b) Định lý chuyển động của tâm khối lượng

Tiếp tục tính toạ độ khối tâm C trên trục Ox khi chèn B ở vị trí thấp nhất và giả sử

chèn A đã dời đoạn l về bên trái

1

xC =



∑m



K



b⎞

⎛a ⎞

⎛

mA ⎜ − l ⎟ + mB ⎜ a − l − ⎟

3 ⎠ 6a − 12l − b

⎝3 ⎠

⎝

=

=

12

mA + mB



x1

K



K



M



1

0

Từ đó khi cho xC = xC ta nhận được: l =



a −b

4



68. Xác định quĩ đạo trọng tâm của cơ cấu elíp gồm hai con chạy A, B trọng lượng

mỗi con chạy là Q; Tay quay OC trọng lượng P. Thanh AB trọng lượng 2P. Cho OC =

AC = BC = l. OA, AB là các thanh đồng chất; A, B coi như là chất điểm.



Trả lời:



5P + 4Q l

3P + 2Q 2



Vòng tròn bán kính R =

A



V2



l

C

l

O



B



l



α



B

V1



A



Hình 68



Hình 69



69. Hai chất điểm tự do A, B khối lượng m1, m2 hút nhau theo qui luật Niutơn. Tại

r

r

thời điểm đầu B có vận tốc V2 hướng theo AB và A có vận tốc V1 hướng vuông góc

với AB. Xác định quĩ đạo và vận tốc tâm khối lượng của cơ hệ.



Trả lời:



Quĩ đạo thẳng . V =



2

m12V12 + m2V22

(m1 + m2 ) 2



70. Tìm quĩ đạo của quả cầu A khối lượng m trượt theo một mặt trụ tròn nhẵn khối

lượng M bán kính R nằm trên một mặt phẳng ngang nhẵn. Tại thời điểm ban đầu hệ

đứng yên.



Trả lời:



x2



Elíp



⎛ MR ⎞

⎜

⎟

⎝M +m⎠



2



( y − R)

+



2



R2



=1



A

l



ϕ

O

R



C

A



y



Hình 70



l



α



Hình 71

145



71. Thanh đồng chất AB dài 2l có mút A tựa trên nền ngang nhẵn và lập với nền một

góc α . Xác định quĩ đạo của mút B khi ta thả cho thanh rơi xuống, cho rằng A luôn

trượt trên nền nhẵn nằm ngang.

y2

Cung elíp: (x - lcosα) +

= l

4

2



Trả lời:



72. Một tấm đồng chất ABC có dạng tam giác vuông cân, cạnh đáy AB = 12cm. Đỉnh

A đặt trên nền nhẵn nằm ngang sao cho cạnh huyền AB thẳng đứng. Sau đó tấm rơi

xuống do tác dụng của trọng lực. Xác định quĩ đạo của trung điểm M của cạnh BC.



9(x - 2)2 + y2 = 90



Trả lời:



73. Ba tải trọng P1 = 20N, P2 = 15N , P3 = 10N nối với nhau bằng sợi dây không dãn,

trọng lượng không đáng kể và được luồn qua các ròng rọc M, N gắn chặt với chèn

hình thang AMNO trọng lượng P = 100N đặt trên nền nhẵn nằm ngang như hình vẽ.

Bỏ qua ma sát. Xác định độ dời của chèn khi tải trọng P1 hạ xuống dưới 1m.



Trả lời:



l = 14cm

B



P2



M



α



N



P3



A



P1

O



60



A



O



Hình 73



Hình 74



74. Xác định di chuyển ngang của tàu mang cần cẩu nổi khi cần AB mang vật nặng có

trọng lượng P = 20000N cất thẳng đứng lên từ vị trí ban đầu nghiêng góc α = 300.

Trọng lượng của tầu và cần cẩu bằng Q = 200000N; chiều dài AB = 8m. Bỏ qua sức

cản của nước và trọng lượng của cần AB.



Trả lời: Tầu di chuyển ngang ngược chiều với di chuyển ngang của vật nặng một

đoạn bằng 0,36m.

A



ωt



O

2l



B



O



ωt



A

C



D

E



Hình 75



Hình 76

146



75. Một mô tô điện gồm vỏ và trục động cơ xem là đồng chất và đặt đối xứng trọng

lượng P1 đặt tự do trên nền nhẵn nằm ngang. Trên trục quay của mô tơ gắn một thanh

đồng chất dài 2l trọng lượng P2 vuông góc với trục động cơ. Đầu thanh mang vật

nặng Q. Vận tốc của trục động cơ là ω. Xác định chuyển động ngang của mô tơ trên

nền. Nếu gắn chặt mô tơ với nền bằng bu lông thì áp lực ngang tổng cộng lớn nhất tác

dụng lên bu lông bằng bao nhiêu ?



Trả lời:



Dao động điều hoà với biên độ A =

và chu kỳ T =



2π



ω



; Rmax =



P2 + 2Q

l ;

P + P2 + Q

1



P2 + 2Q 2

lω

g



76. Xác định áp lực lên nền đất của một máy bơm nước lúc bơm chạy không tải.

Trọng lượng của phần cố định gồm vỏ D và móng E bằng P1. Tay quay OA dài a và có

trọng lượng bằng P2. Trọng lượng của máng trượt B cùng với pít tông C là P3. Tay

quay OA quay đều với vận tốc góc ω. Xem như các vật khảo sát là những vật đồng

chất và có cấu tạo đối xứng.



Trả lời:



N = P 1 + P2 + P3 +



aω 2

( P2 + 2 P3 ) cos ωt

2g



II. Định lý mô men động lượng

77. Thí dụ



Điểm M chuyển động xung quanh tâm cố định dưới tác dụng của lực hút về tâm

đó. Hãy tìm vận tốc V2 tại điểm thuộc quĩ đạo cách xa tâm nhất, nếu biết vận tốc tại

điểm thuộc quĩ đạo gần tâm nhất V1 = 30cm/s, r2 = 5r1.

O



V1

V2



r1

r2



O



M1



C1



F

M



Hình 77



A



C



Hình 79



Bài giải

r

Khảo sát chất điểm M. Lực tác dụng F đặt lên nó luôn luôn qua tâm cố định O. Ta

có:

r

dl0 r r

= m0 ( F ) = 0

dt

r uuuuur

Do đó: l0 = const ; nghĩa là: Trong suốt quá trình chất điểm chuyển động mômen

động lượng của chất điểm đối với tâm O là không đổi:



147



r r

r

r

r2 ∧ mV2 = r1 ∧ mV1



Suy ra:



r2 .mV2 = r1.mV1

.

V2 =



rV1 r1.30

1

=

= 6 cm/s

r2

5r1



78. Một chất điểm vẽ lên một quĩ đạo cong dưới tác dụng r lực xuyên tâm. Tại thời

của

r

r

r

điểm ban đầu chất điểm có bán kính vectơ r0 và vận tốc V0 với r0 vuông góc với V0 .

r

r

Sau một thời gian điểm có bán kính vectơ r1 và khi đó vận tốc V1 của chất điểm lập

r

r

với r1 một góc α. Xác định vận tốc V1 đó.



Trả lời:



V1 =



V0 r0

r sin α



79. Quả nặng M được buộc vào dây không dãn MOA. Phần OA được luồn vào trong

ống thẳng đứng. M quay quanh ống theo vòng tròn bán kính MC=R với n =

120v/phút. Dây được rút vào trong ống đến khi M vẽ lên vòng tròn bán kính

M1C1=R/2. Xác định số vòng quay trong 1 phút của quả nặng M khi đó.



Trả lời: n = 480v/phút.

80. Một chất điểm khối lượng m vẽ lên một êlíp có các bán trục a và b dưới tác dụng

r

của lực hút về một tâm của êlíp đó. Khi điểm ở mút bán trục lớn nó có vận tốc V0 . Xác

định giá trị của lực đó khi điểm ở mút bán trục nhỏ.

mV02

Trả lời: F =

b

81. Thí dụ

Tính mômen động lượng đối với trục quay của đĩa tròn khối lượng M bán kính r.

Đĩa gắn lệch tâm với trục quay và quay với vận tốc góc ω. Mặt phẳng đĩa thẳng góc

với trục quay và độ lệch tâm bằng nửa bán kính.

Bài giải



Ta có: LZ = J Z ω



O C1 r

2



ở đây: J Z = J CZ



Mr 2 Mr 2 3

⎛r⎞

+M⎜ ⎟ =

+

= Mr 2

2

4

4

⎝2⎠



Do đó: LZ = J Z ω =



3

Mr 2ω

4



ω



Hình 81



82. Thí dụ



Dây mềm nhẹ không dãn vắt qua ròng rọc đồng chất có trục OZ cố định, trọng

lượng p. Mút của dây treo các tải trọng trọng lượng P, Q. Bỏ qua ma sát ổ trục. Xác

định gia tốc các tải trọng khi hệ chuyển động.

Bài giải



148



Cơ hệ khảo sát là ròng rọc, dây và các tải trọng.Ngoại lực tác dụng lên hệ

gồm:



r r

r

Trọng lượng ròng rọc p , trọng lượng các tải trọng P, Q và phản lực ổ trục ròng

r

rọc N . Chọn trục OZ hướng thẳng góc với mặt phẳng hình vẽ. Để xác định ta giả thiết

rằng P > Q và hệ chuyển động theo chiều mũi tên chỉ trên hình

vẽ.

r

dLZ

Ta có:

= ∑ mZ ( FKe )

N

dt

K

R

O



P

Q

LZ=LZ (0)+LZ (P)+LZ (Q) = JZ ω + VR + VR

g

g



Trong đó: ω là vận tốc góc của ròng rọc; R là bán kính của ròng

rọc; V là vận tốc của tải trọng

Ta có:



J Z = 0,5



p 2

R

g



;



ω=



V

R



P



V



V



P



Q



⎛p

⎞R

Hình 82

Ta nhận được: LZ = ⎜ + P + Q ⎟ V

⎝2

⎠g

r

r

r

r

r

∑ mZ ( FKe ) = mZ ( P) + mZ (Q) + mZ ( p) + mZ ( N ) = PR − QR

K



r r

(Vì N , p có giá qua O nên mômen của chúng bằng không).



Thay các kết quả vừa tính vào hệ thức trên, ta có:

( p + 2 P + 2Q)



Từ đó:



W=



R dV

= ( P − Q) R

2 g dt



dV

2( P − Q)

=

g

dt

p + 2 P + 2Q



83. Một đĩa tròn đồng chất trọng lượng P = 50N và bán kính R = 30cm lăn không

trượt theo mặt phẳng nằm ngang với n = 60v/phút xung quanh trục của nó. Tính mô

men động lượng của đĩa:



a. Đối với trục đi qua tâm đĩa và vuông góc với mặt phẳng của nó;

b. Đối với trục quay tức thời.

Trả lời:



Joz = 0,23Nms ; Jcz = 4,32 Nms.



84. Một đĩa tròn đồng chất bán kính R, trọng lượng P có trục quay thẳng đứng đi

qua trục của nó. Theo vành đĩa có con chạy B trọng lượng Q chuyển động theo qui

1

luật: S = at2 . Tại thời điểm ban đầu đĩa đứng yên. Xác định vận tốc góc và gia tốc

2

góc của đĩa.



149



Trả lời:



ω=



2Qat

2Qa

; ε=

R ( P + 2Q )

R ( P + 2Q)



O



O



O



R B

ω



B



C



A



Hình 83



Hình 84



Hình 87



85. Một tấm tròn đồng chất nằm ngang bán kính R, trọng lượng P có trục quay thẳng

đứng đi qua tâm của nó. Vận tốc góc ban đầu của tấm là ω0. Một người trọng lượng Q

từ tâm O của tấm đi dọc theo bán kính. Tìm vận tốc góc của tấm là hàm khoảng cách

x từ người tới tâm của tấm.



Trả lời:



ω = ω0



PR 2

PR 2 + 2Qx 2



86. Một ống đồng chất dài 2a trọng lượng P chuyển động trong mặt phẳng nằm ngang

xung quanh trục thẳng đứng đi qua mút của nó với vận tốc góc ω0. Trong ống có một

quả cầu trọng lượng Q được buộc bằng một sợi dây nằm cách trục quay một khoảng

bằng a. Sau đó dây đứt. Tìm vận tốc góc của ống tại thời điểm quả cầu ra khỏi ống.



Trả lời:



ω = ω0 4 P + 3Q

4( P + 3Q)



87. Qua một ròng rọc khối lượng không đáng kể luồn một sợi dây. Đầu A của dây có

một người giữ, đầu B của nó buộc một tải trọng có trọng lượng bằng trọng lượng của

người. Có hiện tượng gì xẩy ra nếu người leo lên dây với vận tốc bằng a so với dây.



Trả lời:



Tải trọng chuyển động lên với vận tốc V =



a

2



88. Một tấm ván dài l trọng lượng P có thể quay không ma sát quanh trục thẳng đứng

r

O1O2. Tại trung tâm ván bị một viên đạn trọng lượng Q bắn vào với vận tốc V0 vuông

góc với tấm. Xác định vận tốc góc của tấm ván khi viên đạn chạm vào tấm.



Trả lời:



ω=



6QV0

l

4 P + 3Q



89. Một vật rắn đứng yên, sau đó được truyền một mômen quay không đổi và chịu

một mômen cản MC tỷ lệ bậc hai với vận tốc góc của nó: Mc = αω2 (α - hằng số).

Tìm qui luật biến đổi vận tốc góc của vật. Biết mômen quán tính của vật đối với trục

quay bằng J.



150



Trả lời:



M e βt − 1

2

; β=

αM

βt

α e +1

J



ω=



O2



O2

l

A



B



O



ω



ω



N



O1

M



O

ω



l

O1



O1



Hình 88



Hình 90



Hình 91



90. Một quả cầu A khối lượng m được gắn vào thanh AB = l quay xung quanh trục

O1O2 thẳng đứng qua B và vuông góc với thanh. Vận tốc góc ban đầu là ω0. Quả cầu

chuyển động trong chất lỏng và chịu lực cản FC = αmω. Xác định khoảng thời gian và

số vòng quay khi vận tốc góc của trục giảm đi một nửa.



Trả lời:



t=



l



α



ln 2 ; n =



lω0

4πα



91. Dọc theo rãnh MN của một đĩa đồng chất bán kính R quay xung quanh trục thẳng

đứng cố định qua tâm đĩa có tải trọng dao động. Khi qua trung điểm O của MN tải

trọng có vận tốc tương đối u, còn khi nó ở M hay N vận tốc góc của đĩa là ω1. Xác

1

định vận tốc góc ω2 của đĩa khi tải trọng qua O. Trọng lượng của tải trọng bằng

2

1

trọng lượng của đĩa. Rãnh MN cách tâm đĩa một khoảng bằng R .

2



Bỏ qua ma sát và cho rằng: chiều chuyển động quanh trục của tải trọng và chiều

quay của đĩa trùng nhau.

Trả lời:



ω2 =



4

2u

ω1 gR

3



92. Một ống rỗng A bán kính ngoài R lồng khít vào một trục bán kính r cố định nằm

ngang. Tại thời điểm ban đầu vành A có vận tốc góc ω0. Hỏi đến khi dừng nó quay

được bao nhiêu vòng nếu hệ số ma sát trượt giữa vòng và trục bằng f.



Trả lời:



n=



ω02 ( R 2 + r 2 )

8 fgr



151



I



A Rr



Z1

M

Z2



II



ω



Hình 92



Hình 93



93. Tải trọng trọng lượng P được nâng lên nhờ một tời điện. Trên trục chủ động tác

dụng một mômen quay không đổi M. Xác định gia tốc của tải trọng, nếu mômen

quán tính của trục chủ động I và bị động II cùng với các chi tiết đặt trên trục đối vơí

trục quay tương ứng bằng J1, J2. Bán kính của trống cuốn dây là R. Bỏ qua ma sát và

Z

khối lượng của dây. Tỷ số truyền 1 = k (Z1, Z2 - số răng của bánh xe I, II ).

Z2



Trả lời:



W=



gR ( Mk − PR )

PR 2 + ( J1k 2 + J 2 g )



94. Trên một sàn nằm ngang quay xung quanh trục thẳng đứng đi qua tâm O của nó,

có một người đi theo vành tròn bán kính r với tâm ở trên trục quay. Tìm vận tốc góc

của sàn, nếu vận tốc tương đối của người là u, trọng lượng của sàn là P, trọng lượng

của người là Q, mômen quán tính của sàn đối với trục quay là J, ban đầu hệ đứng yên.



Trả lời:



Ω=



Qur

Qr 2 + gJ



95. Với điều kiện bài toán trên, hãy tìm độ dịch chuyển góc tuyệt đối của người sau

khi người ấy đi được một vòng trên sàn. Biết rằng mômen quán tính của sàn bằng

P 2

R và P = Q ; R = r.

2g



Trả lời:



2

3



ϕ= π.



96. Với điều kiện bài toán trên nhưng sàn có dạng một hình vuông cạnh a, trọng

lượng của người bằng trọng lượng của sàn, trục quay của sàn đi qua tâm của nó.

Người đi theo cạnh hình vuông với vận tốc tương đối u = const bắt đầu từ đỉnh hình

vuông. Biểu thị góc quay θ của sàn theo thời gian t.



Trả lời:



θ=



⎛ 15ut ⎞

3

arctg ⎜

⎟

5

⎝ 8a − 3ut ⎠



III. Định lý động năng

97. Thí dụ



Tải trọng trọng lượng P được treo vào sợi dây dài l đăt

lệch so với phương thẳng đứng một góc ϕ0 và rơi xuống



l



MO



ϕο



152



ϕ



T



h

M



P



không có vận tốc ban đầu. Xác định vận tốc của tải trọng ở thời điểm khi dây tạo với

phương thẳng đứng góc ϕ.

Bài giải

Coi tải trọng như chất điểm M. Lực tác dụng lên nó:

r

r

Trọng lượng P và phản lực dây T .

Áp dụng định lý biến thiên động năng của chất điểm khi



Hình 97



nó dời từ M0 về M:

1

1

M

mV 2 − mV02 = ∑ AK M

2

2

r

r

V0= 0 ; A(T ) = 0; A( P ) = P.h

0



Ở đây:



1

mV 2 = mgh

2



Từ đó:



⇒



V = 2 gh



Trong trường hợp khảo sát: h = l.cosϕ - l.cosϕ0

Do đó



:



V = 2 gl (cos ϕ − cos ϕ0 )



r

98. Một chất điểm khối lượng m nhận vận tốc ban đầu V0 chuyển động theo mặt



phẳng ngang nhẵn. Lực cản chuyển động của môi trường được xác định theo công

thức: R = km V ; k - hằng số. Xác định qui luật chuyển động của điểm.

Trả lời:



3

2 ⎡

kt ⎞ ⎤

⎛

x=

⎢V0 V0 − ⎜ V0 − ⎟ ⎥

3k ⎢

2⎠ ⎥

⎝

⎣

⎦



99. Người ta nâng một tải trọng P nặng 20N lên mặt phẳng nghiêng nhờ sợi dây đặt

nghiêng góc α = 300 so với mặt phẳng này. Mặt nghiêng nghiêng góc β = 300 so với

phương ngang, sức kéo dây T = 15N. Ở vị trí ban đầu tải trọng nằm yên. Tìm độ dịch

chuyển l của tải trọng dọc theo mặt nghiêng cho đến lúc nó có vận tốc V = 2m/s. Hệ số

ma sát trượt giữa tải trọng và mặt phẳng nghiêng là f = 0,2.



Trả lời:



l = 3,54m.



100. Thiên thạch rơi xuống mặt đất năm 1751 có trọng lượng 39N. Khi rơi nó lún sâu

xuống mặt đất khoảng l = 1,85m. Quan sát người ta thấy rằng: tại chỗ thiên thạch rơi

nó chịu lực cản của đất là F = 50KN. Xác định vận tốc của thiên thạch khi nó rơi đến

mặt đất coi như nó không có vận tốc ban đầu. Tìm độ cao ban đầu của thiên thạch coi

lực trọng trường không đổi và bỏ qua sức cản của không khí.



Trả lời:



V = 217m/s; h = 2390m.



153



r

101. Một vật được ném lên với vận tốc ban đầu V0 lập với phương nằm ngang góc α.

r

Xác định chiều cao h mà vật đạt được là hàm của góc θ hợp giữa vận tốc V của vật và

phương nằm ngang. Bỏ qua sức cản của không khí.



Trả lời:



V02 ⎛ cos 2 α ⎞

h=

⎜1 −

⎟

2 g ⎝ cos 2 θ ⎠



102. Thí dụ



Tải trọng A trọng lượng P trượt theo mặt nghiêng

r

xuống dưới với vận tốc V làm quay trống B trọng lượng Q

nhờ một sợi dây mềm nhẹ quấn quanh nó. Tính động năng của

hệ biểu thị qua vận tốc V của tải trọng A. Coi trống như hình

trụ tròn đồng chất.



R



B



ω

A

V



Hình 102

Bài giải



Hệ để tính động năng bao gồm tải trọng A, trống B và dây mềm. Vì bỏ qua khối lượng

dây, nên động năng của dây bằng không.

Ta có:



T = T A + TB



Động năng của A chuyển động tịnh tiến tính theo công thức:

TA =



1

1P 2

mAVA2 =

V

2

2g



Động năng của trống B quayquanh trục cố định, tính theo công thức:

2



2



1

1 mB R 2 1 QR 2 ⎛ V ⎞ 1 Q 2

ω =

TB = J zω 2 =

V

⎜ ⎟ =

2

2 2

2 2g ⎝ R ⎠ 4 g



Từ đó ta nhận được:



T = TA + TB =



P 2 Q 2 2P + Q 2

V + V =

V

2g

4g

g



103a. Thí dụ

r

Con trượt A khối lượng M trượt theo mặt ngang với vận tốc V . Quả cầu M nối

bằng sợi dây mềm nhẹ không dãn dài l buộc vào trục O của con trượt. Tính động năng

của hệ. Giả sử rằng qui luật chuyển động của con lắc OM là : ϕ= ϕ(t).



Bài giải



Khảo sát hệ tính động năng gồm con trượt A và

chất điểm M.

154



A

V



O

ϕ



Vr



l

M



Ve



VM



Động năng cơ hệ bằng: T = TA+ TM

Con trượt A chuyển động tịnh tiến, nên TA =

Động năng của chất điểm M bằng:



1

MV 2

2



1

2

mVM

2



Hình 103a



r

r

r r

VM là vận tốc tuyệt đối của quả cầu M. Theo định lý hợp vận tốc ta có: VM = Ve + Vr



&

Ở đây: Ve = V; Vr = l.ϕ .

2

&

&

Trên cơ sở hình bình hành vận tốc, ta nhận được: VM = V 2 + l 2ϕ 2 + 2lV ϕ cos ϕ



Do đó :



TM =



1

1

2

&

&

mVM = m (V 2 + l 2ϕ 2 + 2lV ϕ cos ϕ )

2

2



Động năng của cơ hệ bằng: T= TA+ TM =



1

1

&

&

( M + m)V 2 + ml 2ϕ 2 + mlV ϕ cos ϕ

2

2



103b. Thí dụ



Trong các tời visai có hai trục hình trụ k1 và k2 với bán kính tương ứng r1 và r2 và

momen quán tính tương ứng đối với trục O1O2 là J1 và J2; chúng gắn liền vào nhau và

quay được nhờ tay quay AB. Ròng rọc động C treo vào sợi dây mềm nhẹ không dãn,

nhánh trái của dây quấn vào trụ k1, còn nhánh phải dây quấn vào trụ k2. Khi quay tay

quay AB, nhánh trái dây tuột khỏi trục k1, còn nhánh phải quấn vào trục k2. Tải trọng

D trọng lượng P treo vào ròng dọc C; momen quay không đổi M tác dụng vào tay

quay AB.

Tìm vận tốc của tay quay khi đã nâng tải trọng lên được một đoạn bằng S. Tại

thời điểm ban đầu hệ đứng yên, bỏ qua khối lượng của tay quay và ròng rọc.

K2



B

K1



M



ϕ



K2



r2 r

1



A



ω



K1

O2



O1



VM



S

O



M



C



Hình 103b



VO



VN



C

D



D



Bài giải:



- Hệ khảo sát gồm: Các trục k1,k2, tải trọng D, ròng rọc C, dây và tay quay AB



155



N