CHỦ ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Phần II: PvrttpẸ tháng tronn khỏng gian



c.



Phương trùứi chính tắc cùa dư ờng thđng

ịq u a



M 0( x 0 , y 0 , z 0 )



^



X - Xọ _



‘ |vtcpã(aj,a2,a 3)



y - y Q _



a,



z - z 0



a2



a3



Ngược lại: nếu (d) có phương trình (3), ta có nhận xét:

Đường thăng (d) đi qua điểm MoÍXo, Ỵo, Zo).

Đường thăng (đ) có vtcp ã (aj,



a%

).



Ví dụ 1. Lập phương trình đường thăng (d) đi qua điểm M0(l, 1„ 1), nhận

ã (1, 2,3) làm vtcp.

Giải.

Ta có:

1



íqua M0(l,l,l)

Ịvtcp ã(l,2,3)



Phương trình vectơ: Điểm M e(d) <=> 3t€R: M0M = tã

Phương trình tham s ố cò dạng

X= 1 + t



(d): y = 1 2 t , (teR).

z = 1 + 3t



Phương trình chính tắc có dạng



(d): —

=ỵ^l=

ĩ-l

3

1

ILCÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC

Bài 1 (ĐHI5/B Phân bar>98): Viêt phiấtTg trình chính tắc của đràng thăng qua điỂ!niM(l, 1,2)

và 90ng90Hgvới đưòng thăng (d) biêt

3x - y + 2z - 7 * 0

X+3y - 2z + 3 = 0

BÀI GỈẢI



N hận xét rằng điểm M g(d).

Gọi ã là một vtcp của (d), được:

-1



2



3 -2



2 3

-2



1



3



-1



1 3



= ă(-4, 8,10) chọn ã (-2, 4,5).



Gọi (A). là đường thẳng qua điểm M và song song với đường thămg (d). Ta

có:

qua M



vtcp ã



56



X —1



1



Z -2



( h n it ọ 1 P h m *nr t r i n h i t ư ơ r n ’ thcjmg



Bài 2 (ỉ )H Hik>99); Traig khồnggun (J\A7Ii V»nVUỊỊ kiì 1); (I *)đi Ifikì Ilì (to ll A(l, 3,2), B(l, £ 1)

và C(l, 1, 3). Viêt phuUìg trình thani NÓvùi dufiy, liking (J) đi qihí

tâm của AABC' và

vuông góc với irtìt pliàng chúa tam gkk đ(»()

BAI <;iAI

GọI G(xc / yC/ zt ) là trọng tâm AABC , klìi ío

3xc = X A + X B

G:



4-



xc



Ịx(i - 1



*yc = y* + y« + y<> C:>G;

3zc =ZA + / B + / (



-2 C*G(1,2,2).

/,. 2



Gọi á là một vtcp của đường thăng (d), khi đỏ:

ălAB

_ , trong đó

alAC

|AC(0,-2,1)



Vậy:

1 - 1 1 0 0 -1

2 1 1 0 0 -2

-



V



= ẩ (-3, 0, 0), chọn á (-1, 0, 0).

ị



Đường thăng (d) đi qua trọng tâm G của AABC và vuông góc với mặt

phăng chứa AABC, được xác định bởi:

X= 1 - t

(d): f ^

U ! | o ( J ) : y = 2 teR.

' Ịvtcp ã(-l,0,0)

'

/ =2

Đó chính là phương trình tham số của (d).

Bải 3 (ĐHTCKT-99): Viêt phutehg tinill liúìh tác ảiả đuùii£ tỉiản^ (A) đi qua điểm A(l, 1, -2)

SŨH£sang với mặt phảng (P) và vuôiìg gá' với đuờn£ thăng (đ). t ó

/ * x + l y= -ỉ -ly_- x= - 2- ;(P)x-y-z-l=0.

/T>

t__r\

(cộ:

BÀI (ÌIÁI



Gọi ã , b , n theo thứ tự là vtcp của (li), vti-p c ủa (A) và vtpt của (P), ta có:

ă (2,1, 3),

n (1, -1, 1).

Theo gỉa thiết;

MV Í ( A ) //( P ) ^



bln



(4): K



bla



i



°



^ b



13

3 2 2 1

= b(2, 5, -3).

I 1-1 -1 1 1 -1



f



Vảy, phương trình (A), được xác định bởi:

/A\

í 1! 113 A ( l , l , - 2 )

x-1 V - 1 z + 2

(A): <

r _

<=> (A): ----- = ------- = —— .

Ịvtcp £>(2,5,-3)

2

5

-3



Chú V. Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tông quái của (A), ta có thê lựa

chọn cách sau:

57



.

I

Phán 11: Dươne thănp trong khổng gịan



Phân tích. Theo gỉa thiết:

A 6(A)

(A):. ( A ) / / ( P ) C * .

(A)±(d)



ÍA €(Q )

(A)c - (Q): Ị

^ H ( Q 1/ / ( P )

(A)C(R): [



.....................



A 6 (R)

(R)ì(đ)



Gọi ã , s theo thứ tự là vtcp, vtpt của (d), (P), ta có: ả (2,1, 3), n (1, -1, -1).

Phương trình m ặt phăng (Q), được xác định bởi:

(Q): ^t*pt n(l - l - l ) ^ (Q):x-l-(y-l)-(z+2)=0 c=> (Q):x-y-z-2=0.



■{



Phương trình m ặt phăng (R), được xác định bởi:

(R):



(R):2(x-l)+(y-l)+3(z+2)=0 « (R):2x+y+3z+3-0.



Phương trìnlì đường thăng (A) là giao tuyến của (Q) và (R), có dạng:

íx-y - 7 -2 =0



[2x + y + 3z + 3 = 0 ầ



Đó chính là phương trình tổng quát của đường thăng (A).



III.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài tâp 1.



Lập phương trình đường thăng (đ) trong các trường hợp sau:



a.



(d) đi qua điểm Mo(l, 0,1), nhận ă (3, 2, 3) làm vtcp.



b.



(d) đi qua hai điểm A (l, 0, -1) và B(2, -1, 3).



Bải tập z

Tron^ không gian Oxyz lập phương trình tông quát của các giao

tuyến của m ặt phăng (P): x-3y+2z-6*0 với các m ặt phăng toạ độ.

Bảỉ tâp 3. (Đề 54-Va): Viết phương trình chính tắc của đường thăng đi qua

điểm M(2, 3, -5) và song song với đường thăng (d) có phương trình:

íd v í 3 x - y + 2 z - 7 = 0



{ } Ịx + 3y - 2z + 3 = 0 *

Bải'tâp 4.



Cho đường thăng (d) và m ặt phăng (P) có phương trình là:

,

Í3 x -y + 4z + l = 0

^

(đ): r

n n ' (P):x+y+z+l-0.

v 7



[2x + 3y + z + 7 = 0



v 7



7



Tìm phương trình chính tắc của đường thăng (A) đi qua điểm A (l, 1, 1)

song song với m ặt phăng (P) và vuông góc với đường thăng (d).

Bải tập 5. Cho mặt phăng (P) đi qua ba điểm A(3, 0, 0), B(0, 6, 0) và

0(0, 0, 9). Viết phương trình tham số của đường thăng (d) đi qua trọng tâm

của AABC và vuông góc với m ặt phăng chứa tam giác đó.



58



CHỦ Đ Ể 2



CHUYỂN DẠNG

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THANG

I.K1ẾN THỨC C ơ BẢN

Bài toán 1:Tnrimộtvtrpcua đuờng thang (tỉ) đio truớc

PHƯƠNG PHÁP CHUNG



a. N êu đường thăng cho d ư ớ i dạng t/icìĩìi sớ:

X = x0 + aJt



(d): • y = y„ + a : t , ( t e R ) ,

z = /.0 + a , t



thì m ộ t v tc p là: ã (aj, a^, a 3).



b. N êu dường thẢng cho d ư ớ i dạng chính tắc::

(d). x *0 - y - yp - z - z0

3 ■>



cl J



3^



thì một vtcp là: ã (aìf a:, a3).

c. N ếu dường thăng cho dưới dạng tông quát:

/ jy



fAjX + Bjy + C jZ + D j



= 0



(1)



I A->x + B^y + c ,z + D: = 0



(2)



với điều kiện A^BjrCj* A2:B2:Cì.



thì một vtcp ă của đường thăng đó được xác định bởi:

\

/

c , c, A, A, B,

B,

ã=

/

c 2 c 2 a 2 A ; B; /

V

d. N êu b iết toạ độ h a i điểm khác lứiau A, Be(d) thì một vtcp của đường

thăng là AB.

Vi dụ 1: Tìm vtcp của các đường thăng sau:

X =



a.



2+



t



(d): y = 1 - 2 t, (teR).

z=t - 3



b.



- 3 g y + 1 _ z - 4

(d): x?—ì

=L l ± = ỉ —



v



-2



3



5



Í3 x -y + 4z + l =0

c ^



[2x + 3y + z + 7 = 0 -



G iải

a. Đường thăng (d) có vectơ chỉ phương là: ã (1, -2,1).

b.



Đường thăng (d) có vectơ chỉ phương là: ẵ (-2, 3, 5).



c.



Gọi ã (aj, a2, a^) là một vtcp của (d), ta có:

a=



4



4 3



3



3 1



1 2



2 3



-1



- 1



« i (-13,5,11):



c«k Em học sinh hãy tham p a hix' tâp theo phương pháp" Lây hoc trò làm truiỉỊĩ tâm"

D ư ớ i sự hỏ trợ của Nhóm c ư Nlòn lit Ths. Lổ Hổng Đúc và Nhà giáo ư u tú Đào Thiộn Khài phụ trách.

59



I



Phan II: P ư ờ n ^ thclng trong khỏnn nian



Bài loán 2 Qìuyổi dạng phuttTg trinh lôỉìg quát của đuờng dìiiig sang dạng phưt* )ị\ tiình

tham sốlvổc dúnh tắc.

— —



“ “



PIHJONG PHÁP CHUNG



“ “ ~



~



Giả sử đường thăng (d) có phương trình tông quát dưới dạng:

( A .x .l J .y .C y .D .- O



0 ) (J iề u k iê n A ,;B1:Cl.A ,:B ,:C !)



v } Ị a 2x + B2y + C 2Z + D: = 0 (2) v



1 1 1



2 2 27



Đê chuyến phương trình của (d) sang dạng tham số, ta lựa chọn m ột

trong ba cách sau:

Cách /. Thực hiện theo các bước:

Bước 1\ Xác định một vtcp ă của đường thăng (d).

Chọn một đếm A6(d).

Bước 2. Lập phương trình tham số hoặc chính tắc của đường thăng (d) qua

A và có vtcp ầ .

Cách 2: Chọn hai điểm khác nhau A, Be(d), từ hệ phương trình (1), (2), sau

đó viết phương trình tham sô của hoặc chính tắc của đường thăng (đ) (chính

là đường thăng qua A hoặc B có vtcp là AB).

Cách 3 (C h ỉá p dụng cho phư ơ ng trình tham sô): Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đặt một trong các ẩn X, y, z là t. Chăng hạn x=t.



Bước 2. Thay x*t vào (1) và (2) rồi giải hệ đó vớiẩn là y, z.

Bước 3: Tập hợp các phép biêu diên của X,y, z theo t đã tìm được chính là

phương trình tham số của (d).

Ví d u 2: Cho đường thăng (d) có phương trình:

ÍấÍV |2x + y - z - 3 = 0

|x + y + z - l = 0

H ảy viết phương trình tham sô của đường thăng đó.



Giải.

Cách ỉ\ Đặt x*2t, ta có:

í4 t + y - z - 3 = 0



j y = -3t + 2



Ị2t + y + z - l = 0 ° Ịz = t - 1

Vậy phương trình tham số của đường thăng (d) có dạng:

'x = 2t

y = -3t + 2 ,(teR ).

z=t- 1

Cách 2. Chọn hai điểm A(0, 2, -l)e(d ) và B(2, -1 ,O)e(d). Khi đó

íqua A(0,2,-l)



íqua A(0,2,-l)



Ịqua B{2(-1,0) °



Ịvtcp ÃB(2,-.\1)



Đó chính là phương trình tham số của đường thăng (d)

60



= 2t

y = 2 -3 t,(te R ) .

z = -1 + 1