CHỦ ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Phcìn 1: Mat phàntt



2. PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẢNG

Măt phăng (P) trong không gian Oxyz có phướng trình tông q u á t :

(P): Ax+By+Cz+D=0 với A2+B2+C2>0

nhận vectơ n (A, B, C) làm vtpt.



(1)



M ồt s ố trường hơ p đăc b iê t của p h ư ơ n g trìn h (1)

• Nếu D=0, m ặt phăng (P) đi qua gốc toạ độ.

•



Nếu A=0, B*0, o o , m ăt phăng (P) có dạng (P): By+Cz+D=0 sẽ chứa hoăc

song song với trục x'Ox. Thật vây, vtpt của (P) trong trường hdp này là

n (0, B, C), do đó: n . ĩ =0 <=> n -Lĩ <=> n vuông góc với trục x'Ox.

Vậy (P) song son^ với trục x'Ox.

Tương tự, mặt phăng ^P) có dạng (P): Ax+Cz+D=0 sẽ chứa hoặc song song

với trục y'Oy, m ặt phăng (P) có dạng (P): Ax+By +D=0 sè chứa hoăc song

song với trục z'Oz.



•



Nếu A=0, B=0, o o , m ặt pháng (P) có dạng (P): Cz+D=0 sè chứa hoăc

song song với trục x'Ox và y'Oy nên nó song song hoặc trùng với m ặt

phăng xOy.

Tương tự, mặt phăng (P) có dạng (P): Ax+D=0 sè song song hoặc trùng

với mặt phăng yOz, m ăt phăng (P) có dạng (P): By +D=0 sè song song

hoặc trùng với m ặt phăng xOz.

Đặc biệt các phương trình x=0, y=0, z=0 theo thứ tự là phương trình của

các m ặt phăng toạ độ yOz, xOz, xOy.



•



Nếu A*0, B*0, o o , D*0 thì bằng cách đăt a=- — , b=- — , c=- — ta đươc:

6

•

A

B

c

(P): £ + £ + £ - !

a



b



(2)



c



Phương trình (2) gọi ià phư ơ ng trình đoạn chăn của m ăt phăng (p).

•



Chia hai v ế của phương trình (1) cho M= V a: + B2 + c 2 . Khi đó, đặt

A A n

B _ c ^

D

A0- — Bn3 — C0- — D()= —

M

M

M

M

ta được: (P): AoX+B0y+CoZ+Do= 0 với Aổ + Bổ + C5 =1

Ị



/



f



(3)



Phương trình (3) được gọi là phư ơ n g trình p h á p dạng cùa m ặt phăng (P).



PHƯƠNG PHÁPCHUNG



Ta có:

[qua M0(x0,y0,z0)

[vtpt n(n1/n2/n 3)

a.



Phương trhứi vectơcủa m ặ tp h ã n g

Điêm M(x, y, z)€(P) o M ()M ln o



lị ị

M0M . n *=0



Ị V



b.

16



Phương trình tông q u á t Ciifi m ặ t ph ă n g

(P)7n1 (x-x0)+n 2(y-y0) K ( Z-*0) *0

• '■* ìn ẵ u



Ị

'



...»



(1)



( hu lie I Phương tnnh mjit plì.^n^



C hú ý :

1.



Mạt phăng (p) có vtpt ri (11 ,, n , n^), luôn ró đcỉiH':

(P): n ,x + n :y+n^z+m =0

Đẽ xác đ ịn h (P), ta cần đi XtH định m.



2.



Mạt phăng (P )//(Q ): Ax+By+Cz+D=0, luôn có dạng:

(P): Ax+By+Cz+E=0

Dê xác định (P), ta cần đi xả< định E.



Ví dụ 2: Láp phương trình tồng quát của mặt phăng (P) biết:

a. (P) đi qua điểm M (l, 3, -2) và nhận ri (2, 3, 1) làm vtpt.

b. (P) đi qua điểm M (l, 3, -2) và song song với (Q): x+y+z+l=0.

Giãi.

a. Ta có:

jquaM (U .-2)

Ịvtpt n(2,3,l)



2(x-l)+3(y-3)+z+2=0 <=> (P): 2x+3y+z-9=0.



Vậy phường trình tổng quát cùa mặt phăng (P) là: (P): 2x+3y+z-9=0.

b. Ta có:

íquaM (U ,-2)

' ; [(P )//(Q ):x + y + z + l =0

• Vì (P )//(Q ): x+y+z+1=0, có dạng: x+y+z+E=0.

• Vì M (í, 3,-2) e(P), ta có 1+3+2.(-2)+E=0 Cv E=0.

Vậy phương trình tông quát của mặt phăng (P) có dạng: x+y+z=0.

Bài toán 2 Lập pluíiTg trình măt ỊÌiàng (F) đi qua điêm M, , y,> và oó ựip vtLp la ă (&i,AyA^

và b

PHƯONGPHÁPCHUNG

Ta có:

qua M(x0,y 0,z„)



X = x0 + a J11 + bịt-,



(P): hai vtcp ã ( a ,. a %,a ,) o (P): y = y0 + a2tj + b2t2, (tị, t2eR).

ỉ. = /.() + ‘V j +

b(bj/ b 2/ b,)



( 1)



Phương trình (1) chính là phương trình tham sốcủa mặt phăng (P)

Ngược lại: nếu (P) có pỉhương trình (1), ta có nhận xét:

• Măt phăng (P) đi qua điêỉn Mofxjv y0/ z0).

•



Măt phăng (?) có căp vtcp ă (alr a2, a3) và b (bị, b2/ by).



Ví d u 3: Lập phương trìr\h tham số của măt phăng (?) đi qua điểm M (l, 3, 2)

vả c ó c ặ p v t c p là ã (2, - 1 , 2 ) v à b (3, - 2 , 1 ) .



Giải.



Ta có:

X= 1 + 2tj + 3t,

[qua M(l,3,2)

-----------(P):

'

r

^ ( p)- y = 3 - t/- 2 t*

Ịhai vtcpã(2,-l,2)& b(3,-2,l)

z = t 2 V 2 f { K t ,Q i i O C G ỈA HA INỤ!

Đo chính là phương trình tham số của mặt pháng (p).1



iiỉj.ụ,.v im .

17



u


í ặ ế



L



Phần 1: MAI phủny



Ví dụ 4: Lập phương trình tham sô của mạt phăng đi qua hai điếm A(4, -1, 1),

B (3,1, -1) và cùng phương với trục Ox.

Giai.

Ta có:

ỊquaA(4,-l,l)& B(3,1,- 1)

jquaA(4, - U )

' [cung phuongOx



Ịhai vtcp AB(-l,2,-2) & 0x(l,0,0)



X= 4 - t J + u

o ( P ) : • y = - l + 2 t, / ( t„ t 2€R)

z -1 -2 t,

Đó chính là phương trình tham sô' của măt phỉing (P).

— —



. .. —



-------------- IT —



— -- - - - - —n m r —



~ n i---------------- ■ ------------------------------------------------------------------------------------ —---------- — ------I M ------------ T



I ...................................................



■ ! ÌIIIIII—



I -------- — —



Bài toán 3: ĩh ư ơ n g ùùứì n ứ tp h ă n g (F) đ i qua 3 điếm A(xj, y v Zj), B(xy Ỵy Zo) và Cịxy yv 7ý



không thăng hảng Gốdạng;

_ _ _ _ _ _ _ _



PHƯƠNG PHÁP CHlỉNr,



Ta có thẽ lựa chọn m ột trong ba cách trình bày sau:

Cách 1: Áp dụng bài toán 2, thực hiện theo các bước:

Bước ĩ: Ta có AB, AC là một cặp vtcp của mặt phăng (P), ta được:

AB(x2 ~ x l,y 2- y 1/z2 - z 1)

AC(x5 - x 1/y3 - y 1/z3 - z 1)

Bước 2. Khi đó phương trÌẳih m ặt phăng (P) được cho bởi:

m íq u a Ă íx ,,^ )



(p):r[2 vtcp AB k

—



AC



Cách 2. Áp dụng bài toán 1, thực hiện theo các hước:

Bước 1: Gọi ĩị là vtpt của m ặt phăng (P), ta được: n =[ AB, AC ].

B ước2. Khi đó phương trình m ặt phăng (P) được cho bởi:



(Pvíqua



(vtpt n



Cách 2. Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Giả sử (P ): Ax+By+Cz+D=0

B ước2. Vì A, B, Ce(P), ta được:

AX| + Byị +CZ| + D = 0

A = k|D

A x2 ♦ By2 + Cz2 ♦ D = 0 => - B = k2D .

Ax* + By^ + Czj + D = 0

c =k

Bước 3: Khi đó:

(P): k 1Dx+k 2Dy+k:iDz+D,BS0 « (P): l^x+k-iy+kjZ+lK).



Chủ ỷ.

1.

2.

3.

tại



sử dụng cách 1 ta nhận được phương trình tham số của mặt phăng (P).

sử dung cách 2 , 3 ta nhận được phương trình tổng quát của mặt phăng (P)

P hương trìn h m ặ t p h ă n g theo các đoạn chắn. M ặt phăng (P) cắt trục Ox

A(a, 0, 0), trục Oy tại B(0, b, 0), trục Oz tại C(0, 0, c) có phương trình

(P ):Ị + J Ù 4 - 1 .

a



18



b



c



I



Ví du 5: Lập phương t r ì n h mạt pỉuiiy, đi LỊUcì bcì đk ‘111

a. A(l, l! 0), B(l, 0, 0) vã c ( 0 , 1 , 1)

b. A(1,0, 0), B(0,2,0) v à( Ịiựi.h).

Chìị

a.



Cáclì /: Ta có AB,AC la một v/.ìp v k p của mật pluìn^ (ĩ>), ta được:



!

Khi đó phương trình mặt phăn^ (P) được cho bời:

íX :

<=>



I



(P). y = I

/ = t,



t2

t ị,



(tị, t: eR)



Cách 2 Gọi lĩ là vtpt của mật phăng (P), ta đước:

n = [Ã B ,Ã C ]= (-l,0,-l)

Khi itó phương trình mặt pỉìáng (P) dược cho bời:



b.



Nhện xét ràng A, B, c theo thứ tư thuộc



bcì



trục toa độ, do đó:



(ABC): - + X + - =1 <=> (ABC): 6x+3v+7.-f»=0.

1 2

6

II.CÁC BÀI TOÁN C H Ọ N LOC



z



Bài 1 Gv>hai điẩìi A(l, 3); B((3,4>-1)

ktàìg gian G
a Vỉét Ị^iufclT£hình Iiiăit phảng (T) là tiling tnl' của AB.

b. Viêt phuttig mặt phảng (Q Ljua A, vuông $óc với (ĩ^ và vuồ! Ìg$ x với (yQz).

c Viêt phưtlig nứt phăỉng (R) LỊua A và sang saig với (ư).

BAI (Ỉ1AI

ả. Ta có:

Gọi I là trung điểm AB. Khi đó I có toạ độ 1(2, 3, 1).

Vlàt phăng (P) là trung trực của AB, khi đó:

[qua 1(2,3,1)



(PH



TS 11



[vtpt AB(2,2/-4)



° (p): 2(x-2)+2(y-3)-4(z-l)»0 o (P): x+y-2z-6=0,



Đó thính là phương trình tỏng quát của (p).

b. Ta có:

Vlăt phăng (yOz)=>nhận fi| (1, 0, 0) làm một vtpt.

vlạt phăng (Q) vuông góc với (yOz)

nhận iĩ I (1, 0, 0) làm một vtcp.

vlăt phảng (Q) vuông góc với (P) => nhân



AB (2, 2, 4) làm một vtcp.



"bây ràng n Ị, AB không cùng phương. Vậy

X= 1 + 1J + 2ti

° (Q):< y = 2t:

, tj, t2eR.

/ = 4t~

Đó chính là phương trình tham số của (Q).

19



Phán I: M at phàntt



c.



Ta có:

Măt phăng (R) qua A và song song với (P) =s> (R) nhân AB (2, 2, 4) làm

vtpt. Vây:

(R):



[qua A(l,2,3)



21



»(R):2(x-l)+2(y-2)-4(z-3)=0(R):x+y-2z+6=0.



[vtpt AB{2,2,-4)



Đó chính là phương trình tông quát của (R).



/



Bài2 (ĐHCĐ/chua phân ban-99): ViêtphutlTg trình mặt phăng tnnTgtnxcủdđoạntììăpg AB

vớiA£l,4);B(-l,A5).

HƯỚNG DAN GIẢI



™



Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm toạ độ trung điểm I là trung điểm của AB, bởi công thức:

..



_ XA + * B



XI = —



2—



„



Ya+Yb



/ yI - — 2—



T _ *A+*B



/ ZI - — 2—



Bước 2: Gọi (P) là m ặt phăng trung trực đoạn AB, k h i đó:

qua I

(P):

<=> (P): 6x+8y-2z+ll=0.

vtpt AB



Đó chính là phương trình tông quát của (P).

III.BÀI TẬP ĐÊ NG H Ị

Bài tâp 1.



Lập phương trình tham số của mặt phăng (P) đi qua M(2, 3, 2) và



có cặp vtcp là ã (2,1, 2) và b (3, 2,-1).

Bài tâp 2. Lập phương trình tham số của m ặt phăng (P) đi qua M (l, 1,1) và

a. Song song với các trục Ox và Oy.

b. Song song với các trục Ox và Oz.

c. Song song với các trục Oy và Oz.

Bài tập 3. Lập phươne trình tham số của các mặt phăne đi qua hai điêm

A (l,-1 ,1 ),B (2 ,1 ,1 ) và:

a. Cùng phương với trục Ox.

b. Cùng phương với trục Oy.

c. Cùng phương với trục Oz.

Bài tập 4. Xác định toạ độ của vectơ ii vuông góc với 2 vectơ ã (6, -1, 3) và

b (3,2,1).

Bàỉ tâp 5.



Tìm m ột v tpt của m ật phăng (P), biết (P) có căp vtcp là ẳ (2, 7, 2),



6 (3 / 2* 4).

Bài tâp 6. Lập phương trình tổng quát của m ặt phăng (P) biết:

a. (P) đi qua điểm M (-l, 3, -2) và nhận n (2, 3, 4) làm vtpt.

b. (P) đi qua điểm M (-l, 3, -2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0.

Bài tập 7. Lập phương trình tổng quát của các m ặt phăng đi qua 1(2, 6, -3)

và song song với các m ặt phăng toạ độ.

Bài tập 8. (ĐHL-99): Trong không gian Oxyz cho điểm A (-l, 2, 3) và hai mặt

phăng (P): x-2=0; (Q): y-z-l=0. Viết phương trình mặt phăng (R) đi qua A và

vuông góc với hai m ặt phăng (P), (Q).



20



CHUYÊN DẠNG

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHĂNG

I. K IẾN m ứ c C ơ BẢN

>



y



Bài toán 1: Tìm niộtcặp vkpcua niặt plỲíi(í 'VI ’trutv.



□



PHƯONíỉ PHAP( III N<»



a.



N ôít ĩĩhỉtphăng (P) cho dư ới íỉiìỉịíỊ thiìiìì sỏ

X =



x() + a ,t|



+



bịt2



(P): ' y = y« + a2*i + b2{2, (t|, t:eR).

7 = z0 + , + b-^ụ

thì một cặp vtcp của (P) là:

â(a I,



,a 3)



b ( b |, b 2, b 3)



b.



N ếu m ặt phă n g cho dư ới dạng tổng L/Ucìt

(P): Ax+By+Cz+D=0 với A:+B:+C:>0



( 1)



thì một cặp vtcp ã (aj, a-», a3) và b (b|, b:, bo của (P) được xác định bởi:

n ã = 0 (2)

- n.b = 0 (3) , trong đó n (A, B, C) là vtpt của (P).

ã//b



(4)



Đê tìm ả (a„ a:, a3) và b (bv b2/ bi) thoả mần (2), (3), (4) ta có:



-



Từ (2) o A a1+Ba2+Ca3=0



(5)



Từ (3) o A b1+Bb2-*'Cb3=0



(6)



Từ (5), (6) ta chọn ă (aj, a2, a 3)



v à b (bị, b 2,



b^) s a o



cho th oả



m ãn (4).



Vậy ta có một cặp vtcp của (P) là: ã (a,, a2, a,) và b (bị, b2, b3).

Chú ý. Ta có thê chọn ba điểm không thăng hàng A, B, c thuộc (P). Khi đó,

cặp vtcp cần tìm



là A B , A C .



Ví dụ 1: Tìm một cặp vtcp của các mặt phăng sau:

X= 1 + 11 + t->

a. (P):
, (tj, t2€R).

b. (P): x+2y+3z-5=0.

z = 1 + 3tj + t2

Giải.

a. Mặt phăng (p) có cặp vectơ chỉ phương lả:

ẳ(l,2,3)

b(l-*v»)

Các Em hoc sinh hãy tham gia học tập theo phương pha p " U y hoc trò làm truns. tâm "

Dưổi sự hỏ trơ cùa Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hổng Đúc và Nhà giáo ưu tú Đao Thiôn Khải phụ trách.



Phàn I



b.



Mat ph á n g



Mặt phăng (P) có một vtpt là: n (1, 2, 3).

Gọi ẩ (a„ a-,, a*) là một vtcp của (P), ta có: ã . n =0 a l+2a: +3aì=0

■ Ta đi tìm bộ ba thứ nhất (a„ a2, a 3) thoà m ãn (1)

Cho a3=0 thì (1) có dạng aị+2a*>=0



(1)

( 2)



Cho aj*2 thì từ (2) ta có a2*-l.

Ta được vtcp thứ nhât ã (2, -1, 0).

■Ta đi tìm bộ ba thứ hai (a|, a-V a 3) thoả m àn (1)

Cho a,=0 thì (1) có dạng a!+3a3=0

Cho a,=3 thì từ (3) ta có a3=-l.



(3)



=> Ta được vtcp thứ hai b (3, 0, -1).

N hận thây ã , b không cùng phương.

Vậy một cặp vtcp của (P) là:

íã(2,-l,0)



|b(3,0,-l)

Bải toán 2 Tim mộtvtptcủa mặt phăng (P)cho tmớc

PHƯƠNG PHÁP CHUNG



a.



N ê u m ặ t p h ă n g cho d ư ớ i dạng tông quát



(P): Ax+By+Cz+D=0 với A2+B2+C2>0

thì n (A, B, Q là vtpt của (P).

b.



N ếu Iììặ tp h ă n g cho d ư ớ i dạng tham s ố

X = x0 + ajtj + bjto

(P):

.....................

Khi đó vtpt n của (P) được xác định bởi:

/

\

a-, a J «3 al

a, a2

n = [ã ,b ]'

/

bị b j *>3 b, bj b2 /

V



ã(àì , a 2 , à ?í)



Í



C/u J



(P): 2x+y-4z-5=0.

X = l - 2 t , +3t,



b.



(P): y = 3 + 2tj - 3 t 2 , (t„ t2eR)

z = 2 + tj +2t,



Giải.

a. Mặt phăng (P) sẽ có m ột vtpt là: n (2,1, -4).

b. Mặt phăng (P) có m ột cặp vtcp là:

ịi<-2,2,ì)



Ịb(3,-3,2) '

Khi đó vtpt n của ( P) được xác định bởi:

n =[ã , b ] “ i I



22



-



H b ,,b : ,b ,)



9



a.



I



? 1 - n (7 ,7 ,0 ) .