọng lượng

4

G khi xà cân bằng.



RA

A



C



O



G



30 O



45



D



P



T

B

P1

Hình 113



Bài giải



a) Vật khảo sát: Xà AB

b) Liên kết: Bản lề A, dây BC.

r r r r



c) Hệ lực tác dụng lênvật khảo sát AB: ( P, P1 , T , RA )



0



Xà AB chính là đòn phẳng với điểm tựa là bản lề A.



d) Sử dụng phương trình cân bằng đòn phẳng ta có:

4



∑m

K =1



r

AB

3

sin 450 + P AB.sin 450 − T . AB sin 750 = 0

( FK ) = P

A

1

2

4



Trong đó: G = T

Thay các giá trị đã cho vào phương trình trên ta tìm được: G = T = 146N.

114. Thanh đồng chất nặng 2N có thể quay quanh bản lề A. mút B treo quả cân nặng

1N buộc ở diểm C. Một dây khác luồn qua ròng rọc D có buộc quả cân nặng 2N và

cũng buộc vào B. Biết AB=AD, bỏ qua ma sát ở ròng rọc. Tìm góc α khi thanh cân

bằng.



Trả lời:



α= 1200



B

C

1N



α



P



D



A



K

B



A

Q



2N



Hình 114



Hình 115



115. Thanh đồng chất AB nằm ngang trọng lượng 100N có thể quay quanh bản lề A cố

định. Đầu B được giữ nhờ quả tạ P=150N buộc vào sợi dây không dãn vắt qua ròng rọc

không ma sát . Tại K, với BK=20cm treo vật nặng Q=500N. Tìm độ dài AB để thanh cân

bằng.



51



Trả lời:



AB= 25cm



116. Thanh đồng chất AB trọng lượng P đầu A gắn bản lề với tường, đầu B buộc vào

dây không dãn luồn qua ròng rọc không ma sát C cùng trên tường thẳng đứng với A

và buộc vào tải trọng Q. Cho AB = AC. Tìm góc α khi thanh cân bằng.



α= 2arcsin



Trả lời:



Q

P



C



A



Q



C



α



B



a



Q



A



B

Hình 116



Hình 117



117. Thanh AB đồng chất trọng lượng P, đầu A găn bản lề với trần còn đầu B

buộc dây không dãn luồn qua ròng rọc không ma sát C treo tải trọng trọng lượng

Q. Biết AB = AC. Xác định góc α khi thanh cân bằng.



α



Q + Q2 + 2P

cos =

2

2P



Trả lời:



118. Đòn bẩy ABC nặng 80N có trục B cố định, cánh tay đòn AB = 4dm,

BC

=1m, trọng tâm đòn bẩy cách đường thẳng đứng BD về phía phải là 2,12dm. Tại A

và C buộc dây vắt qua hai ròng rọc bỏ qua ma sát E và F có mang hai vật nặng

P1=310N, P2=100N. Góc ∠ BAE = 1350 khi đòn bẩy cân bằng. Tính góc ϕ =

∠ BCF.

⎧ 450



ϕ=⎨



Trả lời:



0

⎩135



D

C

j

A

E



135

P1



D

o



b



A



F

P2



a



P1



Cα



a



B



B



P2



Hình 118



Hình 119



119. Hai thanh AB và CD đồng chất trọng lượng riêng 2p nối chặt vuông góc với

nhau tại C. Thanh CD có thể quay quanh trục nằm ngang tại D. Cho AC=CB=a;



52



CD=b. Tại A và B treo hai quả cân P1, P2 biết P1
AB và phương ngang khi nó cân bằng.

a

P2 − P

1

Trả lời:

tgα =

b P2 + P + ρ (4a + b)

1



II. Bài toán vật lật

Trong khi xét sự cân bằng của vật rắn chúng ta thường gặp những bài toán trong đó

cần phải xác định giá trị giới hạn của lực hay kích thước của vật rắn để đảm bảo sự

cân bằng đã định. Nếu tăng hoặc giảm giới hạn ấy thì vật có thể bị lật quanh một

điểm nào đó gọi là điểm tựa hay một trục vuông góc với mặt phẳng chứa các lực.

Để giải các bài toán loại này trước tiên ta phải tìm hiểu xem vật có thể bị lật quanh

điểm (trục ) nào, trong điều kiện nào. Sau đó xác định giá trị của lực hay kích thước của

vật để nó không bị lật quanh điểm (trục ) ấy. Liên kết gặp trong các bài toán vật lật

thường là liên kết tựa. Khi xét vật lật quanh điểm tựa nào thì phản lực của những điểm

tựa khác có thể bỏ qua (coi như bằng không ). Do đó điều kiện để vật không lật quanh

điểm tựa đang xét là mômen của hợp lực của hệ lực đã cho lấy đối với điểm ấy bằng

không. Giả sử điểm tựa đang xét là điểm 0

thì:



r

m0 ( FK ) =0

∑

n



K =1



Căn cứ vào hướng lật của vật quanh một điểm tựa nào đó, người ta còn phân các lực

uu

r

đã cho Fk , k = 1, n thành hai loại là lực lật và lực giữ đối với điểm tựa ấy. Nếu gọi tổng

mômen của tất cả các lực của từng loại đối với trục đi qua điểm tựa và vuông góc vơí

mặt phẳng hệ lực lần lượt là mômen lật (M0 lật ) và mômen giữ (M0 giữ) thì điều kiện

cân bằng của vật lật có thể viết dưới dạng: M0 lật ≤ M0 giữ.

120. Thí dụ



Cần trục nặng P=30KN có trọng tâm nằm trên đường trung trực của bề rộng AB= 4m,

tay đòn dài 8m. Đối trọng đặt cách chân bánh xe

A là 3m. Tìm trọng lượng lớn nhất của đối trọng

Q để cần trục không bị lật quanh bánh xe A khi

C

G

cần trục không có tải trọng cũng như khi cần trục

P

Q

A

B

có tải trọng. Xác định trọng lượng lớn nhất của tải

trọng G cần trục có thể nâng được để nó không bị

lật quanh bánh xe B.

Hình 120

Bài giải



53



Vật khảo sát là cần trục, nó là vật lật, có thể bị lật quanh hai điểm tựa là hai bánh

xe A, B.

Khi cần trục có đối trọng mà không có tải trọng thì cần trục chỉ có thể bị lật quanh bánh

xe A( Khi đó NB =0). Điều kiện để cần trục không lật quanh A là mômen lật quanh A

không lớn hơn mômen giữ quanh A.

MAl ≤ MAg ⇒ Q.3 ≤ P.2 ⇒ Q ≤



2

P = 20 KN

3



Khi cần trục có cả đối trọng và tải trọng thì nó có thể bị lật quanh B ( Khi đó

NA =0).

Điều kiện để cần trục không bị lật quanh B là mômen lật quanh B không lớn hơn mômen

giữ quanh B.

MBl ≤ MBg ⇒ G.8 ≤ P.2 + Q.7 ⇒ G ≤



2.P + 7.Q

≤ 25 KN

8



Với kích thước của cần trục trên, trọng lượng lớn nhất của đối trọng và trọng lượng

lớn nhất của tải trọng là: Q= 20KN ; G=25KN.

Q



G



G

B

X



25KN



A

3 m 1.5 m



8.5 m



A

l



Hình 121



a



B

b



Hình 122



121. Trọng lượng cần trục không có đối trọng là 50KN đặt cách bánh xe bên phải A

một khoảng 1,5m. Tải trọng nâng của giá treo là 25KN. Tay đòn dài 10m kể từ bánh

xe A. Xác định đối trọng bé nhất Q và khoảng cách lớn nhất x kể từ trọng tâm đối

trọng đến đường thẳng đứng qua B để cần trục không bị lật đổ khi cần trục có tải trọng

cũng như khi nó không có tải trọng. Bỏ qua trọng lượng giá treo. AB=3m.

1

Trả lời: Q= 31 KN ; x=6,75m

3



122. Cần trục nặng Q=200KN có độ dài tay đòn l =5m, chiều rộng của đáy AB=a=4m. Đối

trọng có hình lập phương cạnh b=2m nặng P=50KN. Trọng tâm của cần trục nằm trên đường

trung trực của AB. Tìm tải trọng lớn nhất cần trục có thể nâng được mà nó không bị lật quanh

A.



Trả lời:



G=130KN



123. Một cần trục được bắt chặt trên nền đá có trọng lượng Q=35KN và trọng tâm A

cách trục của cần trục một khoảng AB=0,8m. Cách tay đòn CD=4m. Nền có đáy là



54



hình vuông cạnh EF=2m và tỉ trọng 0,02N/cm3. Tính chiều sâu cực tiểu để cần trục

nâng tải trọng dưới 30KN không bị lật quanh mép F.

Trả lời:



h= 1,1m.

D



4m



0,8m

B



.



C

G



A



A



C



4m



E



D



B

E 2m



1.5m



X=?



F



Hình 123



Hình 124



124. Cần trục được bắt chặt trên một ôtô vận tải. Trọng lượng của đối trọng B là

P2=20KN. Trọng lượng của ôtô và cần trục không kể đối trọng là P1=20KN được đặt ở

điểm C. Xác định khoảng cách ngắn nhất DE giữa hai trục của bánh xe ôtô và tải trọng

lơn nhất P3 cần trục có thể nâng để ôtô không bị lật khi có tải trọng cũng như khi

không có tải trọng. Kích thước cho trên hình vẽ.



Trả lời: DE= 3,5m ; P3=35KN

125. Áp lực của nước lên diện tích yếu tố của thành đập tỷ lệ thuận với chiều cao của

cột nước kể từ mặt thoáng và có môduyn bằng trọng lượng

của cột nước ấy còn diện tích đáy bằng diện tích đã lấy.

Xác định bề dầy của đáy đập để nó không bị lật quanh mép

B trong 2 trường hợp:

H

H

a.



Khi diện tích ngang của đập là hình chữ nhật.



b.



Khi diện tích ngang của đập là hình tam giác.



Biết hệ số ổn định là 2, chiều cao của đập cũng là chiều cao của



Hình 125



cột nước H =5m. Tỷ trọng của nước γ =10KN/m3, của vật liệu xây dựng đập γ1 =

22KN/m3.

Hướng dẫn:

Hệ số ổn định bằng tỷ số giữa mômen giữ và mômen lật. Áp lực của nước lên một

diện tích của đập có bề dài 1m và chiều cao dy bằng γ(h-y)dy ( trong đó y được tính từ

đáy và đo bằng m).

Mômen của áp lực này đối với mép B là γ(h-y)ydy.

h



Mômen lật quanh mép B là



∫ γ (h − y ) ydy

0



Trả lời:



a= 2,75m ; b=3,37m

55



.



III. Bài toán hệ vật

Bài toán xét sự cân bằng của nhiều vật rắn có liên kết với nhau được gọi là bài toán

hệ vật.

Giả sử hệ vật gồm n vật rắn S1, S2, ..., Sn chịu tác dụng của hệ lực phẳng

r r

r

( F1 , F2 ,..., Fm ), như vậy mỗi vật rắn cũng chỉ chịu tác dụng của một hệ lực phẳng nào

đó. Giải bài toán hệ vật tức là tìm một số phản lực liên kết hoặc cũng có thể tìm một

số lực tác dụng tích cực chưa biết hoặc điều kiện hình học nào đó để hệ vật cân bằng..

Chúng ta có hai phương pháp giải bài toán này:

1.



Phương pháp 1:(Phương pháp tách vật)



Xét cân bằng của từng vật, mỗi vật chịu tác dụng của hệ lực phẳng nên ta có 3

phương trình cân bằng. Lần lượt xét cân bằng của cả n vật ta sẽ có 3n phương trình

cân bằng đủ để tìm 3n ẩn số. Phương pháp này thường áp dụng khi phải tìm tất cả

phản lực liên kết là nội lực.

2.



Phương pháp 2:(Phương pháp hoá rắn)



Áp dụng tiên đề hoá rắn coi toàn bộ hệ n vật như một vật rắn ta có 3 phương trình cân

bằng, sau đó xét (n-1) vật nào đó riêng biệt ta có 3(n-1) phương trình cân bằng. Tổng

cộng ta cũng có 3n phương trình cân bằng để xác định 3n ẩn. Phương pháp này thường

được sử dụng trong truờng hợp không cần tìm tất cả phản lực liên kết là nội lực hoặc

chỉ cần tìm phản lực liên kết là ngoại lực.

Trong nhiều bài toán hệ vật phải tìm N (N < 3n) ẩn số, khi đó ta chỉ cần lập đủ N

phương trình cân bằng độc lập có chứa N ẩn số đó là đủ.

Tổng quát hơn, nếu mỗi vật của cơ hệ hoặc cả cơ hệ chịu tác dụng của loại hệ lực

nào thì ta áp dụng hệ phương trình cân bằng cho loại hệ lực ấy sao cho số phương

trình cân bằng độc lập bằng số ẩn số cần tìm.

126. Thí dụ.



Thang di động cấu tạo bằng

hai thanh đồng chất AC và BC

bắt bản lề ở C. Đầu A và B tựa

trên nền ngang nhẵn. AC và BC

được nối với nhau bằng dây EF.

Tại D treo vật nặng Q= 72N. Biết

AC= BC= l = 3m có cùng trọng



YC

C XC



C

D

E



Q



α



α



A



F



NA E



T

P



B



A

Hình 126



56



-XC C

-YC

Q



D

FN

B



-T

P



B



lượng P=12N , AE= BF= 1m, CD= 0,6m; α = 45 0 . Tìm phản lực tại A,B, C và

sức căng dây EF.

Bài giải



Hệ vật gồm hai thanh AC và BC.

Có thể dùng cả hai phương pháp để giải bài toán này đều thuận tiện như nhau.

Chúng ta sử dụng phương pháp 1: Tách vật ngay từ đầu.

r r r r r

• Xét cân bằng thanh AC: ( N A , T , X C , YC , P ) 0

Hệ lực trên là hệ lực phẳng nên ta có hệ phương trình cân bằng sau:

⎧ 5

⎪ ∑ XK = T + XC = 0

K =1

⎪ 5

⎪

⎨ ∑ YK = N A + YC − P = 0

⎪ K =1

r

⎪5

AC

⎪∑ mCz ( FK ) = N A . AC cos α − P 2 cos α − T .EC sin α = 0

⎩ K =1



•



Xét cân bằng thanh BC. Hệ lực cân bằng đặt lên BC là:

r

r r

r r r

( N B , −T , − X C , −YC , P, Q ) 0



Hệ lực trên cũng là hệ lực phẳng nên hệ phương trình gồm có 3 phương trình. Nhưng

chỉ cần tìm 5 ẩn số nên lập thêm 2 phương trình độc lập nữa là đủ:

⎧ 6

⎪ ∑ YK = N B − YC − P − Q = 0

⎪ K =1

⎨6

r

⎪∑ m ( F ) = T .CF .sin α + Q.CD.cos α + P BC cos α − N .BC.cos α = 0

B

⎪ K =1 Cz K

2

⎩



Thay thế các giá trị đã cho vào hệ 5 phương trình trên và giải ra ta tìm được kết quả:



Vì



NA= 40,8N ; NB = 55,2N ; T= 52,2N ; XC =- 52,2N ; YC = -28,8N.

r r

XC < 0 ; YC < 0 nên chiều đúng của X C , YC là chiều ngược với chiều giả thiết trên



hình vẽ.

127. Thí dụ.



Với điều kiện bài toán trên, tại bản lề C treo thêm vật G nặng 50N. Tìm phản lực

tại A,B và sức căng của đoạn dây EF.

Bài giải

Trường hợp bài toán này nên sử dụng phương pháp 2 mới thuận lợi. Trước

hết xét cân bằng của cả hệ vật gồm hai thanh AC, BC chịu tác dụng của hệ lực

song song:



57



r r r r r r

( N A , N B , PAC , PBC , Q, G )



0



YC



C



XC



C

D

G



NA



Q



E

α



P



F

P



NB



α



A



T



E



NA



P



A



B



Hình 127



Hệ phương trình cân bằng của hệ lực trên:

⎧6

⎪∑ YK = N A + N B − 2 P − Q − G = 0

⎪ K =1

⎨6

r

⎪∑ m ( F ) = G.BC cos α + Q. 8 BC.cos α + P BC cos α

BC

⎪ K =1 B K

10

2

⎩

3

+ PAC BC cos α − 2.N A .BC.cos α = 0

2



Để tìm sức căng đoạn dây EF ta xét cân bằng thanh AC. Thanh này chịu tác dụng của

r r r r r

hệ lực phẳng: ( N A , T , X C , YC , P ) 0

Vì không cần tìm phản lực tại bản lề C nên chỉ lập thêm một phương trình mômen của

hệ lực trên đối với điểm C.

r

2

AC

mCz ( FK ) = T . AC sin α + P

cos α − N A . AC cos α = 0

∑1

3

2

K=

5



Thay thế các giá trị đã cho vào hệ 3 phương trình trên và giải ra ta có kết quả:

NA= 65,8N ; NB=80,2N; T=89,7N.

P B a



E



a



C

a

D



a

A



P E



a



a



a

A



a



a



a



a

B



Hình 128



a

C



Hình 129

58



a

a

D



uu

r

128. Trên khung ABECD bỏ qua trọng lượng bắt bản lề tại A, E và D đặt lực P theo



phương nằm ngang tại B. Kích thước cho trên hình vẽ. Tìm phản lực ở A, D.

R A = RD =



Trả lời:



P 2

2



129. Cho hệ thống khung bỏ qua trọng lượng, có kích thước như hình vẽ. Tại E tác

r

dụng lực P nằm ngang. Xác định phản lực tại A, B, C và D khi khung cân bằng.

P 2

P 2

; RB = P ; R C = P ; R D =

.

2

2

r

130. Tại bản lề A của máy ép tác dụng lực P nằm ngang. Trọng lượng của thanh và

pittông không đáng kể. Xác định lực ép của pít tông lên vật M theo các góc α, β.



RA =



Trả lời:



P

tgα + tg β



Trả lời: Q=



B



D

A



α



A



o



o



R



30 30



60o



o



P



90

β

B



Q



C



D



M



Hình 130



Hình 131



131. Cho khung ABCD bỏ qua trọng lượng, các đỉnh A, B, C và D là các bản lề. Tại

r

A tác dụng lực Q=10N. Xác định trị số của lực R đặt vào B để khung cân bằng. Chiều

r r

của lực Q, R và các góc cho trên hình vẽ.



Trả lời:



R= 16,3N



132. Cột AB được giữ thẳng đứng nhờ thanh chống AC. Tại điểm D của dây cáp ADE

có treo vật nặng Q=51,8N. Các góc của thanh chống và các đoạn dây cáp so với

phương nằm ngang cho trên hình vẽ. Xác định lực căng của dây cáp ở các đoạn AD,

DE cùng ứng lực trong cột AB và thanh chống AC, bỏ qua trọng lượng cột và thanh.



Trả lời: TE= 173,2N ; TA= 141,5N ;

SC= 245,1N ; SB= 141,5N.

E

D

A



45



D



O



α



30O

Q



59

O

C 60 B



α

E

N



F



C



B



Hình 132



Hình 133



133. Để kéo vật nặng từ dưới đất lên, người công nhân buộc đầu A của dây vào vật,

đầu B vào xà ngang và lấy sợi dây thứ hai buộc một đầu vào điểm C của dây thứ nhất

còn đầu kia buộc vào điểm D của cột thẳng đứng. Sau đó anh ta nắm chặt lấy điểm E

của dây thứ hai rồi đu người lên. Biết trọng lượng của người công nhân là 800N, khi

đó đoạn dây AC thẳng đứng, EC nằm ngang và các góc ∠(CE , ED ) = ∠( AC , CB ) = α

= 40. Xác định lực căng của đoạn dây AC.



Trả lời: T= 163592N

134. Trên dầm đồng chất AB=10m nặng 30KN đặt cần trục nặng 50KN với trọng tâm

ở trên trục CD mang tải trọng P=10KN. Biết KL=4m, AC=3m. Tìm phản lực tại A, B

khi cần trục nằm trong mặt phẳng thẳng đứng chứa AB và hệ cân bằng.



Trả lời:



RA= 53KN ; RB= 37KN



135. Một số tấm đồng chất có cùng tiết diện và dài 2l được xếp chồng lên nhau sao

cho mỗi tấm đều có phần nhô ra ngoài. Xác định độ dài giới hạn của phần nhô ra ngoài

của mỗi tấm khi chúng cân bằng.

l l l l

l , , , , ,...

2 3 4 5



Trả lời:

K



L



4m



P



D



2l



C



A



B

1m



1m



3m



7m



Hình 134



Hình 135



136. Xà AB=4m nặng 200N có thể quay quanh trục nằm ngang A còn đầu B tựa trên

xà CD=3m, nặng 160N được đỡ tại E và nối với tường nhờ bản lề D. Tại M và N đặt

hai vật đều nặng 80N. Kích thước cho trên hình vẽ. Tìm phản lực A, B, E, D.



Cho AB và CD là các thanh đồng chất

Trả lời: RA= 120N ; RB= 160N ; RE= 400N ; RD= 0



60



D



C

A

M



B E

C



A E



D



B



F



N



Hình 136



Hình



137

137. Một cái cầu công xôn gồm có dầm chính AB và hai dầm bên AC, BD. Trọng

lượng của mỗi mét trên AB là 15KN, trên AC, BD là 10KN. Xác định phản lực ở các

bệ đỡ C, D, E, F khi FD chịu tác dụng của tải trọng 30KN/m.



Biết EF=50m,AC=BD=20m,AE=FB=15m.

Trả lời: RC=100KN;RD= 400KN ; RE= 542,5KN ;RF=1607,5KN

138. Hai thanh AC và BC trọng

P

Q

M

C

A

B

D

lượng không đáng kể được giữ nằm

M

E

ngang nhờ bản lề A và hai gối trụ con

5m

1m

2m

1m

3m

lăn B, D được nối với nhau bằng bản

Hình

lề C. Trên thanh AC tác dụng mômen

M=12Nm và lực P=6N tại E, trên thanh

BC tác dụng lực Q=8N tại M. Tìm phản lực ở A, B, C và D. Kích thước cho trên hình

vẽ.



Trả lời: RA= 1N ; RB= 1,5N

RC= 7N ; RD= 16,5N

139. Hai xà AC và CB nằm ngang,

nối với nhau bằng bản lề C, đầu A

ngàm vào tường, đầu B tựa trên con

lăn. Trên xà đặt cần trục có trọng

lượng Q=50KN, trọng tâm nằm trên

đường thẳng đứng CD mang tải

trọng P=10KN. Kích thước như hình

vẽ. Hai xà và cần trục cùng nằm

trong mặt phẳng thẳng đứng. Tìm

phản lực tại A, B.



4m



K



L

P



D

C



A



B



1m 1m

8m



4m



Hình 139



Trả lời: RA= 53,75KN ; MA= 205KNm ; RB= 6,25KN

140. Thanh đồng chất CD trọng lượng P được treo bởi dây DE và tựa trên thanh AB

được giữ bởi bản lề 0 tại trọng tâm của nó với OC =l. Tại F treo vât nặng Q. Xác định

khoảng cách 0F để thanh AB cân bằng ở vị trí nằm ngang.



61