CHƯƠNG IV: CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP CỦA CHẤT ĐIỂM

y=



x(a − x) hay x2 + y2 = ax



106. Thí dụ



Bộ phận tăng tốc độ của máy bào được xây dựng từ 2 trục song song O và O1 với tay

quay OA và culít O1B. Tìm phương trình chuyển động tương đối của con chạy trong

rãnh culít, biết rằng OA = r quay với vận tốc góc ω = const và OO1 = a.

Bài giải



Phân tích chuyển động: chọn trục O1x1 gắn vào culít O1B, trục OO1 coi như cố

định.

Chuyển động của con chạy A dọc theo rãnh O1B ( dọc theo O1x1) là chuyển động

tương đối.

⎯



Chuyển động của culít O1B quay quanh trục cố định qua O1 thẳng góc với mặt

phẳng hình vẽ là chuyển động theo.

⎯



Chuyển động của con chạy A đối với trục cố định O và O1 là chuyển động tuyệt



⎯



đối.

Tìm phương trình chuyển động tương đối của con chạy A:

Để tìm phương trình chuyển động tương đối của con chạy A so với culít OB ta phải xác định

O1A= x1 và góc ϕ1 lập giữa O1B và OO1 là hàm của thời gian t. Muốn vậy

ta xét tam giác OAO1 với các cạnh: r, a, x1

B

Theo hệ thức lượng trong tam giác thường ta có:

O1A2 = O1O2 + OA2 – 2OO1.OA.cosO1OA

hay



H



ω0 ϕ r

O



ϕ1



x12 = a2 + r2 +2arcosϕ



Xét tam giác vuông 01AH ta lại có:



tgϕ =



AH

r sin ϕ

=

01 H a + r cos ϕ



Thay ϕ = ωt vào hai đẳng thức trên, ta có phương trình chuyển

động tương đối của con chạy A so cới culít O1B:



A



X1



O1



Hình 106



x12 = a 2 + r 2 + 2ar cos ωt



tgϕ1 =



r sin ωt

a + r cos ωt



107. Thanh OA = l quay quanh trục O trong mặt phẳng hình vẽ theo luật ϕ = bt. Một

chất điểm M chuyển động dọc theo thanh với luật OM = at. Tìm phương trình quĩ đạo

chuyển động tuyệt đối của M.

⎛ y⎞

a2

2

2

2⎜ ⎟

Trả lời: x + y = 2 arctg ⎝ x ⎠ .

b



113



y1



y1

M

O



x

A 1



ϕ



x1

O



ϕ



y



r



r



M

O



x



Hình 107



y1



A



x



Hình 108



M

B



ϕ



O1



x1



a



Hình 109



108. Lưỡi dao chuyển động tịnh tiến thẳng qua lại, đầu mút M của nó chuyển động

trên trục cố định Ox theo luật x = OM = asinωt. Lập phương trình chuyển động và

phương trình quĩ đạo tương đối của M đối với một đĩa quay đều quanh trục O với vận

tốc góc ω ?



Trả lời:



a

x1 = sin2ωt ; y1 = -asin2ωt ;

2



a 2 a2

x + (y1+ ) =

.

2

4

2

1



109. Tay quay OA = r quay đều trong mặt phẳng hình vẽ quanh điểm cố định O thoả

mãn phương trình: ϕ = ωt. Thanh truyền AB = r. Con chạy B chuyển động dọc theo

Ox. Người ta gắn một cái ống với con chạy và cùng chuyển động tịnh tiến với con

chạy B, và xem nó như một vật rắn tuyệt đối. Một điểm chuyển động trong ống sao

cho O1M = r sinωt, với O1B = a. Cho rằng chuyển động của điểm M đối với ống là

tương đối. Xác định phương trình chuyển động tương đối và tuyệt đối của điểm M và

quĩ đạo tuyệt đối của nó ?



Trả lời:



- Phương trình chuển động tương đối của điểm M là:

x1 = 0 ; y1 = rsinωt.

- Phương trình chuyển động tuyệt đối của điểm M là:

x = a+2rcosωt ; y = rsinωt.

- Phương trình quĩ đạo tuyệt đối của điểm M là:



( x − a)

2

( ar )



2



+



y2

=1

r2



110. Đầu mút của con lắc kép vạch nên một đường Litxagvơ nhờ tổng hợp hai dao

động điều hoà liên hợp vuông góc có dạng:



x = asin2ωt

y = asinωt

Tìm phương trình quĩ đạo ?

Trả lời:



a2x2 = 4y2(a2-y2).



114



II. Tính vận tốc của chất điểm

111. Thí dụ



Va A x

M



r

Chất điểm M chuyển động dọc theo thanh OA với vận tốc u ,

đồng thời OA lại chuyển động quay trong mặt phẳng xOy

xung quanh tâm O với vận tốc góc ω. Xác định vận tốc tuyệt

đối của chất điểm M.



y



Ve



1



1



M



ω



O



M



u

x



Hình 111



Bài giải



Phân tích chuyển động: chọn hệ trục Oxy cố định và hệ trục Ox1y1 gắn chặt vào

thanh OA.

Chuyển động của M dọc theo OA ( giả thiết từ O đến A ) là chuyển động tương

r

đối, khi đó vận tốc u có hướng như hình vẽ.

⎯



Chuyển động quay của OA quanh trục qua O và thẳng góc với mặt phẳng hình vẽ là

chuyển động theo. Vận tốc theo của điểm M là vận tốc của điểm M gắn chặt vào thanh OA tại

r

thời điểm khảo sát nó trùng với điểm M, Ve hướng thẳng góc với OA theo chiều quay của vận

⎯



tốc góc.

⎯



r

Chuyển động của M so với hệ trục Oxy là chuyển động tuyệt đối. Vận tốc Va



bằng tổng hình học hai vận tốc nói trên.

r

Tính VaM :

r

r

r

r

r

Theo định lý hợp vận tốc :

VaM = VeM + VrM = VeM + u

Ta có:



VeM = ω.OM = ω.r



VrM = u



r

r

Vì VeM ⊥ VrM nên : VaM =



(V ) + (V )

M

e



2



M



r



2



= ω 2 .r 2 + u 2



C

VrC Va



C



112. Thí dụ



B



Ve



B



C

Ve



Chèn A chuyển động tịnh tiến với vận tốc V = 3m/s, còn tải Vr Va

V=Ve

trọng B chuyển động dọc theo biên của chèn A. Cho OB = s

60

thay đổi theo luật: s = t2. Tìm vận tốc tuyệt đối của tải trọng B

và C được nối với nhau nhờ dây không dãn tại thời điểm t=2s ?

Hình 112

Bài giải

B



B



O



Phân tích chuyển động: Hệ trục cố định gắn chặt vào mặt đất, hệ trục động gắn

chặt với chèn.

Chuyển động của B và C trên các biên của chèn là chuyển động tương đối, vận

tốc tương đối là Vr = 2t.

⎯



115



Chuyển động của chèn tịnh tiến trên mặt đất là chuyển động theo. Vận tốc theo là Ve

= 3m/s.



⎯



Chuyển động của B và C đối với mặt đất là chuyển động tuyệt đối, vận tốc tuyệt

r

r

đối là VaB , VaC .

r

r

Tính vận tốc VaB , VaC :

r

r

r

r

r

r

Theo định lý hợp vận tốc ta có: VaB = VeB + VrB ; VaC = VeC + VrC

⎯



rB



(V )



Theo hình vẽ, tại t= 2s ta có:



2



a



2



2



= VeB + VrB − 2VeB .VrB .cos 600 = 13



VaB ≈ 3,62 m/s



Vậy :



r

r

Tương tự, vì VeC ⊥ VrC nên :



VaC =



(V )

C

e



2



+ (VrC ) 2 = 32 + 42 = 5m/s



113. Để xác định vận tốc của máy bay và gió, người ta vạch một đoạn thẳng độ dài l

xuôi theo chiều gió. Ban đầu máy bay bay theo đoạn thẳng xuôi theo chiều gió mất t1

giây và sau đó bay ngược lại mất t2 giây. Hãy xác định vận tốc riêng V1 của máy bay

và vận tốc V2 của gió ?



V1 =



l ⎛1 1⎞

⎜ + ⎟ m/s

2 ⎝ t1 t2 ⎠



V2 =



Trả lời:



l ⎛1 1⎞

⎜ − ⎟ m/s

2 ⎝ t1 t2 ⎠



114. Mưa rơi theo phương thẳng đứng, nhưng hành khách ngồi trong ô tô thấy hạt

mưa rơi theo phương hợp với phương thẳng đứng góc 400. Biết ô tô chuyển động theo

một đường nằm ngang với vận tốc 72 km/h. Tìm vận tốc của những hạt mưa rơi tự do

?



Trả lời:

y



V = 23,8m/s.

r



A



A

O



ϕ



K



α



M



r



V



α



ω



B



ω



R



x



l



Hình 115



Hình 116



Hình 117



115. Trong cơ cấu culít tay quay OC đu đưa quanh trục O thẳng góc với mặt phẳng

hình vẽ. Con chạy A di chuyển dọc theo tay quay OC và truyền chuyển động cho



116



thanh AB làm cho thanh này chuyển động dọc theo rãnh thẳng đứng K. Cho OK = l,

tìm vận tốc con chạy A đối với tay quay OC là hàm số của vận tốc góc ω và góc quay

ϕ của tay quay ?

Trả lời:



Vr4 =



ωltgϕ

.

cos ϕ



116. Những quả cầu của máy tiết chế ly tâm quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc

góc ω = 10s-1. Nhờ thay đổi tải trọng của máy, những quả cầu đi ra khỏi trục quay, khi

đó thanh của quả cầu ở vị trí đã cho có vận tốc góc ω = 1,2s-1. Tìm vận tốc tuyệt đối

của quả cầu ở thời điểm đang xét. Biết l = 50cm, khoảng cách giữa 2 trục theo là

2r=10cm và α =300.



Trả lời:



VaA = 306 cm/s.



117. Trong tuốc bin thủy lực, nước từ bộ phận dẫn chảy vào bánh xe quay có các cánh bố trí

uu

r

sao cho vận tốc tương đối Vr tiếp tuyến với chúng để tránh va chạm. Hãy tìm vận tốc tương



đối của hạt nước trên vành ngoài của bánh xe ( tại thời điểm vào) nếu vận tốc tuyệt đối của

nó khi vào V = 15m/s, góc giữa vận tốc tuyệt đối và bán kính là α = 600, bán kính bánh xe

R = 2 m, tương ứng với vận tốc góc của bánh xe n = 30v/p.

r

Trả lời:

Vr = 10,06m/s ; ( Vr , R) = 41050’.

K

V1

A



C



r V2

O E B



Hình 118



ωt b

O ω



M



h

C

y



α



C



a

B



B



Hình 119



Hình 120



118. Một bán trụ rỗng bán kính r = 10cm, chuyển động tịnh tiến trên mặt phẳng ngang

cố định với vận tốc V1 = 30cm/s. Thanh CD tựa trên mặt bán trụ chuyển động theo

rãnh K thẳng đứng. Tìm vận tốc điểm C của thanh đối với bán trụ và tìm khoảng cách

CE từ C đến đường kính AB khi vận tốc của thanh bằng V2 = 40cm/s.



Trả lời:



Vr = 50cm/s ; CE = 6cm.



119. Điểm M chuyển động trên mặt phẳng nghiêng AB với vận tốc tương đối

Vr= 2gy (g là hằng số). Tại thời điểm ban đầu, M ở vị trí A. Mặt phẳng nghiêng di



chuyển theo nền ngang về phía bên phải với vận tốc Ve bằng hằng số. Xác định quĩ

đạo tuyệt đối của M và vận tốc tuyệt đối của nó tại thời điểm khi M chuyển động tới

nền. Cho AC = h và mặt nghiêng có góc nghiêng α.

Trả lời:



Va2 = Ve2 + 2 gh + 2Ve 2 gh cos α



117



2Ve2

y

(xsinα- ycosα) =

g

2



120. Cho cơ cấu chuyển động trong mặt phẳng hình vẽ, tay quay OC dài b quay quanh

trục cố định qua O theo luật ϕ = ωt (ω = const), truyền chuyển động cho thanh BD

quay quanh trục cố định qua B nhờ con chạy C dọc theo BD. Xác định vận tốc tuyệt



đối, kéo theo và tương đối của con chạy C tại thời điểm t =

Trả lời:



π

, biết OB = a.

2ω



Va = ω.b;

Ve = ω

Vr = ω



b2

a 2 + b2

ab

a 2 + b2



;

.



III. Tính gia tốc của chất điểm

121. Thí dụ



Một đĩa tròn bán kính R quay quanh trục z vuông góc

với mặt phẳng đĩa qua tâm O của nó với qui luật ϕ = π.t

. Dọc theo vành đĩa một con chạy xuất phát từ điểm A

chuyển động theo luật S = π.t. Giả sử các chuyển động

ngược chiều kim đồng hồ. Xác định gia tốc tuyệt đối của

con chạy tại thời điểm t ?



Z

Vr



ωe

Wc



n



We

O



M

r



We



A



Bài giải



Phân tích chuyển động:



Hình 121



Chuyển động của con chạy theo vành đĩa là chuyển động tương đối với phương

&

trình S = π.t thì Vr = S = π

⎯



Chuyển động quay của đĩa tròn quanh trục z là chuyển động kéo theo với luật ϕ=

&

π.t thì ωe = ϕ = π ; ε e = 0 .

⎯



⎯



Chuyển động của con chạy so với hệ trục cố định Oxyz là chuyển động tuyệt đối.

r

Xác định gia tốc tuyệt đối Wa của con chạy tại thời điểm t bất kỳ.



Giả sử con chạy ở vị trí M (hình vẽ), theo định lý hợp gia tốc ta có:

r

r

r

r

Wa = We + Wr + Wc

(1)

r

Để tính Wa ta lần lượt tính các thành phần ở vế phải của hệ thức (1).



118



⎯



r

Tính gia tốc kéo theo We :



Vì chuyển động theo là đĩa quay quanh trục cố định z nên gia tốc có hai thành phần:

r

r

r

We = Weτ + Wen

(2)

Weτ = ε e .0M = 0

r

r

Wen = ωe2 . 0M = π2R ; Wen có hướng từ M đến O.

⎯



r

Tính gia tốc tương đối Wr



Vì con chạy chuyển động theo vành đĩa tròn, nên gia tốc tương đối có hai thành

r

r

r

Wr = Wrτ + Wrn

(3)

phần:

Wrτ =



⎯



dVr

= 0 (Vì Vr = π = const )

dt



r n Vr2 π 2

r

;

Wrn có hướng từ M đến 0.

Wr =

R R

r

r

r

r

Tính gia tốc Côriolít Wc : Ta có Wc = 2ωe ∧ Vr

(4)



Vì đĩa tròn quay ngược chiều kim đồng hồ và con chạy chuyển động ngược chiều kim

r

đồng hồ ( hình vẽ) nên Wc có hướng từ M đến O.

r

Wc = 2ωe .Vr sin 900 = 2π 2

r

Thay kết quả ở (2), (3), (4) vào (1) ta suy ra gia tốc tuyệt đối của con chạy Wa hướng



từ M đến O có độ lớn là:

Wa = π 2 R +



π2

R



+ 2π 2 =



π2

R



( R + 1) 2



122. Một chèn tam giác chuyển động theo phương ngang, cạnh huyền hợp với phương

ngang một góc α. Xác định gia tốc tuyệt đối của thanh tựa trên chèn và trượt tự do

theo rãnh thẳng đứng. Nếu chèn chuyển động với gia tốc W0 = const.



Trả lời:



W = W0 tgα



O



O



α

B



C

A



Wo

α



Hình 122



30o



B

A



K



Hình 123

119



Hình 124



123. Một cơ cấu truyền chuyển động, tay quay culít của máy búa có culít BC chuyển

động theo rãnh K, con chạy A gắn vào đầu tay quay OA = 40cm, quay n = 120v/p. Khi

t = 0, culít ở vị trí thấp nhất. Xác định gia tốc của culít.



Trả lời:



W = 6320 cos4πt.



124. Trên chiếc xe chuyển động về phía phải theo đường nằm ngang với gia tốc W

= 49,2 cm/s2 đặt môtơ điện mà rôto của nó khi phát động, quay theo phương trình ϕ

= t2 (ϕ tính bằng radian) bán kính rôto bằng 20cm. Xác định vận tốc tuyệt đối của

điểm A được chỉ dẫn như hìnhvẽ tại thời điểm t = 1s ?

r

Trả lời:

Wa = 74,6cm/s2 ; W a hướng thẳng đứng lên trên.

125. Trên trục quay của động cơ điện gắn chặt thanh OA dài l quay theo phương trình

ϕ = ωt (ω = const). Động cơ điện không gắn chặt với nền thực hiện dao động điều hoà

theo phương trình x = a sinωt. Hãy xác định gia tốc tuyệt đối của điểm A tại thời điểm



t=



π

s

2ω

2

2

WA = ω2 a + l .



Trả lời:



A



l

ϕ



a



C



B

M

O

A



O

D



Hình 125



ω



a



Hình 126



A



O1



ϕ



S



M



B



ω

O2



Hình 127



126. Một hình chữ nhật ABCD quay quanh cạnh CD thẳng đứng với vận tốc góc



ω=



π



s-1 và bằng hằng số. Điểm M chuyển động từ O dọc theo AB theo luật S =asin



2

. Biết OA = CB = a. Xác định gia tốc tuyệt đối của điểm M ở thời điểm t= 1s ?



Trả lời:



Wa =



π2

4



π

2



t



a 2 cm/s2.



127. Tay quay O1A = 0,5m của một hình bình hành nối bản lề O1ABO2 quay quanh

trục cố định O1 với vận tốc góc ω1 = 2t s-1. Dọc theo cạnh AB của hình bình hành ấy

có con chạy M chuyển động theo luật AM = s = 5t2 (s tính bằng mét, t tính bằng giây).

Xác định gia tốc tuyệt đối của con chạy M tại thời điểm t = 2s, khi ấy ϕ= 300?



Trả lời:



Wa = 6,05m/s2.



128. Một hình vuông ABCD có cạnh là 2a quay quanh cạnh AB với vận tốc góc

không đổi ω = π 2 s-1. Một chất điểm thực hiện dao động điều hoà dọc theo đường



120



chéo AC theo luật OM = s = acos



π

2



t (cm). Xác định gia tốc tuyệt đối của M tại thời



điểm t = 1s và t = 2s?

Wa1 = aπ2 5 cm/s2; Wa2 = 0,44 π2a cm/s2



Trả lời:

B

ω



C



M

O S



η



O



ξ



Mo



M



α M



A



D



x

O



A Vr



Hình 128



Hình 129



Hình 130



129. Điểm M chuyển động đều trên hình nón tròn xoay có trục OA từ đỉnh dọc theo

đường sinh đến đáy với vận tốc tương đối Vr , góc ∠ (A0M) = α. Tại thời điểm t = 0

khoảng cách OM0 = a. Nón quay quanh trục của nó với vận tốc góc không đổi ω. Tìm

gia tốc tuyệt đối của điểm M.



Trả lời: Gia tốc nằm trong mặt phẳng thẳng góc với trục quay, lập từ tam giác

với các cạnh Wcn = ω2(a+Vrt)sinα và Wk = 2Vrωsinα.

130. Một đĩa quay biến đổi đều với gia tốc góc ε = 1s-2 theo chiều kim đồng hồ quanh

trục vuông góc với mặt phẳng của nó. Khi t = 0, vận tốc góc của nó là ω0 = 0. Một

điểm M dao động theo đường kính của đĩa sao cho ξ = sinπt (cm) , t tính bằng giây.

2

Xác định chiếu của gia tốc tuyệt đối của M trên các trục ξ, η gắn với đĩa tại t = 1

3

giây ?



W0ξ = 10,95 cm/s2 ; Waη = - 4,37 cm/s2.



Trả lời:



O



R

ϕ



M



Hình 131



M



A

O1



60O



O



Y



O

M

O2



Hình 132



O1



M1



Hình 133



131. Một chiếc ống hình khuyên bán kính r = 1m quay quanh trục O nằm ngang theo

chiều kim đồng hồ với vận tốc góc không đổi ω = 1s-1. Trong ống gần điểm A, có một

quả cầu dao động theo luật ϕ = sinπt. Xác định gia tốc tuyệt đối của quả cầu theo hai

1

thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến tại thời điểm t = 2 s.

6



Trả lời:



Waτ = −4,93 m/s2 ; Wan = 13,84 m/s2.



121



132. Một đĩa quay quanh trục O1OO2 là đường kính của đĩa với vận tốc góc ω = 2t

s-1. Một điểm M chuyển động từ tâm đĩa theo bán kính đĩa tới vành đĩa theo luật

S=OM = 4t2 (cm). Bán kính OM làm với OO2 một góc 600. Xác định giá trị gia tốc

tuyệt đối của điểm M tại thời điểm t = 1s ?



Trả lời: Wa = 35,56 cm/s2.

133. Một vòng tròn bán kính R =12 π (cm) quay theo qui luật ϕ =



π



+ 0,5t 2 quanh



6

trục nằm ngang O. Một xe con M trượt theo vòng tròn thoả mãn MO = S = 6t2. Xác

định gia tốc tuyệt đối của xe M tại thời điểm khi nó ở vị trí M1 mà O1M1 vuông góc

với OO1.



Trả lời:



Wax = 12cm/s2 ; Way = 66cm/s2.

M



1KM

M



g



R



O



2



W0



M

30

V



1



M



Hình 134



4

Hình 135



134. Dòng sông rộng 1km chẩy từ Nam lên Bắc với vận tốc 5 km/h. Xác định gia tốc

r

Criôlít ( WC ) của nước ở đoạn sông 600 vĩ độ Bắc. Mực nước ở bờ bên nào cao hơn và



cao hơn bao nhiêu nếu biết rằng mặt nước vuông góc với vectơ tổng hợp giữa hai

r

vectơ: Gia tốc trọng trường ( g ) và vectơ bằng và ngược chiều với gia tốc Criôlít

Trả lời:



WC = 0,0175 cm/s2 ;

r

WC hướng về Tây. Mực nước bờ Đông cao hơn bờ Tây 1,782cm.



135. Hãy tìm vận tốc và gia tốc của các điểm M1, M2, M3, M4 thuộc dây xích của máy

kéo, chuyển động không trượt theo một đường thẳng với

vận tốc V0 và gia tốc W0, bán kính bánh xe của máy kéo

B Vr

bằng R, bỏ qua sự trượt của xích trên hai bánh xe.

C

A

Trả lời: V1 = V2 = V0 2 ; V2 = 2V0 ; V4 = 0

ξ

2

O

⎛

V02 ⎞

W1= W02 ⎜ W0 +

⎟ ; W2 = 2 W0 ;

R ⎠

⎝

2



W3 =



⎛

V02 ⎞

W ⎜ W0 −

⎟ ; W4 = 0.

R ⎠

⎝



Hình 136



2

0



136. Máy nén khí với rãnh thẳng quay đều với vận tốc góc ω xung quanh trục O vuông

r

góc với mặt phẳng hình vẽ. Không khí chạy theo rãnh với vận tốc tương đối Vr = const .



122



Hãy tìm chiếu của vận tốc tuyệt đối, gia tốc tuyệt đối lên các trục toạ độ của những hạt khí

nằm tại điểm C của rãnh AB. Cho trước: rãnh AB nghiêng với bán kính 0C một góc 450 ;

OC = 0,5m ; ω= 4πs-1; Vr = 2m/s.

Trả lời:



Vξ = 7,7 m/s ;



Vη = 1,404 m/s ;



Wξ= 25754 m/s2 ; Wη= - 414 m/s2.

137. Hãy giải bài toán trên với trường hợp rãnh cong, nếu bán

kính cong của rãnh tại C bằng P, còn góc giữa pháp tuyến của

đường cong AB tại điểm C và bán kính OC bằng ϕ. Cho bán

kính OC = r.



Trả lời:



I



P

C

A

ϕ



B



O



Vξ = Vrcosϕ + r ω ; Vη= Vrsinϕ ;

Hình 137



⎛

V2 ⎞

Wξ= ⎜ 2Vrω − r ⎟ sinϕ ;

ρ ⎠

⎝

⎡

⎤

⎛

V2 ⎞

Wη=- ⎢ rω 2 + ⎜ 2Vrω − r ⎟ cos φ ⎥ .

ρ ⎠

⎝

⎣

⎦



123



Vr



ξ