HỌC PHẦN II: ĐỘNG HỌC

xM

⎫

= cos10t ⎪

⎪

120

⎬

yM

= sin10t ⎪

⎪

40

⎭



hay



2

2

xM

yM

+

=1

1202 402



Đây là phương trình êlíp, tâm O, bán trục lớn bằng 120cm và bán trục nhỏ bằng 40cm.

b) Phương trình chuyển động của con chạy B:



Nhận xét rằng: Con chạy B luôn luôn chuyển động dọc theo phương Ox, nên có

thể dùng phương pháp toạ độ tự nhiên để khảo sát. Chọn gốc toạ độ O, chiều dương

trùng với chiều dương Ox. Khi đó ta có phương trình chuyển động của con chạy B:

S = xB = 2.OA.cosj

hay S = xB= 160 cos10t

Chú ý: khi biết quĩ đạo của M là elíp bằng cách tương tự chúng ta dễ dàng viết phương

trình chuyển động của nó dới dạng toạ độ tự nhiên (sinh viên tự suy lấy).

Bây giờ nếu chọn trục cực OB trùng với Ox, góc giữa 0M = r với trục OP (hay Ox) là

j1, ta viết

phương trình chuyển động của động điểm M dưới dạng toạ độ cực (r, j)

2

2

r = xM + y M =



(120cos10t )



2



+ (40sin10t ) 2



= 402 (9cos 2 10t + 1 − cos 2 10t ) = 40 1 + 8cos 2 10t



(5)



yM

40sin10t 1

=

= tg10t

xM 120cos10t 3



Mặt khác:



tgj1=



Suy ra :



⎛ tg10t ⎞

j1= arctg ⎜

⎟

⎝ 3 ⎠



(6)



Kết hợp (5) và (6) ta được phương trình chuyển động của điểm M viết dưới dạng toạ

⎧r = 40 1 + 8cos 2 10t

⎪

độ cực:

⎨

⎛ tg10t ⎞

⎪ φ1 = arctg ⎜

⎟

⎝ 3 ⎠

⎩

Cần chú ý phương pháp này chỉ dùng được khi quĩ đạo của điểm là đường cong

phẳng.

2. Cho phương trình chuyển động, xác định quĩ đạo của động điểm.



1)



⎧ x = 20t 2 + 5

⎨

2

⎩ y = 15t + 3



Trả lời: Quĩ đạo là nửa đường thẳng: 3x- 4y

Điểm gốc (x=5, y=3).

76



= 3.



2)



⎧ x = 4t − 2t 2

Trả lời: Quĩ đạo là nửa đường thẳng: 3x- 4y = 0.

⎨

y = 3t − 1,5t 2

⎩



Với − ∞ < x ≤ 2 ; − ∞ < y ≤ 1,5

3. Cho phương trình chuyển động của điểm, xác định phương trình quĩ đạo của nó:



1)



⎧ x = 5 + 3cos t

( x − 5) 2 y 2

Trả lời: Quĩ đạo là elíp

+

=1

⎨

9

16

⎩ y = 4sin t



2)



⎧

⎛π

⎞

⎪ x = 3cos ⎜ 8 + π t ⎟

⎪

⎝

⎠

Trả lời: Quĩ đạo là elíp

⎨

⎛π

⎞

⎪ y = 4sin

⎜ +πt ⎟

⎪

⎝4

⎠

⎩

x 2 y 2 xy

π

π

+

− sin = cos 2

9 16 6

8

8



4. Cho phương trình chuyển động của chất điểm, hãy xác định phương trình quĩ đạo và luật

chuyển động theo quĩ đạo ? Biết rằng gốc toạ độ là vị trí ban đầu của chất điểm.



1)



⎧ x = 3t 2

⎨

2

⎩ y = 4t



Trả lời: Quĩ đạo: 4x- 3y = 0.

Luật chuyển động: S = 5t2



⎧ x = 5cos 5t 2

⎨

2

⎩ y = 5sin 5t

động: S = 25t2



2)



Trả lời: Quĩ đạo: x2+ y2 = 25. Luật chuyển

B



5. Tìm qui luật chuyển động của thanh AB nếu đườngkính bánh xe lệch

tâm d = 2r và trục quay O ở cách tâm của đĩa một khoảng OC = a ? Trục A

ϕC

a

Ox hứơng dọc theo thanh, gốc tọa độ O ở trục quay và = λ .

O a

r

Hình 5

Trả lời: x = a cos ϕ + r 1 − λ 2 sin 2 ϕ

6. Viết phương trình chuyển động của pít tông lệch tâm trong cơ cấu then truyền tay

quay ( hình vẽ ). Khoảng cách từ trục quay của tay quay tới đường dẫn hướng của pít

tông là h chiều dài của tay quay là OA = r.Chiều dài của then truyền AB = l. Trục x có

phương theo hướng chuyển động của pít tông, gốc tọa độ lấy ở vị trí xa nhất của pít

l

h

tông về phía bên phải. Cho biết = λ ; = k ; φ = ω0t .

r

r



77



x = r ⎡ (λ + 1) 2 − k 2 − λ 2 − (sin φ + k ) 2 − cos φ ⎤

⎣

⎦



Trả lời:



A



A

r

O



ϕ=ωt



r



l



h C



ϕ



N



O



x



x



B



Hình 6



B



Hình 7



7. Thanh AB = l chuyển động sao cho mút A của nó luôn luôn ở trên một vòng tròn

bán kính r < l/2 và thanh luôn đi qua một điểm N cố định trên vòng tròn đó. Tìm

phương trình chuyển động của điểm B, biết j = wt.



Trả lời:



ωt

⎧

⎪ x = r cos ωt + l sin 2

⎪

⎨

⎪ y = r sin ωt − l cos ωt

⎪

⎩

2



A



8. Thanh AB = l chuyển động sao cho đầu mút A trượt

dọc theo trục Oy cố định, còn thanh AB ở mọi thời điểm

đều đi qua điểm C cố định cách trục Oy một khoảng

OC = a. Tìm phương trình quĩ đạo của điểm B ?



Trả lời:



C

O



a



x

B



Hình 8



( x − a ) 2 (l 2 − x 2 )

y =

x2

2



9. Tìm phương trình đường cong trong toạ độ cực (r, j) do tầu vạch nên mà góc

phương vị a giữa hướng vận tốc của tầu và hướng từ nó đến điểm cố định luôn luôn

không đổi. Nếu cho a, r/j = r0. Tầu coi như điểm chuyển động trong mặt phẳng và cực

lấy ở điểm cố định bất kỳ trong mặt phẳng này. Khảo sát trường hợp riêng khi



a = 0,



π

2



và p.



Trả lời: Đường logarit: r = r0e-jtga

Khi a =



π

2



. Đường tròn r = r0



Khi a = 0, p: Đường thẳng



II. Loại 2: Tính vận tốc và tìm phương trình tốc độ của động điểm

10. Thí dụ



Một chất điểm chuyển động theo phương trình như sau:



78



⎧ x = 2cos t

⎨

⎩ y = 2sin t



x, y tính bằng cm, t tính bằng giây.



Xác định trị số và phương vận tốc của chất điểm, khi nó ở trên trục Oy trong toạ độ Đề

các và trong toạ độ cực ?

Bài giải:

a) Toạ độ Đề các: Ta tính

&

x = −2sin t ⎫

⎬

&

y = 2cos t ⎭



M

r

O



(1)



ϕ



x



Khi chất điểm ở trên trục Oy thì x = 2cost = 0,do đó cost = 0

hay t = ±



π



(K=0). Thay giá trị của t vào (1):



2



Hình 10



&

&

&

&

x = −2 ; y = 0 và x = 2 ; y = 0



Vậy với t=



π

2



&

&

thì V= x 2 + y 2 = (−2) 2 = 2 cm/s;



r r

r r

&

&

x

y

cos( V , i ) = = −1 ; cos ( V , j ) = =0

V

V



Với t = -



π

2



r r

r r

thì V = 2cm/s; cos( V , i ) = 1 ; cos ( V , j ) = 0.



b) Toạ độ cực: Từ phương trình chuyển động, bằng cách khử t, ta có phương trình

quĩ đạo của điểm:

x2 + y2 = 4.



Chọn cực hệ toạ độ cực ở tâm vòng tròn và hướng trục cực theo trục Ox ta có:

x = rcosj

y= rsinj

Từ đó x2 + y2 = r2 nên suy ra r = 2 = const.

x

y

Mặt khác : cosj= = cos t ; sinj= = sint nên suy ra j = t.

r

r



B

C

O



ϕ



Vậy phương trình chuyển động của điểm trong toạ độ cực là:

⎧r = 2

⎨

⎩φ = t



(2)



Hình 11



&

&

Để tìm vận tốc từ (2) ta có: Vr = r = 0 ; Vj= r φ = 2



hay V=



&

&

r 2 + (rφ ) 2 = 2cm/s = const



79



M

A x



Rõ ràng chất điểm chuyển động trên đường tròn có

mô đuyn vận tốc không đổi và có phương vuông góc

với bán kính.

11. Thí dụ



Cho cơ cấu thước vẽ elíp OC = AC = BC = 20cm.

Tay quay OC quay quanh trục O vuông góc với mặt phẳng hình vẽ. Góc j giữa OC và

trục Ox tỷ lệ với thời gian j = w0t (w0 là hằng số ). Tìm phương trình chuyển động,

phương trình quĩ đạo và vận tốc của điểm M tại j =



π



2



nếu AM = 10cm, tại thời điểm



ban đầu B trùng với O.

Bài giải

a) Thành lập phương trình chuyển động và phương trình quĩ đạo của điểm M. Sử

dụng toạ độ Đề các.



Chọn hệ trục tọa độ Oxy ta có:



AM =



1

OC = 10cm

2



1

⎫

xM = OC cos φ ⎪

⎪

2

nên

⎬

1

yM = OC sin φ ⎪

⎪

⎭

2



Thay j = w0t vào (1) ta được phương trình chuyển động của trung điểm M của đoạn

AC:

⎧ xM = 30cos ω0t

⎨

⎩ yM = 10sin ω0t



(2)



Khử t từ (2) ta có phương trình quĩ đạo của trung điểm M:

xM

= cos ω0t ;

30



yM

= sin ω0t

10



Sau đó bình phương hai vế rồi cộng lại ta được phương trình quĩ đạo là êlíp:

x2

y2

+

=1

900 100



b) Tính vận tốc của điểm M:



Xuất phát từ phương trình chuyển động (2) ta có:

&

⎧ x = −30ω0 sin ω0t

⎨

&

⎩ y = 10ω0 cos ω0t



80



Tại j = w0t =

Vậy:



π



&

⎧ x = −30ω0

⎨

&

⎩ y=0



thì



2



r r

r r

&

&

x

y

&

&

V = x 2 + y 2 = 30ω0 cm/s ; cos( V , i ) = = −1 ; cos ( V , j ) = =0

V

V



π



thì AB nằm dọc theo trục Oy, vận tốc điểm M có phương

2

song song và ngược chiều với trục Ox.



Kết quả chỉ rằng: Tại j =



12. Một chất điểm chuyển động theo luật:

x = 4sin



π ⎫



t

⎪

2 ⎪

⎬

π ⎪

y = 3sin t

2 ⎪

⎭



x, y tính bằng cm, t tính bằng giây.



Xác định vận tốc của điểm khi: t = 0; t = 1; t = 2s ?

Trả lời:

r r

r r

4

3

5

π cm/s ; cos (V0 , i ) =

; cos (V0 , j ) =

2

5

5



1)



V0 =



2)



V1 = 0



3)



V2 =



r r

r r

5

4

3

π cm/s ; cos (V0 , i ) = - ; cos (V0 , j ) = 2

5

5



13. Một quả cầu được ném từ máy bay chuyển động theo phương trình:

⎧ x = V0 t

⎪

⎨

gt 2

⎪ y=h⎩

2



Ở đây trục Ox chọn theo phương ngang, trục Oy chọn theo phương thẳng đứng

hướng lên trên. Xác định vận tốc của quả cầu khi nó rơi tới đất ?

Trả lời:



V = V02 + 2 gh ;

r r

cos (V , i ) =



V0

V02 + 2 gh



;



81



r r

cos (V , j ) = −



y



2 gh

V02 + 2 gh



v0



M



α

R



h



j



O



O



Vo



x



i



Hình 13



Hình 14



14. Một bánh xe lăn không trượt theo đường ray ngang với vận tốc của tâm bánh xe là

V0 = 72km/h. Bán kính bánh xe là R = 1m.

r

a) Xác định vận tốc của điểm M nằm trên vành bánh xe có bán kính lập với V0 một góc



π

2



+α .

r

b) Vẽ hôđôgrap vận tốc điểm M và xác định vận tốc V1 của điểm vạch nên



hôđôgrap đó.

Trả lời:

a) V = 40cos



α

2



r

(m/s) , chiều V từ M đến A.



b) Vòng tròn r = 2V0cosq trong đó q =

y



O



ϕ



2



, bán kính r = V0, V1 =



y



e



l



M B

l



f



A



l

d

ϕ=ω t



c



a



Hình 15



V02

= 400m/s2.

R



b



A

r



α



x



o



B

C



x



Hình 16



E



D



H



Hình 17



15. Hãy tìm vận tốc trung điểm M của cơ cấu then truyền tay quay và vận tốc con

chạy khi r = l = a, j = wt (w là const).



Trả lời:



VM =



a

ω 8sin 2 ωt + 1 ;

2



VB = 2awsinwt.



16. Một cơ cấu gồm hai thanh AB và BC cùng độ dài l và gắn bản lề tại B. Mỗi thanh

lại được gắn bản lề với hai thanh khác là ED và DF sao cho hình DEBF là hình thoi có

cạnh có cạnh là a. Xác định vận tốc của điểm D phụ thuộc vào góc j= ∠ (BAC) ? Nếu



82



điểm A cố định, điểm C chuyển động theo phương thẳng góc với BD và có vận tốc là

V.

Trả lời:



V

2l sin



VD =



l 2 − 4a (l − a ) cos 2



17. Tải trọng D được treo nhờ hai dây EAC và HBC vắt qua hai ròng rọc A và B. ở vị trí

đầu độ võng OC = 10 3 m, và AC = BC. Khoảng cách giữa hai ròng rọc AB = 2a =

20cm. Dây HBC được quấn vào cái tang quay làm nó chuyển động với vận tốc V

không đổi, V = 1m/s. Dây EAC tởi ra nhờ cái tang thứ hai cũng chuyển động với vận

tốc đó. Xác định quĩ đạo của điểm C mà nó nâng tải, cũng như vận tốc của điểm này.



Trả lời:



x2

y2

+ 2

= 1 ( E líp )

b2 b − a 2

r

r

V = 2i +



3t

300 − 3t 2



r

j



18. Chuyển động của điểm cho theo phương trình r = aekt, j = kt ( với a, k là hằng số).

r

Tìm phương trình quĩ đạo và vận tốc của điểm là hàm của bán kính véc tơ r .



Trả lời:



r = aej ; V = kr 2 .



19. Chuyển động của điểm trong mặt phẳng cho theo phương trình:

r

r

r

r = acos60t i + asin60t j

a) Tìm phương trình quĩ đạo, phương trình chuyển động của điểm ở dạng toạ độ

cực, cho chuyển động của điểm ở dạng tự nhiên.

b) Tìm vận tốc của chất điểm từ phương trình chuyển động đã biết ở dạng trên ?



Trả lời:



a) Quĩ đạo là đường tròn x2 + y2 = a2

r = a ; j = 60t

S = 60at

b) |Vr| = 0 ; Vj = 60a (cm/s)

VS = 60a (cm/s).



III. Loại 3: Tính gia tốc và bán kính cong quĩ đạo của động điểm

20. Thí dụ.



Một viên đạn được bắn lên chuyển động theo phương trình:

x = 300t

y = 400t - 5 t2

Xác định: a) Vận tốc và gia tốc của nó ở thời điểm ban đầu ( t = 0).

83



b) Tầm cao và tầm xa của viên đạn ?

c) Bán kính cong của quĩ đạo viên đạn ở thời điểm ban đầu và ở thời

điểm khi viên đạn ở vị trí cao nhất?

Bài giải

r

r

a) Xác định V0 và W0



Vo



Từ phương trình chuyển động ta có:

&

x = 300



O



&& = 0

x



&

y = 400 − 10t



α



&& = −10

y



Wo



&

&

&

&

x0 = x t=0 = 300 ; y0 = y t=0 = 400



Vậy



&&0 = && t=0 = 0;

x x



V0=



x



Xmax/2



Tại thời điểm ban đầu t = 0:



và



H=Ymax



L



Hình 20



&&0 = && t=0 = -10

y

y



&2 & 2

x0 + y0 = 3002 + 4002 = 500 m/s;



r r

&&

x

cos (V0 , i ) = 0 = 0 ;

W0



r r

&&

y

4

cos (V0 , j ) = 0 = ;

W0 5



x2 y2

W0= &&0 + &&0 = (0) 2 + (−10) 2 =10 m/s2;

r r

&&

x

cos (W0 , i ) = 0 = 0 ;

W0



r r

&&

y

cos (W0 , j ) = 0 = -1

W0



Kết quả tính toán cho phép ta biểu diễn như ở hình vẽ

b) Xác định tầm cao và tâm xa của viên đạn, tức là xác định vị trí cao nhất và xa

nhất mà viên đạn đạt tới:



Như hệ trục toạ độ đã chọn, trục Ox nằm ngang trên mặt đất, trục Oy hướng thẳng

đứng lên trên, gốc tọa độ tại thời điểm ban đầu và từ phương trình chuyển động của

viên đạn, ta thấy quĩ đạo của viên đạn là parabol ( như hình vẽ). Vậy lúc viên đạn ở

vị trí xa nhất thì y = 0, nghĩa là: y = 400t - 5t2 = t(400-5t) = 0

Ta suy ra: hoặc t = 0 ứng với thời điểm ban đầu hoặc t = 80s ứng với thời điểm đạn

ở xa nhất.

Ta có: l = xmax = x t = 80s = 300. 80= 24000m ;

Do parabol đối xứng qua trục song song với 0y nên vị trí có độ cao lơn nhất ứng với

⎛x ⎞

0,5xmax. Vì thế ta có : h= ymax = y ⎜ max ⎟ = y t=40s

⎝ 2 ⎠

h= ymax = 400. 40 - 5.402 = 8000m

84



c) Xác định bán kính cong quĩ đạo:



Để tính bán kính cong ta áp dụng các công thức sau:

2



&

&

x + y ; W=

2



V=



&& + && và W=

x y



2



2



2



2

⎛ dV ⎞ ⎛ V ⎞

⎜

⎟ +⎜ ⎟

⎝ dt ⎠ ⎝ ρ ⎠



2



Từ đó suy ra công thức xác định bán kính cong:

r2 =



&

(x



2



&

+ y2 )



4



(*)



&&& &&&

( xx + yy ) 2

&& + && − 2

x y

&

&

x + y2

2



2



Thay biểu thức x, y vào (*) với t = 0 ta có r0 = 41667m .

Tương tự, nếu thay t = 40s ta được: rh = 9000m.

21. Thí dụ



Chất điểm chuyển động trên đường tròn bán kính R = 6cm theo qui luật:

S = 6 + 9t2 - 12t3 . Xác định vận tốc, gia tốc của điểm đó sau 1 giây.

Bài giải



Chọn gốc toạ độ O. Vị trí đầu của điểm là S0 = S

Sau 1 giây điểm cách O: S1 = S



t=1s



t=0



= 6cm.



+



= 6 + 9. 12 - 12. 13 = 3cm

O1 R



O

V



a) Tính vận tốc:

V=



Tại t = 1s thì:



d

(6 + 9t2 - 12t3)= 18t - 36t2.

dt



V1 = V



t=1s



= 18.1- 36.12 = -18 cm/s



M



Mo



Hình 21a



Dấu (-) chứng tỏ vận tốc có chiều ngược với chiều dương đã chọn

trên quĩ đạo.

b) Xác định gia tốc:



r r

r

Ta có : W = W t + W n



dV d 2 S

V 2 (18 − 36.t 2 ) 2

= 2 = 18-72t ; Wn =

=

Wt =

dt

dt

R

6



tại t= 1s thì: Wt = 18- 72 = -54 cm/s2;

Wn =

Vậy :



O1



(18 − 36.12 ) 2

= 54cm / s 2

6



W1 =



( −54) 2 + (54) 2 = 54 2 cm/s2



Căn cứ vào kết quả tính toán, ta có thể biểu diễn trên hình vẽ:

85



R

Wn



W

Wτ

M



Hình 21b



22. Chất điểm chuyển động theo phương trình:



x = 75cos4t2

y = 75 sin4t2

x , y : tính bằng cm, t : tính bằng giây.

Tìm vận tốc, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến của chất điểm đó.

V = 600t cm/s; Wt = 600 cm/s2 ;



Trả lời:



Wn = 4800t2 cm/s2



⎧ x = 2cos 4t

⎪

23. Một chất điểm chuyển động theo đường ren vít có phương trình: ⎨ y = 2sin 4t

⎪ z = 2t

⎩



Xác định bán kính cong của quĩ đạo.

Trả lời:



1

m

8



r=



⎧ x = et cos t

⎪

24. Một chất điểm chuyển động theo phương trình: ⎨ y = et sin t

⎪ z = et

⎩



Xác định bán kính cong của quĩ đạo của chất điểm ở thời điểm t.

Trả lời:



r=



3 2 t

e

2



π

⎧

x = 4sin t

⎪

⎪

2

25. Một chất điểm chuyển động theo phương trình: ⎨

⎪ y = 3sin π t

⎪

⎩

2

Tìm gia tốc và bán kính cong của quĩ đạo ở thời điểm t = 1s

W = 1,25p2 cm/s2 ; r = ∞



Trả lời:



D



y

Q



C



y



O



A



A

ϕ



M



Hình 26



B



B



B



x



A

x



ϕ



O

p/2



O



Hình 27



Hình 28



86



w=wx

X

C