CHƯƠNG III: CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG CỦA VẬT RẮN

Như ta đã biết:



dω

dϕ

= ε0 hay ω = ε0t +ω0 = ε0t và ω=

suy ra rằng:

dt

dt

2



2



ϕ=ε0 t + ϕ0 = ε0 t

2

2



Thay (d) vào (c) ta có: ϕ1 =



(d)



R+r 2

ε0t (*)

2r



Nhìn trên hình vẽ ta có: xA= (R+r)cosϕ ; yA=(R+r)sinϕ

Kết hợp lại ta có phương trình chuyển động của bánh xe nhỏ là:



ϕ1 =



⎛ t2 ⎞

R+r 2

ε 0t ; x A = ( R + r ) cos ⎜ ε 0 ⎟ ;

2r

⎝ 2⎠



⎛ t2 ⎞

y A = ( R + r )sin ⎜ ε 0 ⎟

⎝ 2⎠



54. Tay quay OA quay đều quanh trục O đi qua tâm của bánh xe răng khía cố định

bán kính R với vận tốc góc ω = const làm bánh xe răng khía nhỏ bán kính r lăn không

trượt bên trong bánh xe cố định. Lấy điểm A làm cực, lập phương trình chuyển động

của bánh xe động ?



Trả lời:



⎛R ⎞

− 1 ⎟ ωt

⎝r

⎠



ϕ1 = ⎜



x A = ( R − r ) cos ωt

y A = ( R − r )sin ωt



ω



A



O



r



ϕ



A



C

x



r

r



R



O



Hình 54



ϕ



C



r



B

x



Hình 55



55. Tay quay OC quay đều quanh trục O cố định với vận tốc góc ω = const làm thanh

AB của cơ cấu êlíp chuyển động. Lấy B làm cực lập phương trình chuyển động của

thanh AB nếu OC = AC = BC = r.



Trả lời: ϕ = ω0t ;



xB = 2rcosω0t ;



95



yB = 0.



II. Loại 2: Xác định vận tốc của điểm trên hình phẳng

56. Thí dụ.



Tay quay OA = 20cm quay đều với vận

tốc góc ω0A = 4π s-1 kéo theo thanh truyền

AB và cần lắc O1B chuyển động. Nhờ thanh

truyền CD một đầu nối với trung điểm C của

AB, một đầu nối với tay quay O2D mà tay

quay này được truyền chuyển động. Tại thời

điểm khảo sát: OA thẳng đứng, O1B = 400cm

thẳng đứng, góc OAB = 600, CD vuông góc

với AB, O2D = 10cm, CD = 20cm. Tính vận

tốc góc của các thanh : O1B ; O2D ; CD ?



A

C



VA

VC



ω0A



O



V CD



60

ω0



VB



O ω0 B



0



D



B



VD



1



2



D



VD



O



Hình 56



Bài giải



* Ta có:



VB= ω01B. O1B

VA= ω0A.OA

VA cos300 = VB cos300

ω01B =



VB

V

4π .20

= A =

= 0,8π s-1

O1 B O1 A

100



* VD= ω02D. O2D ; VC = VB = VA

r

r

r r

r

r

Vì VB = VA + VBA mà VA = VB nên VBA = 0 suy ra ωAB.AB = 0 mà AB ≠ 0 nên

ωAB = 0. Suy ra AB chuyển động tịnh tiến tức thời.

r

r

r

Do đó VC = VA = VB



Theo định lý chiếu vận tốc, xét hai điểm C và D thuộc thanh CD ta có:

VDcos300 = VCcos600

hay



80 3

cos 600

VC=

π

VD =

0

cos30

3



Mặt khác:



VD= ω02D.O2D . Suy ra

80 3

VD

ω02D=

= 3

O2 D

10



80 3

π s-1

3

r

r

r

* Tính ωCD : Lấy D làm cực ta có: VC = VD + VCD



Vậy:



ω02D =



96



r

Chiếu đẳng thức này lên phương VC ta có:

r

r

4π .20

VC = VCD cos300 . Hay VCD =

. Mặt khác ta lại có: VCD= ωCD.CD.

3

2

4π ..20.2

3

=8 π

3

3.20



Vậy ωCD =



s-1

K



57. Thí dụ:



A



V O 2 O2



B



VB

Vòng tròn bán kính r2 = 9cm lăn không trượt

trong vòng tròn lớn cố định bán kính r1 =

18cm. Vòng tròn động gắn bản lề với thanh

AB chuyển động trong rãnh K. Xác định vận

tốc của thanh AB khi ϕ = 450 nếu tay quay

O1O2 thực hiện chuyển động quay quanh O1 với n = 180v/p.



ϕ



O1



Hình 57



Bài giải



Vì thanh AB chuyển động tịnh tiến nên chỉ cần tính vận tốc của điểm B là đủ.

Vì ϕ = 450 nên 02B vuông góc với O1O2 và có thể áp dụng định lý chiếu vận tốc cho

hai điểm O2 và B thuộc bánh xe động: VB.cos450 = V02 (*)

mà V02 = ω0102. O1O2

Suy ra



V02 =



180π

9 = 54π . Từ (*) rút ra:

30



VB =V02. 2 = 54π 2 = 239,87 cm/s

58. Hãy xác định vận tốc góc của thanh AB, tay quay O1B của cơ cấu bốn thanh OA,

AB, BO1 và O1O ( thanh O1O cố định ). Tại thời điểm ϕ = 900, tay quay O1B thẳng

1

hàng với thanh OO1. Nếu OA = O1B = AB , vận tốc góc của 0A là ω = 3 s-1.

2



Trả lời :



ωAB = 3 s-1 ; ω01B = 5,2 s-1

O

α



A



β

A



O



β



B



ω

ϕ



D



A

B



O1



Hình 58



B



E



E

O2



O1



Hình 59



Hình 60

97



59. Trong cơ cấu như hình vẽ, tay quay OA quay với vận tốc góc ω0. Xác định vận

tốc 2 điểm B, E và vận tốc góc của tay quay BD tại vị trí khi α = 300, β = 600, còn



thanh BE thẳng đứng. Cho biết OA = AB = a ; BD = a 3 .

Trả lời:



VB = a 3 ω0 ; VE =



3

aω0 ; ωBD = ω0

2



60. Vận tốc góc của thanh O1A trong cơ cấu 4 thanh gắn bản lề là ω1. Xác định vận tốc góc

ω2 của thanh O2B theo ω1 và các khoảng cách O1D; O2E từ trục quay của O1A và O2B tới

then truyền AB.



Trả lời:



ω2 =



O1 D

ω1

O2 A

D



D



A



O



O



ω



E



A



ω



C



B



Hình 61



B



D



60O

A



E



Hình 62



B ωΟ

O



Hình 63



61. Các con chạy B và E của cơ cấu then truyền tay quay được gắn bản lề bằng thanh

BE. Tay quay chủ động OA quay với vận tốc góc ω = 12 s-1 và tay quay bị động OD

cùng quay quanh trục cố định chung qua O và vuông góc với mặt phẳng hình vẽ. Xác

định vận tốc góc tức thời của tay quay OD và then truyền DE tại thời điểm khi tay quay

OA vuông góc với phương các con chạy. Biết OA = 10cm; OD= 12cm; AB = 26cm; EB

= 12cm và DE = 12 3 cm.



Trả lời:



ω0D = 10 3 s-1 ; ωDE =



10 3 -1

s .

3



62. Một cơ cấu tay quay được gắn bản lề từ trung điểm C của then truyền AB với

thanh CD và sau đó thanh CD lại được gắn bản lề với thanh DE, thanh này có thể quay

chung quanh điểm E. Xác định vận tốc của thanh DE ở thời điểm cơ cấu được chỉ dẫn

như hình vẽ. Điểm B và E nằm trên đường thẳng đứng. Tay quay OA = 25cm, quay

với vận tốc góc ω = 8 s-1; DE = 100cm, ∠ (CDE) = 900 ; góc ∠ (BED) = 300.



Trả lời:



ωDE = 0,5 s-1.



63. Một cơ cấu được biểu diễn như hình vẽ. Góc giữa hai đường dẫn là 600. Tay quay

OA = r quay với vận tốc góc ω0. Xác định vận tốc của các con chạy B và D tại thời

điểm then truyền AB nằm ngang, BD thẳng đứng và tay quay OA song song với

đường dẫn của con chạy B.



98



3

3

ω0r ; VD =

ω0r.

3

6



VB =



Trả lời:



O2

A

C



O



O



30



O



D



4



60



ωΟ Α



A



O1



Hình 64



A2

B



C



B



1



ω



O



A1



A



3



Hình 65



Hình 66



64. Đoạn thẳng AB chuyển động trong mặt phẳng hình vẽ. Đầu mút A của nó luôn

luôn tựa trên nửa đường tròn CAD và thanh luôn đi qua điểm C cố định của đường

kính CD. Xác định vận tốc của điểm trên thanh trùng với điểm C của đường kính CD

ở thời điểm OA vuông góc với CD. Biết tại thời điểm đó điểm A có vận tốc VA = 4

m/s.



Trả lời:



VC = 2,83 m/s.



65. Tay quay OA = 20cm, quay trong một phút được n = 120 vòng, truyền chuyển

động cho then truyền AB và tay quay O2B bằng 60cm. Xác định vận tốc góc của tay

quay O2B tại thời điểm tay quay O1A có vị trí thẳng đứng và góc ∠ (O1AB) = 600 ;

∠ (ABO2 )= 300.



Trả lời:

B



ω02B =



B



C



.C

O



4 3 -1

πs .

3



A x



Hình 67



r



B

A



0.35m



Hình 68



ϕ O



A



Hình 69



66. Tìm vận tốc của con chạy B trong cơ cấu then truyền tay quay lệch tâm khi tay

quay ở 2 vị trí thẳng đứng và 2 vị trí nằm ngang. Tay quay OA = 40cm quay quanh O

với vận tốc góc ω = 1,5 s-1 ; AB = 200cm ; OC =20cm.



Trả lời:



VB1 = VB3 = 6,03 cm/s ; VB2 = VB4 = 60 cm/s.



67. Thước vẽ elíp AB = l, đầu A chuyển động dọc theo trục Ox, đầu B chuyển động dọc

theo trục Oy, đầu A của thước thực hiện một dao động điều hoà với phương trình chuyển

động là x = asinωt với a< l. Xác định giá trị vận tốc của điểm C, biết CA = m ;CB = n ; ω

= const.



Trả lời:



VC =



aω cos ωt

m 2l 2

+ l ( n − m)

l

l 2 − a 2 sin 2 ωt



99



68. Hệ thống truyền chuyển độngcủa một chiếc xe đạp bao gồm một xích bao quanh

đĩa A, có 26 răng và líp B có 9 răng. Líp B gắn chặt vào vành sau có đường kính bằng

70cm ; Xác định vận tốc của xe khi đĩa A quay hết một vòng mất 4 giây, còn bánh sau

C lăn không trượt trên đường thẳng ngang.



Trả lời:



V = 28,86 km/h.



69. Một đĩa lăn không trượt theo một đường thẳng với vận tốc V0 = const. Thanh AB

được gắn vào vành đĩa nhờ bản lề B. Tìm vận tốc nút A của thanh theo góc quay của

đĩa. Biết AB = l, bán kính đĩa là r.



Trả lời:



⎛

⎜

r sin ϕ

VA = 2V0 ⎜ 1 +

ϕ

⎜

l 2 − 4r 2 sin 4

⎜

2

⎝



⎞

⎟

ϕ

⎟ sin 2

2

⎟

⎟

⎠



70. Trong máy nổ dùng để chọn quặng, tay quay O1A quay đều xung quanh trục

O1 với n = 60 v/p. Nhờ AB truyền chuyển động cho tay quay O2B quay xung

quanh trục O2. Biết O1A = O2B = AB = 10cm ; O1O2 = 4cm. Hãy xác định vận tốc

của điểm B ở 3 vị trí của máy khi:



a) Điểm A nằm về bên trái trên đường kéo dài O1O2.

b) AB song song với O1O2.

c) Điểm B nằm về bên phải, trên đường kéo dài O1O2.

Trả lời:



VB1 = 44,9 cm/s ;



VB2 = 62,8 cm/s ; VB3 = 88 cm/s.



M3



A



M2



O1 O2



O V0



3



M4



M2



O V0



M4



B

1



Hình 70



Hình 71



u

M1



Hình 72



71. Bánh xe có bán kính R = 0,5m lăn không trượt trên một đoạn đường thẳng. Vận

tốc của tâm bánh xe không đổi và bằng V0 = 10m/s. Tìm vận tốc của một điểm nằm

trên đầu mút của 2 đường kính ( một đường kính nằm ngang, một đường kính thẳng

đứng ) của bánh xe là M1, M2, M3, M4 và xác định vận tốc góc của bánh xe.



Trả lời:



M1 là tâm vận tốc tức thời , VM1 = 0.

VM2 = VM4 = 14,4m/s; VM3= 20 m/s; ω = 30s-1.



72. Một con lăn bán kính R lăn không trượt trên mặt phẳng nằm ngang. Trên

phần trục ở giữa người ta cuộn sợi dây có đầu mút B của nó chuyển động với

r

vận tốc u theo phương nằm ngang. Xác định vận tốc V 0 của tâm con lăn và vận



100



tốc các điểm M1 , M2 , M3 , M4 của vành con lăn ( M1 M3 ⊥ M2 M4 ). Biết R = 0,5m

; r = 0,3m ; u = 4m/s.

I O

Trả lời: V0 = 10m/s ; VM1 = 0 ; VM2 = 14,02m/s ;

VM3 = 20m/s ; VM4 = 14,02m/s.



A



II



73. Tay quay OA dài 30cm quay xung quanh trục O cố định với vận

tốc góc ω0 = 0,5 s-1. Bánh xe răng khía II có bán kính r2 = 20cm lăn

không trượt trên bánh xe cố định I có bán kính r1 = 10cm và truyền

chuyển động tới then truyền BC dài 20 26 cm nhờ bản lề B. Xác định

vận tốc góc của then truyền BC, vận tốc điểm B, vận tốc con chạy C ở

thời điểm khi OA vuông góc AB. Biết O, A, C thẳng hàng.



B



C



Trả lời:ωBC = 0,15 s-1 ; VB = 21,2 cm/s ; VC =18 cm/s.



Hình 73



74. Bánh xe K bán kính 10cm và tay quay OA dài 20cm không gắn với nhau nhưng

cùng quay chung quanh trục O. Thanh truyền AB gắn chặt với bánh răng L có bán

kính 10cm, AB = 100cm. Bánh xe răng khía K quay đều trong 1 phút được n = 60

vòng và khớp với bánh xe L để truyền cho AB chuyển động. Cả cơ cấu đều cùng nằm

trong một mặt phẳng. Xác định vận tốc góc của OA tại 4 vị trí I, II, III, IV.



ωI =



Trả lời:

II



10

10 -1

π s-1 ; ωII = π s-1 ; ωIII =

s ; ωIV = π s-1.

11

9

A



A2 A



A

B



III



O



A3



I



O



K



A1



α



B

β

B



A4



IV



Hình 74



Hình 75



O1



II



O

I



Hình 76



75. Trong cơ cấu hành tinh Yatta tay quay OA quay xung quanh trục O với vận tốc

góc ω = 10 s-1. Trục O cũng là trục của bánh răng có bán kính R = 25cm. Thanh truyền

AB = 150cm gắn chặt vào bánh xe răng nhỏ có bán kính r = 10cm lăn bên trong bánh xe

răng nói trên. Tìm vận tốc góc của tay quay OA ở 4 vị trí khi điểm A trùng với các điểm

A1, A2, A3, A4.



Trả lời:



ω1 = 17,81 s-1 ; ω2 = 16,67 s-1 ; ω3 = 15,62 s-1 ; ω4 = ω2.



76. Cơ cấu Yatta gồm tay quay OA = 75cm quay quanh O1 với vận tốc góc ω0 = 6 s-1. Nhờ

then truyền AB truyền chuyển động cho tay quay OB quay xung quanh trục O. Cũng trên trục

này có gắn bánh xe I khớp răng với bánh xe II. Then truyền AB gắn chặt với bánh xe II. Xác

định vận tốc góc của tay quay OB và của bánh xe I tại thời điểm α = 600 , β = 900 ; AB =



150cm ; r1 = r2 = 30 3 cm.



101



ω0B = 3,75 s-1 ; ωI = 6 s-1.



Trả lời:



A



O1



α

β



O I



B



II A

III



II



O



O1



I



B



IV

Hình 77



Hình 78



77. Cũng như cơ cấu trong bài 76, nhưng bánh xe II khớp trong bánh xe I, bánh xe I có

bán kính r1 = 25cm, bánh xe 2 có bán kính r2 = 10cm ; O1A=30 2 cm ; AB = 150cm.

Tay quay OB quay với vận tốc góc ω = 8 s-1 quanh trục O. Xác định vận tốc góc của O1A

và bánh xe I khi α = 450 ; β=900.



Trả lời:



ω01A = 4 s-1 ; ωI = 5,12 s-1.



78. Một máy bơm nước có xi lanh đu đưa và có tay quay OA = 12cm. Khoảng cách giữa

trục quay của tay quay và trục đu đưa của xi lanh OO1 = 60cm , AB = 60cm. Xác định

vận tốc của pit tông ứng với 4 vị trí của tay quay như chỉ dẫn như hình vẽ. Biết vận tốc

góc của tay quay OA không đổi và bằng ω0A = 5s-1



Trả lời:



V1 = 15cm/s ;

V2 = V4 = 58,88 cm/s ;

V3 = 10cm/s.



79. Một hệ thống gồm 4 ròng rọc, người ta treo vào đó các tải trọng P1 và P2.

Hãy xác định:



a) Vận tốc của điểm thấp nhất của 2 ròng rọc I và II.



P1



b) Vận tốc góc của hai ròng rọc I và II.

c) Vận tốc V2 của tải trọng P2, biết rằng tải trọng P1 được hạ xuống

với vận tốc V1 = 12cm/s ; r1 = 6cm ; r2 = 9cm.

Trả lời:



a) VI = 4,24 cm/s ; VII = 9,49 cm/s



I



b) ωI = 0,5 s-1 ; ωII = 2 s-1

II



c) V2 = 3 cm/s



P2

Hình 79

102



III. Loại 3: Xác định gia tốc của điểm trên hình phẳng

80. Thí dụ



q



WBA



Một hình vuông ABCD có cạnh a = 10cm thực hiện chuyển A

động song phẳng trên mặt phẳng hình vẽ. Tìm vị trí tâm gia WA α

tốc tức thời và gia tốc các đỉnh C và D tại thời điểm đã cho.

Biết WA = WB = 10cm/s2 và hai gia tốc có phương và chiều

như trên hình vẽ.

Bài giải



α



WC

C



WD



y



* Tìm tâm gia tốc tức thời:

r

r

rh

rq

Lấy A làm cực ta có: WB = WA + WBA + WBA

(1)

rq

Giả thiết WBA từ C đến B. Chiếu (1) lên hai trục toạ độ ta có:



Hình 80



(2)



q

0 = WA − WBA



ε CW

α



D



h

−WB = −WBA



h

WBA WB

α B



(3)



h

q

Từ đó suy ra WBA = WB = ω 2 . AB và WBA = ε . AB = WA . Do đó ω 2 = 1 và ε = 1 . Điều đó

rq

chứng tỏ rằng chiều đúng của WBA là chiều hướng lên. Để xác định tâm gia tốc tức



thời ta áp dụng:

tgα =



ε

= 1 do đó α = 450

2

ω



10

= 5 2 cm

2

4

1+1

ε +ω

rq

Từ kết quả α = 450 ; ACW = 5 2 và chiều WBA có chiều hướng lên ta xác định được

ACW =



WA



=



CW là giao điểm của hai đường chéo hình vuông ABCD.

r

r

* Tính WD và WC :

WC = CCW ε 2 + ω 4 = 10 cm/s2

r

r

Chiều của WC được biểu thị trên hình vẽ: từ C đến B.Tương tự WD có chiều từ D đến



C và có trị số là:



WD = DCW ε 2 + ω 4 = 10 cm/s2



VA A



CW



WA



81. Thí dụ



l



r

ωο



103



O



VB



B α

B



x



Tay quay OA quay đều với vận tốc góc ω0. Hãy tìm gia tốc của con chạy B và gia tốc

góc của then truyền AB ở thời điểm khi ∠ (BOA)=900. Biết OA=r, AB = l .

Hình 81

Bài giải

r

* Tính WB : Vì con chạy B luôn luôn chuyển động dọc theo rãnh ngang nên gia tốc của



nó cũng có phương nằm ngang. Ta cần xác định chiều và trị số của nó.

r

Vì OA quay đều quanh O nên WA hướng tâm và: WA = WAn = ω02 .r .

Áp dụng định lí chiếu vận tốc cho hai điểm A và B của thanh AB tacó:

r

VAcosϕ = VBcosϕ ⇒VA = VB suy ra VAB = 0

Mà VAB= ωAB.AB = 0 Vậy ωAB = 0.

Do đó



tgα =



ε

=∞

ω2



suy ra α =



π



2

r

Ta xác định được CW và chiều cuả WB như trên hình vẽ.



WA

W

= B

ACW BCW



Ta có

* Tính εAB:



rút ra



BCW

r2

2

WB = WA

= ω0 2 2

ACW

l −r



Xét điểm A thuộc thanh AB, ta có:



q

WA = WAC = ε AB . ACW = ω02 .r

W



Do đó



ε AB =



ω02 r



=



ACW



ω02

l2 − r2



Chiều gia tốc góc là chiều ngược chiều kim đồng hồ.

82. Thí dụ



x

N



ε2



Bánh xe răng khía bán kính R = 12cm được truyền

chuyển động nhờ tay quay OA quay quanh trục O

của bánh xe cố định có cùng bán kính với bánh xe

răng khía nói trên. Ở thời điểm khảo sát, tay quay

có vận tốc góc ω0 = 2s-1 và gia tốc góc ε0 = 8s-2.

Xác định:

a) Gia tốc của điểm M nằm trên bánh xe động y

ở thời điểm khảo sát trùng

với tâm quay tức thời.

b) Gia tốc điểm N ( xem hình vẽ ).

Bài giải



104



ω2



A



q



Wn

A



WMA

M



εο

O ωO



h

WMA



q



W

NM



h

WNM

Wτ

A



r

Tính WM :



Hình 82



M là tâm vận tốc tức thời của bánh xe răng động.

r

r

rq

rh

WM = WA + WMA + WMA

Lấy A làm cực ta có:

r

rτ

Xét điểm A thuộc tay quay OA ta có: WA = WA + WAn



(1)



τ

WA = ε 0 .2 R ;



WAn = ω0 2 R



V A = ω0 2 R



Vì M là tâm vận tốc tức thời bánh xe động nên VA = ω2 .R

Vậy ω2 =



ε2 =



ω0 .2 R

R



= 2ω0 = 4 s-1



d ω2 d ⎛ VA ⎞ 1 d

1 d

VA =

(2 Rω0 )

= ⎜ ⎟=

dt

dt ⎝ R ⎠ R dt

R dt

d

= 2 (ω0 ) = 2ε 0 = 16 s −1

dt



Vậy (1) có thể viết lại như sau:

r

rτ r

rh

rq

WM = WA + WAn + WMA + WMA



(2)



Vẽ tất cả các véc tơ vế phải lên hình vẽ và chiếu (2) lên hai trục x, y ta có:

h

WMx = −WAn + WMA = −ω02 .2 R + ω22 .R



τ

q

WMy = −WA + WMA = −ε 0 .2 R + ε 2 .R



(3)

(4)



Thay giá trị bắng số vào (3) và (4) ta có: WMX = 96cm/s2 ; WMY = 0 cm/s2

r

Vậy: WM = 962 = 96 cm/s2 ; WM có chiều từ M đến A.

r

r

r

rq

rh

* Tính WN : lấy M làm cực ta có: WN = WM + WNM + WNM

(5)

Vẽ các véc tơ gia tốc ở vế phải của (5) lên hình vẽ rồi chiếu lên các trục toạ độ ta có:

h

WNx − WNM = 96 − ω22 .2 R = −288 cm/s2

q

WNy = −WNM = −ε 2 .2 R = -384 cm/s2



Vậy WN =



(−288)2 + (−384) 2 = 480 cm/s2



r

Dựa vào WNX, WNY ta biết được chiều của WN



105