CHỦ ĐỀ 6: HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Phàn ỊL D ư ở n u tháng tro n g kh ổn g uian



)



Ví du 2: Cho hai đường thăng (d|), (d2) có phương trình :

x + y + z - 3 = 0 (1)

X - 2y - 2/ + 9 = 0 (3)

(d.): y + z - 1 = 0

(2 )

y - z+1 = 0

(4 )

CMR (d|) và (d->) chéo nhau.



Giải’

Giải hệ phương trình tạo bởi (1), (2), (4), ta được : x=2, y=0, Z-1.

Thay X, y, z vào (4), ta được:

2-2.0-2.1+9=0 mẫu thuẫn.

Vây (dj) và (CÌ2) không có diêm chung.

Gọi a ã 2 theo thứ tự là một vtcp của đường thăng (dị) và (d j, ta có :



1 1 1 1 1 1

« ẵ , ( 0 , -1 , 1 )

9

1 1 1 0/0 1

-2 -2

/



1 -1



-2 1 1 -2 \

ã :(4 ,1,1)

-1 0/ 0 1 /



=> ã 1, ã <>không cùng phương.

Kết kuận: hai đường thăng (d,) và (d^) chéo nhau.



2 . ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG THĂNG C H É O

NHAU

Ta biết rằng (d) là đường vuông góc chung của (d|) và (lU)

fic O n id O -A M d W d ,)

|( d ) n ( d 2) 3 B & (t1)±(đ2) *

Bài toán 2 Gx> hai đường thăng (đj) và (it) chéo nhau. Vỉôt phưcng trình đường vuông gcc

chung của hai đường đó.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta lựa chọn một trong các phương pháp sau:

P tìư ơ ìigphấp 1: Thực hiện theo các bước:

Bước ĩ: Tìm ã ị, ã 2 theo thứ tự lả m ột vtcp của đường thăng (di) và (ti2).

Gọi ã là vtcp của đường thăng (d), suy ra:



Í



ẵJLd



,



, từ đây ta xác đinh đươc ả .



â_Lâ->



B ước2. Viết phương trình măt phăng (Pj) chứa (d) và (dj).

Bước 3: Viết phương trình mặt phăng (P,) chứa (d) và (d,).

Bước 4 :Phương trình (d) chính là giao tuyến của (Pj) và (P2).

Phương p h á p 2 (Nếu (dj) và ( d j đểu cho dưới dạng tham số/. Thực hiện theo

các bước:

Bước 1: Gọi AB là đoạn vuông góc chung của (dj) và ( d j (A 6 (dj); Be(d)).

Khi đó, toạ độ của A, B theo thứ tự thoả m ãn phương trình tham

số của (dj) và (d>). Từ đó suy ra toạ độ AB.



Chu IỊ0 (r H,>1 đươn}’ tlìttng ỊÍH‘() Ilhauy aJ. tWbtìi toan liên quan

Bước 2 ' l ừ điêu kiện

ÃBl(d,)

ÃBl(d: )

ta xác định được* toạ độ điêni A, B

Bước 3 :Khi đó (AB) chính là phương trình đường vuông góc chung của

(d.) và (^:)

PhươĩiiỊ p h á p 3 ^Nếu (dị), (d:) đìéo nhau và vuông góc với n h a u / Thực hiện

theo các bước:

Bước 1 : Dựng mặt phăng (Pị) thoả màn :

j(d i)c (P ,)

[(Pi) X (d2) ■



Bước 2; Dựng m ặt phăng (P:) thoa mãn :

f(a2) cr (P2)

|(P 2 ) X (d ! ) ■



Bước 3 : Phương trinh (d) chính là giao tu vén của (P|) và (P,).

Ví d u 3: Cho hai dường tháng (dị), (đ:) có phương hình :

/.IV. íX + y + - 3 = ơ

|y + z - 1 = 0



Jx - 2 y - 2 / + 9 = 0

|y - / + 1 = 0



Viết phương trình đường vuông góc chung của (dj), (d2).

Giải.

G ọi ã J, ã 2 theo th ứ tự là một vtcp của đường thăng (dị) và (cU), ta có:



1 1 1 1 1 1

= 5,(0, - 1 , 1 );

1 1 1 0 0 1

-2-2



1 -1



9



-2 1 1 -2

= ă :(4, 1,1).

/

-1 0 0 1



Gọi (d) là đường vuông góc chung của (dị) và (đ2), khi đó một vtcp ã của

(d) fchoả mãn:



-1 1 1 0 0 - 1

= ã (-2, 4, 4), chọn ẩ (-1, 2, 2).

1 1 14 4 1



Ịã lã ,

3J-â <>



Gọi (pj) là m ặt phăng chứa (d) và (dị), khi đó (Pị) có một vtpt n I thoả màn:

/

[n ,lầ

-1 1 1 0 0 -1 \

ị

=> n 1

2 2 2 - 1 - 1 2 >- n , K

[n 1l a 1

Khi đó phương trình m ặt phăng (Pị) được xác định bởi:

(p,): K



h



, ° (P|): -4(x-2)-l(y-l)-z-0 » (P,): 4x+y+z-9=0.



Gọi (p,) là m ặt phăng chứa (d) và (d:). khi đó (p^) có một vtpt n thoả mãn:

n .lẳ

rUJLa,



/



\

]! 1 4 4 1

2 2 2 - 1 -1 2 /

1



=3- n -»

X



n 2(0, -9, 9) chọn n 2(0, -1,1).



95



Phán II: D ưởng thànp tron g kh ỏn n gian



Khi đó phương trình m ặt phăng (P2) được xác định bởi:

: | v ^ . - U > ~ ( , y - -1



< -l)-0 -



(PJ: y z .



Ta có (d) là giao tuyến của hai m ặt phăng (P|) và (P2), có dạng:

ÍAV í - 4 x - y - z + 9 = 0

^



|y - 7 . - 1 = 0



Ví dụ 4: Cho hai đường thảng (dị) và (d2) có phương trình là:

-1 + 3t

3x - 2y - 8 = 0

( d ,) :|y — 3 - 2 t,( te R ) (d:):

5x + 2z -12 = 0

z =2 - t

X =



Viết phương trình đường vuông góc chung của (dị), (d2).



Giai.

Gọi ã



J,



ã theo thứ tự là một vtcp của đường thắng (dj) và (d2), ta có:

-»



ã A -2 , -1 ) ;



0 3 3 -2

0 2 25 5 0



-2 0



= ã 2(-4, -6 ,10) chọn ẵ 2(2, 3, -5).



Gọi (d) là đường vuông góc chung của (dj) và (<Ì2), khi đó một vtcp ă của

(đ) thoả mãn:

ãxãj

ã±ấ-»Vỉ



- 1 3 3 -2

3 - 5 -5 2 2 3



- 2 -1



ã (13,13,13), chọn ã (1,1,1).

/

,V

Gọi (Pj) là m ặt phăng chứa (d) và (dj). khi dó (P|) có một vtpt n I tl\oà mãn:

-



ín,lã



,



(.



1



1



1 1 1



l)



_



,,



„



_v



{ h IÍI, =• H4 - 2 - 1 - - 1 3 - 3 _ 2 J - s . d - 4 . - 5 ).

Khi đó, lấy một điểm A (-l, -3, 2)e(dj) thì phương trình m ặt phăng (Pj)

■

đượcir vár

xác ílinh

định Vvỉi'

bới:

íqua A(-l,-3, 2 )

o (Pj): x+4y-5z+3=0.

(P|)

1 ■ịvtpt

5)

Gọi (P2) là m ăt phăng chứa (d) và (d2). khi đó (P2) có một vtpt n 2 thoả mãn:

n->±ã

fu_Li->



n



1



1 1 1 1



3 -5



5 2 23



1



n : (-8 , 7,1).



Khi đó , iấy một điểm B(0, -4, 6 )€ (d 2) thì phương trình m ặt phăng (P2)

được xác định bởi:

qua B(0,-4,6)

(P2):

vtpt nj (-8,7,1)

Ta có (d) chính là giao tuyến của (Pj) và (P2), có dạng:

(d):



%



+ 4y - 5z + 3 = 0

- 8 x + 7y + z + 38 = 0

X



( lìù đó ('■ f Ị.n (.1 ư» 'Hr tilin g t'iioo nh Ui



ì I ác ÍMỊ toán hòn l ỊỊỊ.m



Chú ỷ . Cùng cỏ thỏ xác định phương timh mcit phãn^ (]*.) : ’Ăng cách:

VicỊt p h ă n g (P:) chứa (d ) :> (P^) thuỉV I hum tjo bờ'ì (tỉ ), ú) dạng:

(P:): 5x+2z-12+m(3x-2y-8)=0

co (r\): (5+3m)x-2my+2z-12-tfm=0.



(1)



khi đó (P2) cỏ một vtpt lĩ :(5+3m, -2m, 2).

Vlặt p h ă n g (P-,) chứa (d) rr> ri 2± ã Cv l i à =0 <=> 5+lm -2m +2=0 «c=> m=-7

Thay m=-7 vào (1), được (P:); -8x+7v+z+22=0.

Ví du 5: Cho hai đường thẩm; (dị) và (ũ,) cỏ phương trình:

IX= u 4 l

(d.): y = t + 2 va (d:): \ V- -3 4- 2u , (t, u tR ) .

z = 3t

/ = ^u + !

X = 2t + 1



Viết p h ư ơ n g trình đ ư ờ n g thăng vuông gòc chung của (cỉị) và (d*,).



Giải.

Gọi ă 1, ã 2 theo th ứ tự la vtcp của (dị) và (đ:), ta cỏ: a ị(2, 1, 3), ă 2('l, 2, 3).

Gọi AB là đ o ạ n v u ô n g góc ch u ng của (dị) và (d2) (A e(đj); B€(d)). Khi đó,

t oạ đ ộ của A, B theo th ứ tự thoa mãn phương trình tha nì số c ủa (dj) và (đ^),

tức là: A(2t+1, t+2, 3t-3); B(u+2, 2u-3, 3u+l)



AB(u-2t+l, 2u-t-5, 3u-3t+4).



T ừ điều kiện

ÍAB-L(d|)



A Bij =0



ỊA B l(đ2)



ÃB.ã, =0



^



|2 (u - 2 t + l) + 2 u - t - 5 + 3(3u - 3t + 4) = 0

| u - 2t + 1 + 2(2u - t - 5) + 3(3u - 3t + 4) = 0



t=



29



25

u =—



9



29

Thay t= — v à o p h ư ơ ng trình cùcì (dj) ta được A( — , — , —

Thay u= — v ào ph ư ơ n g trình của (dị) td được B( — , — , —



Khi đó, phương trình đ ư ờ n g vuồng góc chung của (dj) và (d 2) chính là

phương trình (AB), được xác đ ịnh bởi:

A,67 47 20.

qua A

(AB):



r — 2424 24 v

vtcp AB(-—

1

v 9

9 9



67

9

47

o ( A B ) : y = — + t ,teR.

9

X= — + t



3

Đ ó chính là phương trình đư ờ n g vuông góc c hung của (dj) và (d 2).



3. KHOẢNG CÁCH GIỬA HAI ĐƯỜNG THẢNG CHÉO NHAU

Ta biết răng khoảng cách giữa hai đường thăng chéo n h a u là độ đài của

đường vuông góc c h u n g của hai đ ư ờ n g thăng đó.

97



H iiin H: D ư c»ng th á n g tro iif. kh ỏ n ^ ị ạ n



""

*—— »

Bài toán 3: Cho hai đuùi^il Wills'll'

“



,.—



—



. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .



■ ,



V'rJ u uTtnhkhoeing cach giu> 1vú đuờmg d-áng đỏ. J



“ T ĩ ĩ r ũ ũ r . PĨTap c h u n g



Ta lựa cliọr ir^i

M' phương pháp sau:

P hươnr p h á t’ ’ •»r'o ' ítít đoạn vuông góc chung AB => AB=đ((d,), ( d 2)).

P hư oìir j.»ÌKềr n Líy iilén theo các bước:

b ư o\' J’ Lụp pluiơng trình mặt phăng (P) chứa (dị) và song song với (d2).

Bước 2. Lâv điểm Ag^Ij). Klii đó:

d((d,), (d 2))=d(A, (P)).

P hư ơ iĩgpháp 3: Thực hiện theo các bước:

Bước 1. Tìm vtcp

ã (aj, a*», a3) của đường tlìắng (dj) và một điêrn

A(x„ y„ z,)e(d,)

Bước 2. Tìm vtcp



b(bj, b2, b3) của đường thăng (d->) và một điểm



B(x2/ y y Z2) e ( d 2 ) .



B ư ớc3: Khoảng cách giửa (dị) và (d2) được xác định bởi công thuíc:

d((d,), (d 2) ) = i í ỉ s ^ i

Ví du 6 : Cho hai đường thăng (dị), (d:) có phương trình :

X=



X+ y = 0



1 + 3t



, teR.

(d,): x - y + z - 4 = 0 ; M2>: y = -t

z =2 +t

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (dị) và (d-,).



Giải.

Gọi ã I, ã 2 theo thứ tự là m ột vtcp của đường thăng (dj) và (d2)/ *a có:

/



1



0



- 1



1



0



1



1



1



/

V



1



1



1



- 1



\



= 3 ,(1 ,- 1 , - 2 ),



/

/



ã 2( 3 ,- l,l) .

Lấy A(2, -2, 0)€(d,) và B(l, 0, 2)e(d2).

Khoảng cách giữa (dj) và (d*.) được xác định bởi:

J// J V /1 \\



d((di)/ (« 2» *



I [ỉi|.H2 Ị.AB I



7



---- ■ - 7= •



l[aha2]l



V62



Ví dụ 7 (ĐHKTQD-98): Tính khoảng cách giữa hai đường thăng

X + 2y - z = 0

2 x -y + 3 z -5 = 0



Giải.

Gọi ã 1, ẵ 2 theo thứ tự là vtcp của (dj), (do), ta có:

ã 1(1, 2, 3) và ã 2( - l , l , l ) .



Cách l

Lây M (l, 2 , 3 ) 6 (11 ,) và N(2, -1, 0)€(d2).

Khi đó khoảng cách giữa (cỉị) và (d2) được xác định bởi công thứ c:



1 // J \ / 1 \ \ _ I [a|,a2].AB I __ 2



C hù đõ h: Hcìi ilư ớ n tt thctn^ (.heo nhciu và cjiic htìi tc an liOn qua 11



C áct 2.

G ịì (P) là mặt phàng chứa (d:) và song song với (đ|). Ta có:

■



(P) là mặt phăng chứa (d2) => thuộc chùm tạo bởi (tU) có d ạ n g :



(P): 2x-y+3z-5+m(x+2y-z)=0

<=> (P): (2+m)x+(2m-l)y+(3-m)z-5=0



0)



có vtpt n (2+m, 2m -l, 3-m).

■ (P )// (d|) o



n l ả <=> n . â J=0



co l.(2+m)+2.(2m-l)y+3.(3-m)=0 co m=- —

Váy (P): N+4y-3z+2=0.

Lấy điểni A(l, 2, 3)e(d|). Khi đó:

d((d,), (d 2))=d(A, (P))=



1 + 4.2-3.3+2 1



V I + 16+ 9



2



>/26 *



Ví du 8 : (ĐHTM-97): Cho hai đường thăng chéo nhau (d|) và (d2) có dạng:

X= 1



(d,):

a.

b.



X



= -3u



y = -4 + 2t và (d*>): y = 3 + 2u , (t,

z =-2

Z= 3 + 1



u g R).



Tính khoảng cách giừa (dj) và (d2).

Viết phương trình đường thăng vuông góc chung của (dj) và (đ2).



Giai.

Gọi ã



ị,



ã 2 theo thứ tự là vtcp của (dj) và (d2), ta có: ã j(0, 2, 1), ã 2(-3, 2, 0).



Gọi AB là đoạn vuông góc chung của (dj) và (đ2) (A<=(dj); B e(d2)). Khi đó,

toạ độ của A, B theo thứ tự thoả mãn phương trình tham số của (d|) và (do),

tức là:

A(l, 2t-4, t+3); B(-3u, 2u+3, -2) => AB (-3u-l, 2u-2t+7, -t-5).

Từ điều kiện

ÍARKd,)

|A B i(d2)



à B i j = 0_



t=l



A Bi: =0



u = -l



Ta xác định được toạ độ điểm A(l, -2, 4), B (3,1, -2). Khi đó:

a.

Khoảng cách giữa (dj) và (d^) chính là độ dài đoạn AB, được cho bởi:

d((d,), (d2)) *AB= ^(1 - 3): + (- 2 - 1 )2 + (4 + 2 )* =7.

b.

Phương trình đường vuông góc chung của (dj) và (d;) chính là phương

trình (AB), được cho bởi:

X = 1 + 2t

qua A(l,-2,4)

(AB):

_

,» ( A B ) : y = - 2 + 3 t ,teR.

Ịvtcp AB(2,3,-6)

z = 4 - 6t



99



Phan II: D ư ơ n ^ tháng tronẸ kh ỏ n ^ man



II.CÁC BÀI TO ÁN C H Ọ N LỌC

Bài 1 (ĐH NNI - CM): Chữ lvu đuờlig ttiăng (dj) và (dj) có fi iiftiTg tiiiil 1 là:



íx + 8 z + 23 = 0 (1)

1J:|y - 4 z + 10 = 0(2)



f x - 2 z - 3 =0 (3)

Ịy + 2/. + 2 =0 (4)'



a ơìúng tỏ răng (dị) và (d>)chéo nhau,

b. Tình khamgcáđi giũa (đ^ và (dj).

c Viêt phuttng trình mặt phănẹ (P) dìúì (dị), irổt phảng (Q) điúcì (d) sao eho (p)/ / ((Q).

d. Viêtphưtiig trình đuờngtỈTăng(d)songsciigvớiCfevàGătcảlvìi(cll) và (d^.



L



—



~



BAI GIAI



’



a. Ta đi chứng minh (d j)o (d 2)= 0 .

Xét hệ tạo bơi (2), (3)’ (4):

y - 4 /.+ 10 = 0

Z - 3 =0 => x= _—17,y=-- —14 , z=

„ 4- .

X - 2/

3

3

3

y + 2 z + 2 =0

Thay x,y,z vào (1 ) thấy mâu thuẫn.

Gọi ã j , ã 2 theo thứ tự là vtcp của (dj) và (cU), ta có:



0 8



8 110



1 -4 ' -4 0 ' 0 1

0-2



1



-2



= M - 8 , 4,1)



1 10



2 ' 2 0 '0 1



= ã 2 (2 , - 2 , 1 )



=> ã ì f ã2 không cùng phương.

Vậy (dj) và (đ2) chéo nhau.

b.



Tính khoảng cách giửa (dj) và (d2).

Lấy A(-23, -10, 0)e(dO va B(3, -2, 0 )e(đ :).

Khi đó khoảng cách giửa (dị) và (d2) được xác định bởi công thức:

\ế í Ằ w J \ \ —



*[ a | , a 2 ].A B I _ 118



IỊa|,a2 11

5V2

c. Ta có thê lựa chọn m ột trong hai cách sau:

Cách 7: Ta có:

■ Phương trình m ặt phăng (P)

[qua A(-23.-l0,0)



(P):



■



;"



[hai vtcp aj & a2



(qua A(-23.-l0,0)



<=> (P):



.-



» (P): 3x+5y+4z+119*0.

Phương trình m ặt phăng (Q)



(Q):



í qua B(3,-2.0)



\



_ o (Q ):



[hai vtcp ii| & a2



:



-



,



[vtpt n = [ H|. a2 ] = (3,5,4)



«.



í qua B(3,-2.0)



?



[vtpt n = Ị ah a2 ] = (3.5,4)



o (Q): 3x+5y+4z-l=0..

Cách 2: (P) chứa (dj) => (P) thuộc chùm tạo bởi trục (dj) có dạng

(P): x+8z+23+m(y-4z+10)=0

o (P): x+my+4(2-m)z+23+10m=0

khi đó (P) có vtpt n 1 (1 , m, 4(2-m)).

100



(1)



c'Im lit* h Hại đ u õng tlu \n g chiM>n il.ill \ I .1 1 '■>! (<)tìlì lion lỊUtUi



(Q chứa (^ỉ;)

(Q) tlìiiíV i l ui i n tạo 1nf 1 t! lỉi ( t i ,) ro IỈ,-:

(Q): x-2z-3+n(v+27. +2W) : :>(Q): \ IV. + ?(n-])/- ^ .Y

khi đt (Q) có vtpt li :(1 , n 2 (n-l)}.



d.



(2)



Tâ có:



■Gọi ( R ị )



Lì m ặtphãm ; (/?//;/ (liị)



I t? >()/?<;



M>/><; VC?/ O/



(R; chứa (clj) => (R.) thuội chùm mật phàng xác định bởi trục (d|) có d ạ n g

(R,): x+8z+23+a(y-4z+10)=0 cc> (R,): x+cW+4(2-a)z+23+10a=Ó

(3)

khi ctó(Rj) có v tp t ri ^(1, a, 4(2-đ)).

Vì ( R j ) / / O z CO n ,± O z co 4(2-a)=0 co a=2.



They a=2 vào (3), được (Rj) x+2y+43 = 0 .

■



G ọ i ( R J l i ì n i ặ t p h ă n g c l ì ứ í i ( J J v à S O IU ĩ s o n g v ớ i O z .



(R^Nchứa (cl->) => (R^) thuộc chùm mặt phăng xác định bởi trục (đ2) có dạng

(R:): x-2z-3+b(y+2z+2)=0 CO (R:): x+by+2(-l+b)z-3+2b=0

(4)

khi đó(R :) có vtpt n 4(1, b, 2(1 +b)).

Vì (R:) / / O z <=> n 41 0 z

2 (l+b )=0 » b=l.

Thay b=-l vào (4), được (R:): x+y-1 = 0.

Gọi (d) là giao tuyến của (Rị) và (R2), (d) có tiạng:

X + 2y 4- 43 = 0

X+ y - 1 = 0



Khi đó, (đ) chính là đường thắng song song vời Oz và cắt (dj) và (d-,).

Bài 2 (ĐHQG-94): Cho hai đuờng thing(dị) và (d.) cóphưohg trình:

X = 2t + 1

X=u + 2

(dị):«y = t -f 2 và(d:):
7. = 3t ^

/ = 3u ị ỉ

a

h

c



CMRluiđuờngthăn^ (dị) và (<Ị>)chéonhaiL

Tính khoảng cách giũi (dj) và (d).

Viêt phuthg trình đưừng tììăi^ VUỒIIggóc đun ìg tủa ỉìcii đường tìvSíìg (dj) và (d).



a. CMR hai đường thắng (dj) vả (d2) chéo nhau.

Cách ĩ. Chứng minh (d,) và (d^) không có điểm chung: xét hệ tạo bởi (ci1),(ti-,):

2t



+1



= u +



2



(1)



ít = - 1 / 3



- t 2 = -3 + 2 u (2 ), từ (1),(3) => \

, thay vào (2)thây MT.

u = -5/3

3t - 3 = 3u + 1 (3)

1

'

Vậy (d 1)o (d 2)= 0 .

Gọi ã J, ă •>theo thứ tự là vtcp của (dj) và

ta có: ã ,(2, 1, 3), ã 2(1 / 2, 3).

Vậy ã Ịvà ã 2 không cùng phướng.

Kết kuận: hai đường thắng (Jj) và (d:) chéo nhau.

101



PhẦn j | : tììHđữiL .tha lift tro n g kh ổ n g ttịạn



Cách 2. sử dụng tích hỗn tạp.

Gọi ẵ 1, ă 1 theo thứ tự là vtcp của (dj) và (d2), ta có: ã j(2 , 1 , 3), ã 2(1/ 2, 3).

Lây A(l, 2, -3)€(d,) và B(2, -3, l) € ( d 2).

Xét tích hỗn tạp của ba vectơ ã ị , ã 2 , AB (1, -5, 4) là:



2 1 3

D (ẵ ,, ã2, ÃB)= 1 2 3=24*0.

1 -5 4

Kết kuận: hai đường thăng (dj) và (d2) chéo nhau.

b. Lấy A(l, 2, -3)€(d,) và B(2,-3, l ) e ( d 2).

Khoảng cách giữa (dj) và (đ-,) được xác định bởi công thức:



4 //J \ /4 \\ _ ỉ(a|,a2].ABI _ 8

u((dj), (đ2))

1 =*■"-►

7= •

i[a,,a2]l

V3

c. Gọi (d) là đường vuông góc chung của (dj) và (d2), khi đó một vtcp à của

(d) thoả mãn:

1 3 3 2 2 1

ã ii j

= ã(-3, -3, 3).

v -2 -31 -3 -1 - 1 - 2 y

^

Gọi (Pj) là m ặt phăng chứa (d) và (dj). khi đó (P|) có m ột vtpt fi j thoả mãn:

1 -1 -1 1 1 1

rijla

= n , (4, -5, -1).

1 3 3 2 2 1V* “ y

n ,lâ

^11Ị

_i_a1

ỉĩ



Khi đó phương trình m ặt phăng (Pj) được xác định bởi:

íqua A(l,2,-3)

o (P,): 4(x-l)-5(y-2)-l(z+3)=0 o (Pj): 4x-5y-z+3=0

1 ’ Ịvtpt 0] (4,-5,-1)



Gọi (Pj) là mặt phăng chứa (d) và (d2). khi đó (Pị) có một vtpt fi thoả mãn:

2



in,l ã '

{ n jli, 0



_ f l -1 -1 1 1 ì ) _ '

V

3 ' 3 \ ' \ 2 ) "2 (5 ,-4 ,1 ).



Khi đó phương trình mặt phăng (P ) được xác định bởi:

2



M



T



. m v Ĩ d °



(Pỉ): 5(x' 2 H (y + 3 ) + 1(z ' 1)= 0 °



(P-): 5 x -4y +z-23=0



Phương trình (d) chính là giao tuyến củạ (Pj) và (PJ, có dạng:

í4 x - 5 y - z + 3 = 0

[5x -4 y + z -2 3 = 0

Đó chính là phương trình đường vuông góc chung của (dj) và (CI2).



Chú ý. Đê’ thực hiện câu 2, 3 của bài toán loại này ta nên sử dụng cách sau:

Gọi a J, ă 2 theo thứ tự là vtcp của (dj) và (d2), ta có: ã j(2 , 1 , 3), ã 2(1 / 2, 3).

Gọi AB là đoạn vuông góc chung của (dj) và (cU) (A€(dj); Be(d)). Khi đó,

toạ độ của A, B theo thứ tự thoả m ãn phương trình tham số của (dì) và (đ2),

tức là: A(2t+1,1+2, 3t-3); B(u+2, 2u-3, 3u+l) => AB (u-2t+l, 2u-t-5, 3u-3t+4).



Từ điều kiện

ABlidj)

ABlídị)

102



AB.ã] = 0

AB.cU = 0



Clin



=>



lit* t'v 11


thAijr



V



in Ị_ỊIIII,I , 1>,n Ivn tuan Ii£li iilhil}



2(u - 2t + 1)-f 2u - t - 5 + '’•Oil -M ị ị) 0

u - 2t + 1 + 2(2u - t - 5 ) f ^ O u M

n



Ỉ



2' f/L)



'li



? v c>



HI

Ji '

Ị’ _

'-I

jy| . . ,

), B(

). Khi đỏ:

I) ■>,

i) t)

chmh ỉ.) tó d,ii d o jn A ỉ\ Ju'oV cho bởi:

ếl/



í/



Tel Xcu đ ịn h đ ư ợ c toạ độ điòm A( - ,



9



Kho tìlift Cíich giữa (dị) va



-Ý . ( 1



đ((đ,), (d:)) =AB= | ( - 7- 9



Phương trhìlì dường



VUÔ11ÍỊ



L)



23r + ( 211



^



'



t;oc



()



d ìim íỊ



a id (d;)



Vcí



(li ọ chiiùì ld p h ư ơ n g



trình (AB), đư ợ c xác định bởi:

67 47 20

Mun A ( ^ - , y , y



(AB):



—



24



í f -=(% + 1



24 24



» (A B ):< V = '*% + ( t, R



vtcp A B (Ỉ- "' ,T

~ ,- =

' ?r )



Ị/ = 2% - t



Đó chính là phương trình đường vuông góc chung cùa (d() và (di).

Bài 3 (ĐHHH-%): Cho hai đuờng thăiig (d|), (d:)á) phuttig trình:

v v [2x + z - 2 = 0 (2) v J [2y - 3z - 4 = 0 (4)

a.



CMR hai đuờng thăng (đị) và (lỊ) dìéo nhau



b.



Tinh khoảng cách giừa (d,) và (d).

Viêtphubhg trình đườngvuỞTg góc chung của (dj) và (dj.



c



BÀI GIẢI



a. CMR hai đường thăng (dj) và (d2) chéo nhau.

Cách í. Chứng minh (dj) và (d2) không có điểm chung.

Xét hệ phương trình tạo bởi (1 ), (2 ), (3):

X- V + 1 = 0



2



1



10



_



2 x + z - 2 = 0 => x=- —; y= - ; z= — , thay vào (4) thây MT ==> (đ 1)n (d 2)= 0

4x - y + 3 = 0



Gọi ã !, ã “*theo thứ tự là một vtcp của đường thăng (dj) va (d->), ta có:

ă ,(-1 , - 1 , 2 ) và ã :(3 , 1 2 , 8 )

ã J,n 2 không cùng phương.

Kết kuận: hai đường thăng (dị) và (d:) chéo nhau.

Cách 2. s ử dụng tích hỗn tạp (bạn đọc tự giải)

b. Lấy A (0,1, 2 )€(dj) và B(-l, - 1 , -2 )e(đ:).

Khoảng cách giừa (d|) và (dn) được xác định bởi công thức:

d((d,), (d2)) =



.



I[a,.a2]l



V1301



c. Gọi (d) là đường vuổng góc chung của (dị) và (d2), khi đó một vtcp ă của

(d) thoà mân:

faJLa

_ ( 1 2 2 -1

\ - \)

„

r . => ã

,

.

= ã -32,14,-9).

J



|ã ± ã 2



-



-



12 8 8 3



3 12 J



Gọi (Pị) là m ặt phăng chứa (d) và (dị). khi đó (P|) có một vtpt n I thoả mãn:

in . l ã



K



_ (14 - 9 - 9 - 3 2 -32 14 1



= B\ - I



2' 2



-1-IÌ



„



] - S ,0 9 .7 3 .4 6 ) .

103



Phán 11 P ư ờ n e thăng tro n g kh ỏn t! gian



Khi đó phương trình m ặt phăng (Pị) được xác định bởi:

qua A(0,l,2)

<=> (Pj): 19x+73y+46z-165=0.

vtpt nj(19,73,46)



(P.):



Gọi (P:) là m ặt phăng chứa (d) và (d2). khi đó (Pn) có một vtpt fi 2 thoà miăĩn:

n : l i



^



,



f



14 -911

- 9 H - 9- - 3-2



12 81H

H 8

V

II



-



—

32 -14- \



3



3



12



= iĩ 2 (240, 229, -436).



/



Khi đó phương trình m ặt phăng (P^) được xác định bởi:

(P,): | qu_a

v '



[vtpt fi; (240,229,-436)



~ (P^): 240x+229y-436z+33=0

v '

}



Phương trinh (d) chính là giao tuyến của (P|) và (P-,), có dạng:

(d):



19x + 73y + 46z - 165 = 0

240X+ 229y - 436z + 333 = 0



Bài 4 (ĐH Huê/ A hệ phân baiv97): Cho hai đường (hăng (dị), (d^ có phuctig trình:

liv J x + y * z_ 3 = 0 „ . j x - 2 y - 2 z + 9 = 0

(dl):iy + z - l = 0

|y ~ 7 + 1 - 0



a.

b.



Chúng tỏ rằng hai đường tiìăng (đj) và (đo) vuông góc với nhau.

Viêt phưchg trình đường vuông góc đunig của (dj) và (it).



BÀI GIẢI

C hứng tỏ ràng h a i đư ờ ng thắng (dị) và ịd 2) vuông g óc vớ i nhau.

Gọi ã I, ã 2 theo thứ tự là m ột vtcp của đường thăng (dj) vả (d,)/ ta có:



a.



(1 1 1 1 1 lì

1 1 l 'l O 'O l



a ,( 0 , - l , l ) ,



1 2

-1 0 0 1



2 -2 -2 1



1 -1



Xét ã ].ã 2 = 0 .4 -l.l+ l.l= 0 , vậỵ (dj) và (1Ì2) vuông góc với nhau,

b. V iết p h ư o ììg trình dư ờng thẳng vuông góc chung của (dị) và (iỉy).

Cách 1.

Gọi (đ) là đường vuông góc chung của (dj) và (d2), khi đó m ột vtcp ỉ (Cua

(d) thoả mãn:

Íă-Lă, ^ . f - l



K



-



n



1 1 0 0



-1 \



* _



1 j = s <-2' 4- 4>'c h í , n s <-i - 2' 2>'



.



Gọi (P,) là m ặt phăng chứa (d) và (dj). khi đó (P,) có m ột v tp t í i ! thoả miãn:

in, l i ,



- f-1



1 1 0



0 -ĩ)



,



-



f- , “ = > n I

Ô 'Ô _ 1 ' _ 1 0 " S i ( - 4 / chọn

[nt l a

[ 2 2 2 - 1 -1 2J

„



f i j



(4,1,1)



Khi đó phương trình m ặt phảng (Pj) được xác định bởi:

(P.): | q“ ỉ . a u ) 0 (P'): 4(x-2)+l(y-l)+z=0 o (P,): 4x+y+Z-9=0.

Gọi (P2) là m ặt phăng chứa (đ) và (dj). khi đó (P,) có một vtpt n 2 thoả míãn:

rĩ2 -Lã?

- f 1 1 1 4 4l ì - /rknAV.- r

, “ =>n2

* = n 2 (0, -9,9) chọn fi 2 (0,1, -1).

n-> ± a



104



2



2 2 - 1 - 1 2