CHỦ ĐỀ 2: CHUYỂN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Phàn I



b.



Mat ph á n g



Mặt phăng (P) có một vtpt là: n (1, 2, 3).

Gọi ẩ (a„ a-,, a*) là một vtcp của (P), ta có: ã . n =0 a l+2a: +3aì=0

■ Ta đi tìm bộ ba thứ nhất (a„ a2, a 3) thoà m ãn (1)

Cho a3=0 thì (1) có dạng aị+2a*>=0



(1)

( 2)



Cho aj*2 thì từ (2) ta có a2*-l.

Ta được vtcp thứ nhât ã (2, -1, 0).

■Ta đi tìm bộ ba thứ hai (a|, a-V a 3) thoả m àn (1)

Cho a,=0 thì (1) có dạng a!+3a3=0

Cho a,=3 thì từ (3) ta có a3=-l.



(3)



=> Ta được vtcp thứ hai b (3, 0, -1).

N hận thây ã , b không cùng phương.

Vậy một cặp vtcp của (P) là:

íã(2,-l,0)



|b(3,0,-l)

Bải toán 2 Tim mộtvtptcủa mặt phăng (P)cho tmớc

PHƯƠNG PHÁP CHUNG



a.



N ê u m ặ t p h ă n g cho d ư ớ i dạng tông quát



(P): Ax+By+Cz+D=0 với A2+B2+C2>0

thì n (A, B, Q là vtpt của (P).

b.



N ếu Iììặ tp h ă n g cho d ư ớ i dạng tham s ố

X = x0 + ajtj + bjto

(P):

.....................

Khi đó vtpt n của (P) được xác định bởi:

/

\

a-, a J «3 al

a, a2

n = [ã ,b ]'

/

bị b j *>3 b, bj b2 /

V



ã(àì , a 2 , à ?í)



Í



C/u J



(P): 2x+y-4z-5=0.

X = l - 2 t , +3t,



b.



(P): y = 3 + 2tj - 3 t 2 , (t„ t2eR)

z = 2 + tj +2t,



Giải.

a. Mặt phăng (P) sẽ có m ột vtpt là: n (2,1, -4).

b. Mặt phăng (P) có m ột cặp vtcp là:

ịi<-2,2,ì)



Ịb(3,-3,2) '

Khi đó vtpt n của ( P) được xác định bởi:

n =[ã , b ] “ i I



22



-



H b ,,b : ,b ,)



9



a.



I



? 1 - n (7 ,7 ,0 ) .



( hi! do 2 Chuvi/n v-ỉan^ phưi


ị Bài hxín\ í huyổiphutlhgtrìiihtcỉ^qiutalì (FKu>;đạiì£thunisô

PHI o m ; PHAP niUN(i

Gici sứ m ặt phăng (P) có phương trin lì tong quát d ư ới dcing:

(P): A x+ B y+ C z+ D = 0 VỚI V * B :+( *>()

Đ ê c h u v é n p h ư ơ n g trình cu LÌ (p) Ncin^ LỈạng tham



(1)

'



íd ch ọ n m ộ t tro n g



c á c c á c h sau:



Cách Ị. Thực hiện theo các bưỏv sau

Bước /: Chọn ba điểm thuộc mạt phảng (ỉ5) bcHng várh:

Cho x=v=(), Um /., ta có đièm A

C h o x=z=(), tìm V, ta có điểm B.



Cho y=z=0, tim



X,



ta có điếm c .



Bước 2. Kiểm tra lạ i:" AB không cùng phương với AC

Bước 3: Viết phương trình tham số của (P) đi qua A và nhận AB,

làm cặp vtcp.



AC



Cách 2. Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1\ Tìm một điểm A thuộc (P).

Bước 2. Dựa vào bài toán 3 /b tìm một cặp vtcp của (P). Từ đó suy ra

được phương trình tham sô của (p).

Cách 3. Đặt x=f(t1), y=g(t2), thay vào (1), suy ra z=h(tj, t2).

Tập X, y, z chính là phương trình tham số của (P).

Ví d ụ 3: Chuyển dạng phương trình của (P): x+2y+3z-6=0 sang dạng tham số.

G iả i.

Cách 1\ Chọn ha điêm A, B, c mặt phăng (P) băng cách:

- Cho x^y^o, suy ra z=2, ta cỏ điòni A(0, 0, 2).

- Cho x=z=0, suy ra y=3, tacó điỏm B(0, 3, 0).

- Cho y=z=0, suy ra x=6, tacó điểm C(6, 0, 0).

■Ta có: AB (0,3, -2) và AC (6, 0, -2) —r* AB, AC không cùng phương.

■

Từ đó:

\ = 6t->

qua A(0,0,2)

, ( t ì f t2eR)

( P ):r '

—

— _

o ( P ): y = 3tị

hai vtcp AB(0,3,-2)& AC(6,0,-2)

z = 2 - 2t ị - 2t3

Đó chính là phương trình tham số của mặt phăng (P).

Cách 2 Lấy điểm A(0, 0, 2)e(P).

Mặt phăng (P): x+2y+3 z-6=0 có một vtpt là: n (1, 2, 3).

Gọi ã (aj, a 2/ a^) là một vtcp của (P), ta có: ẫ . n = 0 o a|+2a2+3aý=0

■



Ta đi tìm bộ ba th ứ nhất (aj, a2/ a^) thoả màn (1)

Cho a^=0 thì (1) có dạng a,+2a2=0

Cho aj=2 thì tử (2) ta có a,=-l.

^ Ta được vtcp thứ nhất ã (2, -1,0).



(1)

(2)



23



Phán 1: MtV. phÃn^Ị



■



Ta đi tìm bộ ba thứ hai (aj, a2, a3) thoả mân (1)

Cho av=0 thì (1) có dạng aj+3a^=0



(3)



Cho aj=3 thì từ (3) ta có a3=-l.

Ta được vtcp thứ hai b (3, 0, -1).

■N hận thấy ã , b không cùng phương.

Vậy ă ,

■



b là một cặp vtcp của (P)



Khi đ ó :

X = 2tj + 3 t 2

ỊquaA(0,0,2)

, (t„ t2eR)

(P ):r

:

r

« (P ): y =" ti

hai vtcp a(2 -1,0) & 0(3,0 -1)

z = 2 - 12



Đó chính là phương trình tham số của mặt phăng (P).

Cách 3: Đăt x=3tj, y=3t>, thay vào (1), suy ra z=2-tr 2t>. Ta được:

X = 3tj



y = 3t2

, (tj, t: eR)

z = 2 -tj - 2 t:

Đó chính là phương trình tham số của (P).

Bài toán4: Chuyên phưttTg trình tham sốcủa mặt phăng (P)về dạng lớng quát

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Giả sử m ặt phăng (P) có phương trình tham số dưới dạng:

x = x0 + a1t 1+ b 1t2

(P): - y = y0 + a,tJ + b ,to , tj, t2eR.

z = z0 + a3t Ị + b3t 2

Đế’ chuyển phương trình của (P) sang dạng tham số, ta lựa chọn Iĩìột trong

các cách sau:

Cách 1: Khử các tham số t|, t2 giữa các phương trình tham số trên.

Cách 2 Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Ta có ã (aỉ7 ay a3) và b (bj,



bj) là một cặp vtcp của (P).



Bước 2. vtpt n của (P) đươc xác đinh bởi: fi = *2

t 1 ' L1 ti

vv b 2 b 3 b 3 t>1

b

I

Bước 3: Lập phương trình của (P): đi qua M(xo, Ỵo, zo) có vtpt i ĩ .

Ví dụ 4: Cho m ặt phăng (P) có phương trình tham số:

X = 1 - 2tj + 3 u



(P):
z « 2 + tj + 2 t2

C huyển phương trừih tham số của (P) sang dạng phương trình tổng quát.

Giải.

Cách 1: Khử các tham số tj, t2 từ hệ phương trình tham số của (P) ta được:

x+y-4*0.

Vậy phương trình tổng quát của mặt phăng (P) là: x+y-4=0.

24



( h u dó 2 ( IniNvn J. iid : [ 'hư' 'lit;



tnnh W.M plU n n



Ccii li 2.



Mạt p h ả n g (P) c ó

p (-2 ,2 ,l)



m ộ t I lip v t c p



1.1



I b(3,-3,2)



Khi đó vtpt n của (P) đ UXK cho bơi:

/

2 1 1 - 21 - 2 2

n = [ã , b]=

n (7, 7, 0), chon ri (1,1, 0).

vV - 3.w2 2c 3.1 1I 3, --3^ >J

9



■



Khi đó:

^ [qua M il,3,2)

p)-i . - ' ;o (P ):x -l+ y -3 = 0 o (P ):x + v -4 = 0 .

v ; [vtpt 11 (1 , 1 ,0 )

v '

•



v ''



Vậy phương hình tổng quát của Iiìăt phăng (P) la: x+v-4=0.

II.CÁC BÀI TO Á N C H Ọ N LỌC

Bài 1 Lộp ỊTỈìUũhgtành thain sốvà phưtt ìg trình \LXìg quát a u lìvỊt pỉứiìg (T) đi qua A(3,4, -5) và

oócặpvteplà ă (3,1,-1) và b (1,-2,1).

BÀI GIẢI



■



~™



Ta có:

[qua A(3,4,-5)

(p):



o (P ):

hai vtcpa(3,!,-!)& b(l -2,1)



X = 4 + 3t ị + u



(1)



y = 4 + tj - 212

/ = -5 - tị + t :



( 2 ) , ( t 1/t2€R)

(3)



Đó chính là phương trình tham sô của mặt phăng (P).

Từ (2) và (3) ta tính được

1 *1 -



y 2z 6



Ị t 2 = -y - z - 1



v£ơ /|S

ay



v



j ược: x+4y+7z+16=0.

v



'



Đó chính là phương hình tông quát của mặt phăng (P).

Bài 2Trong không gian Ocyz, cho hi điẢmA(1AU); Bfl2ífcC(2ft2).

& Vỉêt phưciTg trình tham sỏ mặt

(ABC),

h Viêtpỉìiiaigiáìgquátcủa mătplìãiig(AĐC).

”



a



BÀI C.IẢI



Phương trình tham số mặt phăng (ABC)

• Ta có:

X = 1 - t, + t2

íquaA(lAO)

(ABC):

ỊỊỊ

O(ABC): y = 2tj

,( t„ t2€R)

2 vtcp AB(-1,2,0)& AC(1,0,2)

/ = 2ụ



Đó chính là phương trình tham số của mặt phàng (ABC),

b.



Phương tổng quát của mặt phăng (ABC)



Cách 1: Từ phương trình tham số của (ABC)

■



Thay phương trình 2, 3 vào 1, ta đươc x=l- —y + - z o 2x+y-z-2=0.

2

L.

Đó chính là phương trình tổng quát của (ABC).

25



Phàn í: Mat phảng



Cách 2 Gọi fi là vtpt của (P). Khi đó:

n = [ ã ,b ]=



2 0 0 -1

0 2 2 1



-1



2



1 0



- n (4, 2, -2)



Khi đó:

(ABC): | qua A(1'0,0) o (ABC): 2x+y-z-2=0.

v

’ Ịvtpt n(2,l,-l)

v

’

y

ĐÓ chính là phương trình tông quát của mặt phăng (ABC).

Cách 3: Phương trình tông quát của (ABC) có dạng: ax+by+cz+d=0.

■ Vì A, B, c nằm trẽn (P) nên ta có hệ:

a+d = 0



2b + d



= 0



2a + 2c + đ = 0



a = —li

=> « b = - d / 2 .

[c = d / 2



Thay a, b, c vào (1) được: 2x+y-z-2=0.

Đó chính là phương trình tông quát của (ABC).

Cách 4: sử dụng tích hỗn tạp.

M(x, y, x)e(ABC) <=> D( AM, AB, AC)=0

o



X- 1 y z

0 -1

2 0

-1 2

z = 0 o 2x + y -z-2= 0 .

(x -l) +

- 1 2 0 =0 <=>

•y

+

0 2

2 1

1 0

1 0 2



Đó chính là phương trình tổng quát của (ABC).

Bài 3 Viáphưt*E trình tham sốvà 4ỐỈngquát của mặtphẳng (P)

a QìúaOxvàđiquaA(l/*i3).

b. GiifcOyvadiquaBflA-Z).

c Chúa Cte và đi qua (1(1,0,-2).

BÀI GIẢI



a.



Mặt phăng (P) chứa Ox => Oe(P) và (P) có một vtcp là ã (1,0, 0). v 7ậj:



■



Phương trìiĩỉĩ thà 111 sô '

'x = t , + t 2 (1)



íqua 0(0,0,0)

(P):<

^ —

o (P): y = -2 ụ

[hai vtcp ă(l,0,0)&OA(l,-2,3)

7. = 31 2



Đó chính là phương trình tham số của

■



(2) , t „ t 2€R.

(3)



mặt phăng (P).



Phương trìiứì tông qu át



Cách 1: Khử các tham số tj, t2 giửa các phương trình tham số trên.

Từ (2), (3), ta được 3y+2z=0.

Đó chính là phương trình tông quát của (P).



26



(1)



Ch u



Ccìi /ì 2.



vtpt c ủti (P) Khi đó:

0 0 0 1 1 ()Ị

n (0,

lì =

-2 3 3 1 1 - 2i



Ị t ò 2 : ( h u V Ò I ) Vi


m f l j t p h ^ n> *.



Cj Ọ! li 111



-2)



Khi đỏ



( P ) : f c T M, ).

'



;



3



v



+2x=0



ìv tp t 1Ì(0,-.V 2)



1)6 chính là phương trình tony; LjUcit cùa (P)

Cách



sử dụng tích hỏn tạp



M(x, y, x)e(P) o D(OM(a,OA)=0

X

CO



y /



1 0



0 = 0 o



1 -2 3



0



10 1



0



-2 3



y +



N+

P



1



11



0 1

n

/ =0o

11 - 2



(*)



Đó chính là phương trình tổng quát của (P).

b. và c. làm tương tự câu a.

Bài 4 Viêt phưctìg trình tham sỏ và tờng LỊiút của mật plttiig (P) đi CỊILÌ A(l, 0,1); B(2, 1, 2) và

viỉông góc với mặt phăng (Q): x+2y+3z+3=0.

BÀI GIẢI

Vectơ AB (1,1,1) là một vtcp của (P).

Gọi r i I là vtpt của (Q) => n I (1, 2, 3) củng là một vtcp của (P).

N hận thấy rằng AB, lì Ị klìồng cùng phương.

Phương trìiìh tlicim sÔ LUcì (P)

X = 1 + t I + t->



(1)



íquaA (lA l)

(2) , (tẳ, t2eR)

(PH

'

—

„ ~ ( p): y = 2tj + u

hai vtcp n,(l,2,3)&AB(1,1,1)

/ = 1 + 3tj + u (3)

•



Phương trình tồng LỊuátciuì (P)



Cách h Khử các tham số t„ t: giửd các phương tỉ ình tham sô của (P).

Lấy (l)-(2) suy ra x-y=l~tj

Lấy (2)-(3) suy ra y-z=-l-tị



(4Ì

(5)



Lây (4)-(5) suy ra x-2v+z=2 o x-2y+z-2=0.

Đó chính là phương



tr ìn h



tông quát của (P).



Ciich 2. Gọi n là vtpt của (P). Khi đó:

2 3 3 1 1 2

= rì (-1,2, -1)

lì =

1 1 1 1 11

Khi đó:

(P):



~ (P): (x-1)-2 y +(z-1)=0 ~



x-2y+z-2- 0.



Đó chính là phương trình tổng quát của (P).

27



Phán 1: M at g hfln g



Cách 3: sử đụng tích hỗn tạp.

M(x, y, x)€ (P) <=> D( AM, n ị, AB )=0

X- 1 y z - 1

<=> 1 2 3 * 0 »

1 1 1



2 3



1 1



( x - l) +



1 2

(z - 1) =0

y

+

1 1

1 1



3 1



<=> x-2y+z-2=0.

Đó chính là phương trình tông quát của (P).

Bài £ (ĐHDLr97):Viêt phuttTg trình đìtim số và tâng quát của mặt phăng (P) chúa gốc taạ độ và

vuông góc với hai mặt phàng cỏ plutohg trình (PJ: x-y+z-7=0và (R): 3x+2y-12z^3=€.

~~



BÀI GIẢI



—



—



~



Gọi fi| # ÍÌ2 theo thứ tự là vtpt của mặt phăng (Pj), (PJ, ta có:

n |( l , - l , l ) ; n2 (3, 2, -12).

Gọi (P) là mặt phăng chứa gốc toạ độ và vuông góc với (Pj) và (P2)

Phương trình tham sô

X = t J + 3t2



Í4ua0(0.0 0)

v ' Ị hai vtcp nj(l,-l,l)ổc n2(3,2,-12)

•



v }



(1)



y = -tj+2t2



(2 ) , tj, t 2e R



z = t| - 1 2 t 2



(3)



Phương irìiứt tổng qu át



Cách 1: Klìử các tham số tj, t2 giữa các phương trình tham số trên.

Láy (l)+(2) suy ra x+y=5t2



(4)



Lấy (2)+(3) suy ra x+z=-10t2



(5)



Thay (4) vào (5), ta được x+z=-2(x+y) o 3x+2y+z=0.

Đó chính là phương trình tổng quát của (P).

Cách 2 Gọi fi là vtpt của (P). Khi đó:

-1 1

1 1 1 -1

n=

= 11(10,15, 5)

2 -12



12 3



3



2



Khi đó:

(P):



qua 0(0,0,0)

vtpt í i(2,3/ l)



o (P): 3x+2y+z=0.



Đó chính là phương trình tổng quát của (P).

Cách 3: sử dụng tích hỗn tạp.

M(x, y, x) g (P) « D(OM,a, OA )=0

X y



o



1 -1



z

1 =0 0



3 2 -12



-1



1



2 -12



X+



1



1



-12



3



V+



Đó chính là phương trình tổng quát của (P).



28



1 -1

3



2



.z =0<=> 3x+2y+z=:0.



c h u



III. T ổ N G

1’H Ả N G



lir 2 ( _hu\vn J.mj,: p liưưne trin h mat phflnt!



KẾT PH Ư Ơ N G PHÁP 'MKT m ư ơ N C



T R ÌN H M ẶT



t r o n g k h ô n c ; C !A N



Bài tnán: Lập phudhg trình niặtỊÌVÍIK
a.

Dờ Xcíc dịiìh phương trình thcìm Sí3 cùiì lìhìt /ì/hĩm; (Pỳ. nêu (P) đ ã cho

d ư ớ i d ạ n g tôn g quát thì chuyên (P) về ilọni; tinim số con không thì thực hiện



theo các bước sau:

Bước 1: Xác định một điếm Mj)(x0, v0< 7,,)e(p).

Bước 2. Xác định một cặp vtxp ả (a,, ả2' a^) va b (bị, b2, K) của (P).

Bước 3: Ap đung bài toán 2.

C hủ ỷ . Một m ặt phăng sè co vô sỏ phường trình tham số, bởi nó đi qua vô sổ

điếm và có vô sỏ cặp vtcp.

b.



Đ è x á c đ ịn h p h ư ơ n g tỉhìJì tỏỉìL; iỊLLit cùcì m ậ t phÀiiíỊ (P)\ nếu (P) đà cho



dưới dạng tham số thì chuyên (P) về dạng tông quát còn không thì thực hiện

th e o c á c b ư ớ c sau:



Bước 1: Xác định một đieni M0(x(), y,„ z0)e(P).

B ư ớc2. Xác định vtpt ri (ìiị, 112, nO của (P).

Bước 3: Áp dụng bài toán 1.

C hú ý .

■ Một mặt phàng có duy nhất một phương trình tổng quát.

■ Trong trường hợp biẽt cặp vtcp ã, bcủa (P) muốn có phương trình

tổng quát của (P) td sừ dụng tích hỗn tạp:

M(x, y, x) g (P) co D(MoM,ã,b)=0.



(2)



Từ (2) ta có được phương trình tông quát của (P).

c.

P hương tà n h m ặ t phăng (P) tỉi LỊUcì 3 diêm : A(xj, y Ịt Z,) , B(x2, y:, z2) và

C(xv yv Z3) không thăng hàng có dạng:

*1 yi «1

x2 y2

.(z -z ,)= 0

(P): x2 y2

=0 o (P): >': z: ( x - x , ) +

(y-yi) +

/i X*3 y 5

Vì /ì

*3 y 3 z 3



d. Phương trình m ặ t phăng theo Ciiy (loạn íihín: mặt phăng (P) cắt trục Ox

tại A(a, 0, 0), trục Oy tại B(0, b, 0), trục Oz tại C(0, 0, c) có phương trình



e. Phương trình chuân tắc Ctỉcì m ật phăng: Giả sử p>0 là chiều đài đường

vuông góc OH hạ từ gốc toạ độ lên mặt phăng (P); giả sử cosax/ coscty, cosaz

là cosin chỉ phương của vectơ O H , khi đó phương trình chuẩn tắc của mặt

phăng (P) có dạng:

(P): x.cosax+ y.cosav+ zcosaz-p=0



29



Phán 1: Mat phàng



IV.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài tâp 1. Tìm một cặp vtcp của các mặt phăng sau:

X =



a.



1 + 11 + t



1 2

2t| + t2

ụ

, (t|, t: eR).

(P): y = 2tị

/. = l + 3t, + ụ



b.b.



(I x-2y-l=0.

(P):



c- (P):

ơ x+4y+7z+16=0.



Tìm một vtpt của các mặt phăng sau:

x«l +t , +t 2

b (ĩ

k (P): x-2y-l=0.

\r

—

Ik

f

£

Z

ĩ?\

(P )'' y = I + 12

/ (ti/ ti€R).

z = 1 + 3t 1 + 12

c- (P): x+4y+7z+16=0.



Bài tập 2.

a-



Bài tâp 3. Chuyên dạng phương trình tổng quát của (P) sang dạng phương

trình tham số trong các trường hợp sau:

a. (P):

x+2y+3z-12=0.

c. (P): x+2y-4=0.

b. (P):

3x+2y+z-6=0.

d. (P): 2y+3z-6=0

Bài tâp 4. Chuyến dạng phương hình tham số của (p) sang dạng phương

trình tông quát trong các trường hợp sau:

X= 1 -tj +t2



a.



(P):
z = 2t 2



Bài tâp 5.



X = 1 + 1| + ti



,(tj, t2€R).



b. (P):



y = 2 t,+ t:

,(t„ t: eR).

z ~ 1 + 3t| + 1-*



Cho mặt phảng (P) có phương trình tham số:

X = - 1 + tị



(P): «y = 2 + ụ ,(tẳ, t2€R).

z - 3 - to



a. Lập phương trình tổng quát của (P).

b. Lập phương trình tông quát của mặt phăng (Q) đi qua điếm A (l, 2, 3)

và song song với (P).

Bài tập 6. Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của m ặt

phăng (P) trong các trường hợp sau:

a. Đi qua điêYn A(0, -1,4) và có cặp vtcp lả ã (3, 2,1) và b (-3, 0,1).

b. Đi qua hai điểm B(4, -1,1), C (3,1, -1) và cùng phương với trục Ox.

Bài tập 7. Cho tứ diện A BCD CO A(5, 1, 3); B(l, 6, 2); C(5,0,4), D(4, 0, 6).

a. Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát các mặt phăng

(ABC), (ACD), (ABD), (BCD).

b. Viổ't phương trình tham số và phương trình tổng quát m ặt phăng (P)

đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD.

Bàỉ tâp 8. Viết phương trình tham số và tổng quát của mặt phăng (P)

a. Đi qua ba điểm A (l/0,0); B(0,2,0);0(0,03).

b. Đi qua A(l, 2, 3), B(2, 2, 3) và vuông góc với (Q): x+2y+3z+4=0.

c. Chứa Ox và đi qua A(4, -1, 2).

d. Chứa Oy và đi qua B(l, 4, -3).

Bài tập 9. Cho hai điểm A(3, 2, 3y, B(3, 4,1) trong không gian Oxyz.

a. Viết phương trình m ăt phăng (P) là trung trực của AB.

b. Viết phương m ặt phăng (Q) qua A, vuông góc với (P) và vuông góc

với (yOz).

c. Viết phương mặt phăng (R) qua A và song song với (P).



CHƯ DẺ 3



VỊ TRÍ TƯƠNG DỔI

CỦA ỈỈAI MẢT PHẢNG

K IẾ N T H Ứ C c ơ BẨN

Bài ti Ú n. Vị hí tudlTg đỏì ciki 1ui niàt \i VII yr

p n r o M i |>HAIM ỈU \<;



Cho hai một phăng

(Pị): AjX + B|y+C|Z+D|=0 t ó một tpt ri (Aj, Bị, Cị).

(I\): A :x + B->y+C\z+D.=0 co mót \’tpt 111 (A., B,, c ).

O n cữ vao sỏ đ ư ờ n g thăm ; iunu; i'll tì (P|), (p ) tcì co 3 truoiu; h ọ p sau:

V.



a.



(Pj) và (py UiôiìíỊ có LỶitoni! t/hhiiỊ chum?, til nói (Pị)// (P-).

V ậy ( P , ) / / ( Pj) o ^

A-.



^ = C-::

(ti.v la n / / m và (P ,)n ( I\)= 0 )

U-. c -V D-,



C hủ ý: K h o ả n g cách el t; iũ cì hai mặt plìãm; song song voi n h a u

(Pj): Ax+By+Cz+D,=0 và (P:) :Ax+Bv+Cz+D:=0

Dị - D:



đước cho bởi công thức: IỈ=

J



b.



\ :: - Ĩ3: + e :



a



H ải m ặ t p/hìiHỊ ( P ị ) V*1 (P-J chi có m ột tỉiĩửmĩ thiim; clìunq ( có hai

d iê m c h u n g ): ta nói (Pi) va (ĩ\) càt nhau. Đường thăng c h u n g đ ư ợ c gọi

là giao tu y ế n của (Pị) va (I\), co phương trình là:

ÍAịX + B lv + C |/ + D| = 0



Ịa^x + B^y + c \/ +D, = 0

Vậy (P|) cắt (P2) o



AịiBịiC,* A::B::C: (tức là ri , m k h ô n g cồng



t u y ế n ) h o ặ c m ộ t t r o n g bi\ định thức s a u đ â v p ln ii k h á c k h ô n g :



Bị

B, c I

Bị



C,



cc I. AA,Ị

9



C,



A:



/



AA,I Bị

B,



A:



Khi đó số đo góc' ư (Oíat 1 ) tạo bcVi hfii nifit phảng (Pj) và (P2)

được tính theo công tluiv:

I A.An + B,B, 4 c , ( \ I

+ H| + c Ị yjA ’ + Bĩ + c i



Trường hợp đặc biệt (P|) 1( P:)

o

c.



ĩ ì l r h <=> 11.111 =0 cr> Aị



+B,B^ +C |C :=0.



H ai m ặt ph ăng (Pj) Vtì (PJ có /h ì ỉ íỉườníỊ thầm; i hung phân b iệt (có ba

điểm chung không tháng hàng): ta nói (p|)=( P;).

Vậy (P,)=( p:) o ^ - = -^- = -ặ- = D|

...............

A:

B: C: D;

(tức là iì / / rh và (Pj), (P.) cỏ một điểm chung).



Các Em học sinh hày tham gicì học tip tJu\> phương pháp" Ư V Ỉ U K trò Ị.im tn m ẹ tâm "

rưởi sự hổ trợ của Nhóm Cư Môr do Ths. 1JÙHổng Dức va Nhà fliáo ưu tú Dào TIì lên Khái phụ trách



31



Phần ỉ: M at phảng



đ . MỜ rộng.

(i).

Nếu ba m ặt phăng

(P1): AjX+Bjy+Qz+D^O,

(P2): A2x+B2y+C:z+D2=0,

(Pi): A^x+B3y+C3z+Dỹ=0

di qua cùng m ột đường thăng, thì:

A| B| C|

A= A 2 B: C2 = 0.

A~ b Ị c ’



(ii).



Giao điểm (nếu có, tức A*0) của ba mặt phăng

(Pj): A ^+ B jY+CjZ+D^O,

(Pn): A2x+B^y+C^z+D2=0/

(P3): A}X+B,v+C*z+D^=0

có toạ độ cho bởi:

A, B I Dj

D, B, c

A, D, c ,

1

1

x=- — D2 B2 C2

Bo

A 2 D, C, z=- —

A



D ị b, c ,



a



’ Dj" Cj'



A



A3 B, d 3



(iii).



Nếu bốn m ặt phăng

(Pj): A iX+BjY+CjZ+Di^O,

(P2): A2x+B:v+C2z+D2=0,

(P 3): AjX+Btf+Qz+Dj^O,

(P4): A4x+B4y+C4z+D4=0

đi qua cùng m ột điểm , thì:

A, B, c ,



Dị



a 2 b2 c 2 d 2

a ’ B3 c ‘ dI

a 4 b4 c 4 d 4



=0 .



C hú ý : Trong trường hợ p (P^, (P^) cho bởi:

\ = x0 -ha |t ! + bjt2

(Pt): A jX+BjY+Q z +D^O và (P2): y = y0 + *2*1 + b2*2 / ũĩ' *26 R)

z = Z.Q+ 3jt| + bjti



Đ ế xét vị trí tương đối của (Pị) và (P:) ta lựa chọn một trong haii phương

pháp sau:

P hư ơ iigplìấp 1. Thực hiện theo các bước:

Bước T. Chuyển phương trình (P2) vể dạng tổng quát.

Bước 2. Kết luận.

P hư ơ iigpháp 2. Thực hiện theo các bước:

Bước T. Thay phương trình tham số của (P2) vào (Pj), ta được:

At 1 +Bt:+C=0

(1)

Bước 2. Xét các khả năng sau:

■ Nếu A=B=C=0 o (1) luôn đúng o (Pj)=(P2).

■ Nếu A=B=0 & C^O <=> (1 ) vô nghiêm o ( P j ) / / (P2).

■ Nếu A:+B2>0 o (Pj)n(P 2)=(d).

N hân x é t: Với các bài toán chứa tham số cần giải và bện luận thông tlhường ta

chọn phương pháp 2.

32